# 线性函数与指数函数的变化

> AP 预备微积分 · 第2单元：线性函数与指数函数的变化
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-change-in-linear-and-exponential/

本学习指南讲解了线性函数的恒定绝对变化与指数函数的恒定比例变化之间的核心区别，包括增长率比较、例题解析以及AP预备微积分考试中的常见误区。

**先修:** 线性函数的斜率计算; 指数函数的一般形式; 平均变化率计算

## 学习目标

- 区分恒定绝对变化和恒定比例变化
- 根据变化性质识别线性函数和指数函数
- 计算线性函数的恒定变化和指数函数的相对变化
- 比较不同区间上线性和指数函数的增长率

## 线性函数的恒定变化

线性函数的一般形式为 $f(x) = mx + b$，其中 $m$ 是斜率（恒定变化率），$b$ 是 $y$ 截距（$x=0$ 时的输出值）。线性函数的核心特征是：对于任意固定的输入区间 $\Delta x = h$，输出的*绝对变化* $\Delta f$ 是恒定的，与起始输入 $x$ 的取值无关。

**推导:** 证明所有线性函数的绝对变化都是恒定的

*起点:* 从一般形式 $f(x) = mx + b$ 出发

1. 计算增量前后的输出差值：
2. $$f(x+h) - f(x) = [m(x+h) + b] - [mx + b]$$
3. 化简表达式：
4. $$mh + mx + b - mx - b = mh$$

*结论:* 最终变化量 $mh$ 与起始输入 $x$ 无关，因此任意长度为 $h$ 的区间上，绝对变化都是恒定的。

**例题:** 一辆自行车的价值随时间线性贬值。使用2年后，价值为420美元；使用5年后，价值为180美元。自行车价值的恒定年变化量是多少？使用7年后的价值是多少？

1. 定义变量：设 $t$ 为时间（单位：年），$V(t)$ 为自行车价值（单位：美元）。我们得到两个点：$(t_1, V_1) = (2, 420)$ 和 $(t_2, V_2) = (5, 180)$。
2. 计算输入变化量 $\Delta t = 5 - 2 = 3$ 年，对应的输出变化量 $\Delta V = 180 - 420 = -240$ 美元。
3. 由于线性函数的变化量是恒定的，因此年变化量为：
4. $$\frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{-240}{3} = -80$$
5. 负号表示价值逐年下降。要计算7年后的价值，在5年价值的基础上加上两年的恒定变化量即可：
6. $$V(7) = V(5) + 2(-80) = 180 - 160 = 20$$
7. 自行车使用7年后的价值为20美元。

> **考试提示:** 当题目要求计算变化量时，递减函数一定要带上正确的符号。AP考试阅卷官会因情境题中遗漏符号扣分。

*计算器:* allowed

## 指数函数的比例变化

指数函数的一般形式为 $f(x) = ab^x$，其中 $a \neq 0$ 是初始值（$x=0$ 时的输出），$b>0, b \neq 1$ 是底数（x每增加1单位的增长/衰减因子）。指数函数的核心特征是：对于任意固定的输入区间 $\Delta x = h$，输出的*相对（比例）变化*是恒定的，与起始输入 $x$ 无关。

**推导:** 证明所有指数函数的相对变化都是恒定的

*起点:* 从一般形式 $f(x) = ab^x$ 出发

1. 用指数法则改写 $f(x+h)$：
2. $$f(x+h) = ab^{x+h} = ab^x b^h = f(x) b^h$$
3. 区间前后的输出比值为：
4. $$\frac{f(x+h)}{f(x)} = b^h$$
5. 相对变化的定义为：
6. $$\text{Relative change} = \frac{f(x+h) - f(x)}{f(x)} = b^h - 1$$

*结论:* 相对变化 $b^h - 1$ 与起始输入 $x$ 无关，因此任意长度为 $h$ 的区间上，相对变化都是恒定的。

**例题:** 一个细菌菌落的数量随时间指数增长。3小时后，数量为2000个；5小时后，数量为8000个。种群数量的恒定小时相对变化是多少？

1. 设 $P(t) = ab^t$ 为 $t$ 小时后的种群数量，$b$ 为每小时增长因子。我们利用指数函数的性质：固定时间间隔隔开的两个种群数量比值是恒定的。
2. 两次测量的时间差为 $\Delta t = 5 - 3 = 2$ 小时。我们写出种群数量的比值：
3. $$\frac{P(5)}{P(3)} = \frac{ab^5}{ab^3} = b^2$$
4. 代入给定的种群数量，求解 $b$（由于增长因子始终为正，我们取正根）：
5. $$\frac{8000}{2000} = 4 = b^2 \implies b = 2$$
6. 每小时相对变化为 $b - 1 = 2 - 1 = 1$，即每小时增长100%，与题目中给出的2小时增长到4倍一致。

> **考试提示:** 一定要区分增长因子 $b$ 和相对变化。如果题目要求的是百分比变化，你需要计算 $b-1$，不能直接把 $b$ 作为答案。这是本知识点最常见的失分错误之一。

*计算器:* allowed

## 比较线性函数与指数函数的增长率

AP考试的常见题型是让你比较线性函数和指数函数的输出或增长率，或是找出指数增长首次超过线性增长的时间。核心结论是：对于任意递增线性函数 $f(x) = mx + b$（$m>0$）和任意递增指数增长函数 $g(x) = ab^x$（$a>0，b>1$），指数增长最终一定会超过线性增长。但在较短的时间范围内，线性增长通常会大于指数增长，因此你必须始终针对给定的输入计算两个函数的值。

**例题:** 两个投资账户初始本金都是1000美元。账户A每年线性增长200美元。账户B每年指数增长10%。经过多少个完整年度后，账户B的价值会首次超过账户A？

1. 写出 $t$ 年后每个账户的价值方程：
2. $$A(t) = 1000 + 200t \quad \text{(线性，恒定绝对变化)}$$
3. $$B(t) = 1000(1.1)^t \quad \text{(指数，恒定相对变化)}$$
4. 我们需要找到满足 $B(t) > A(t)$ 的最小正整数 $t$。先试 $t=20$ 缩小范围：$A(20) = 5000$，$B(20) \approx 6727.5$，因此 $t=20$ 时B更大。
5. 检查 $t=15$：$A(15) = 4000$，$B(15) \approx 4177.2$，因此 $t=15$ 时 $B > A$。
6. 通过检查 $t=14$ 确认这是第一个完整年度：$A(14) = 3800$，$B(14) \approx 3797.5$，因此 $t=14$ 时 $B < A$。因此，B首次超过A的第一个完整年度是 $t=15$。

> **考试提示:** 当题目要求指数超过线性的第一个完整周期时，一定要检查候选值前一个整数，确认此时指数仍然更小。AP选择题的干扰项通常就是设计给那些没做这步检查的考生的。

*计算器:* allowed

## 从表格数据分类函数

AP预备微积分考试经常要求你利用不同函数类型的变化性质，从表格数据中将函数分类为线性或指数。具体方法是：在等间隔输入区间上检查是否有恒定绝对变化来确认是否为线性，或检查是否有恒定相对变化来确认是否为指数。

**例题:** 下表给出了两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在整数 $x$ 处的取值：

| $x$ | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 10 | 26 | 42 | 58 |
| $g(x)$ | 10 | 15 | 22.5 | 33.75 |

(a) 将每个函数分类为线性或指数，说明你的理由。(b) 写出每个函数的显式方程。(c) 求 $f(8) - g(8)$。

1. 问题(a)：在固定 $\Delta x = 2$ 的区间上检查变化。对于 $f(x)$，相邻点之间的绝对变化为 $26-10=16$，$42-26=16$，$58-42=16$。固定区间上的恒定绝对变化证明 $f(x)$ 是线性的。对于 $g(x)$，相邻点之间的相对变化为 $\frac{15-10}{10}=0.5$，$\frac{22.5-15}{15}=0.5$，$\frac{33.75-22.5}{22.5}=0.5$。恒定相对变化证明 $g(x)$ 是指数的。
2. 问题(b)：写出方程。对于 $f(x)$，初始值 $f(0)=10$，单位斜率为 $\frac{16}{2}=8$，因此：
3. $$f(x) = 10 + 8x$$
4. 对于 $g(x)$，初始值 $g(0)=10$，2单位区间的增长因子是 $1.5$，因此单位增长因子为 $1.5^{1/2}$，可得：
5. $$g(x) = 10(1.5)^{x/2}$$
6. 问题(c)：计算差值：
7. $$f(8) = 74, \quad g(8) = 50.625, \quad f(8) - g(8) = 23.375$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 当题目要求相对变化时，直接给出增长因子 $b$ 而不是 $b-1$
  - 原因: 学生混淆了最终输出与初始输出的比值，和从初始到最终的比例变化
  - 正确做法: 只要题目要求相对变化或百分比变化，一定要计算 $\frac{\text{最终值} - \text{初始值}}{\text{初始值}} = b^h - 1$，而不是只写 $b^h$
- **错误做法:** 假设对于所有正 $x$，指数增长都比线性增长快，因此对于任意输入指数都更大
  - 原因: 学生记住了指数最终超过线性的一般结论，却忘记这个结论只适用于足够大的输入
  - 正确做法: 一定要根据题目给出的输入计算两个函数的值，不要依赖一般结论回答比较问题
- **错误做法:** 计算指数函数在固定区间上的绝对变化，因为绝对变化不恒定就得出结论说该函数不是指数函数
  - 原因: 学生混淆了线性函数和指数函数的定义性质
  - 正确做法: 对于指数函数，应该检查固定区间上*相对*变化是否恒定，而不是绝对变化
- **错误做法:** 当计算指数函数在 $n$ 年区间内的年增长率时，直接把n年的总相对变化当作年相对变化
  - 原因: 学生忘记指数增长是复利计算，增长因子在区间之间是相乘的关系
  - 正确做法: 如果 $n$ 个区间的总增长因子是 $G$，则每个区间的增长因子是 $G^{1/n}$，因此每个区间的相对变化是 $G^{1/n} - 1$
- **错误做法:** 对于 $0 < b < 1$ 的指数衰减，给出正的相对变化而不是负的
  - 原因: 学生只关注变化的大小，忘记了变化的方向
  - 正确做法: 对于递减的指数函数，一定要将相对变化写为负值（或明确说明这是减少，用正值表示幅度），符合题目的要求

## 速查表

| 分类 | 公式/性质 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 线性函数一般形式 | $f(x) = mx + b$ | $m$ = 恒定斜率/变化率 |
| 绝对变化（线性，$\Delta x = h$） | $\Delta f = mh$ | 对任意起始输入 $x$ 都恒定 |
| 定义性质：线性 | 固定输入区间上的恒定绝对变化 | 对所有线性函数成立 |
| 指数函数一般形式 | $f(x) = ab^x$ | $a$ = 初始值，$b>0, b\neq1$ = 单位增长/衰减因子 |
| 相对变化（指数，$\Delta x = h$） | $\frac{f(x+h)-f(x)}{f(x)} = b^h - 1$ | 对任意起始输入 $x$ 都恒定 |
| 定义性质：指数 | 固定输入区间上的恒定相对变化 | 对所有指数函数成立 |
| 单位区间增长因子 | $b = G^{1/n}, G = \frac{\text{最终值}}{\text{初始值}}$ | 用于通过n个总区间求单位区间增长因子 |
| 指数 vs 线性增长规律 | 当 $b>1, m>0$ 时，对于足够大的 $x$ 有 $ab^x > mx + b$ | 指数最终一定会超过线性，但小x时不一定 |

## 下一步

本知识点是AP预备微积分第2单元所有后续知识点的基础先修内容。接下来，你会利用指数函数的恒定比例变化性质，对真实情境中的指数增长和衰减建模，包括复利、种群增长和放射性衰变。如果不掌握恒定绝对变化和恒定相对变化的区别，你就无法正确对真实场景分类，建立准确的模型，也无法在多问题的自由问答题中拿到满分。本知识点也为整个AP预备微积分课程中变化率的学习打下基础，为你后续单元学习对数函数性质和所有函数类型的比较做好准备。

- [AP 预备微积分的指数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-exponential-functions/)
- [指数函数变形](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-exponential-function-manipulation/)
- [指数函数情境建模与数据拟合](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u2-exponential-function-context-and-data/)

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