有理函数与零点

AP 预备微积分· AP 预备微积分课程与考试说明（CED）——多项式与有理函数· 14 分钟阅读

1. 有理函数与零点的定义★★☆☆☆⏱ 3 min

有理函数定义为两个多项式的比值，其中分母是非零多项式。

R(x) = \frac{N(x)}{D(x)}

📘 定义

有理函数的零点

满足 $R (a) = 0$ 的输入值 $x = a$ ，要求 $N (a) = 0$ 且 $D (a) \neq = 0$ 。如果 $N (a) = 0$ 且 $D (a) = 0$ ， $a$ 是不连续点，不是零点。

例:

对于 $R (x) = \frac{x}{x - 1}$ ， $x = 0$ 是零点，因为 $N (0) = 0$ 且 $D (0) = - 1 \neq = 0$

本主题属于AP预备微积分CED第1单元，占考试总分的27-32%，会在选择题和自由作答题部分都出现。掌握本主题是后续课程中分析不连续点、渐近线和求解有理方程的基础。

2. 用代数方法求零点★★☆☆☆⏱ 5 min

非零分数等于零当且仅当分子为零且分母非零。遵循以下结构化步骤可求出所有实零点：

对有理函数的分子 $N (x)$ 和分母 $D (x)$ 进行完全因式分解。
求出 $N (x) = 0$ 的所有实根，这些就是候选零点。
排除同时也是 $D (x) = 0$ 根的候选，因为它不在 $R (x)$ 的定义域内。
剩余的候选就是 $R (x)$ 的有效零点。

📐 例题

求 $R (x) = \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 3 x}{x ^{2} - 9}$ 的所有实零点

1
对分子分母完全因式分解：
2
$x^3 - 2x^2 - 3x = x(x^2 - 2x - 3) = x(x-3)(x+1) \\ x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
3
从分子的根中确定候选零点： $x = 0, x = 3, x = - 1$
4
排除使分母为零的候选： $x = 3$ 是 $D (x)$ 的根，因此它不在定义域内，被排除。
5
验证剩余候选： $R (0) = 0$ 且 $R (- 1) = 0$ ，因此两者都是有效的。
6
最终答案：实零点为 $x = 0$ 和 $x = - 1$

Exam tip:

在AP选择题中，选项几乎总会把增根作为干扰项，因此你在选答案前一定要先排除所有使分母为零的候选零点。

3. 零点的重数与图像性质★★★☆☆⏱ 4 min

约去分子分母所有公因子后，有理函数零点的重数继承自分子中对应根的重数。重数是完全化简后分子中 $(x - a)$ 因子的指数，它对图像性质的影响和多项式零点的情况完全相同。

奇重数：穿过零点时 $R (x)$ 的符号会改变，因此图像在 $x = a$ 处直接穿过x轴。
偶重数：零点两侧 $R (x)$ 的符号不变，因此图像在 $x = a$ 处与x轴相切后折返。

📐 例题

已知 $R (x) = \frac{( x + 2 ) ^{4} ( x - 3 ) ^{2} ( x + 1 )}{( x + 2 ) ( x - 5 )}$ ，求出所有实零点，写出每个零点的重数，并描述每个零点处的图像性质。

1
约去公因子化简：公因子 $(x + 2)$ 从分子分母各约去一次，原定义域排除 $x = - 2$ 和 $x = 5$ ，因此 $x = - 2$ 不是零点。
2
从化简后分子中找出定义域内的有效零点： $x = - 1$ 和 $x = 3$
3
写出重数： $x = - 1$ 的重数为1（奇数）， $x = 3$ 的重数为2（偶数）
4
描述性质：在 $x = - 1$ 处，图像穿过x轴；在 $x = 3$ 处，图像与x轴相切后折返。

Exam tip:

在自由作答题中被要求描述图像性质时，你必须明确将性质与奇偶重数联系起来才能得满分，只说“穿过”或“相切”是不够的。

4. 从图像和数值中识别零点★★☆☆☆⏱ 3 min

AP预备微积分经常要求从图像或表格中识别零点，即使分子无法轻易因式分解。从图像上看，零点是闭合的x轴截距：即图像与x轴（ $y = 0$ ）相交且该点在定义域内的点。x轴上的空心点表示可去不连续点（洞），即使它在x轴上也不是零点。

从数值上看，介值定理告诉我们，如果 $R (x)$ 在两个相邻x值之间变号，则区间内存在一个奇重数零点。不过垂直渐近线两侧也会发生变号，因此你必须确认测试点之间没有渐近线。

📐 例题

$R (x)$ 的图像在 $(- 2, 0)$ 处有一个空心点，在 $(1, 0)$ 处以实心点穿过x轴，在 $(4, 0)$ 处以实心点与x轴相切。找出 $R (x)$ 的所有实零点。

1
空心点表示该点不在定义域内，因此 $x = - 2$ 是可去洞，不是零点，被排除。
2
在 $(1, 0)$ 处的交点是定义域内的实心点，且 $y = 0$ ，因此 $x = 1$ 是有效零点。
3
在 $(4, 0)$ 处与x轴相切的转折点是定义域内的实心点，且 $y = 0$ ，因此 $x = 4$ 是有效零点。
4
最终答案：实零点为 $x = 1$ 和 $x = 4$

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪一项给出了函数 $R (x) = \frac{x ^{3} - 4 x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 2 x - 3}$ 的所有实零点？
- A) $x = 0$ only
- B) $x = 0, x = 1, x = 3$
- C) $x = 0, x = 1$ only
- D) No real zeros
显示答案
C) $x=0, x=1$ only —
因式分解后分子为 $x (x - 1) (x - 3)$ ，分母为 $(x - 3) (x + 1)$ 。 $x = 3$ 使分母为零，因此作为候选零点被排除，仅剩 $x = 0$ 和 $x = 1$ 。

Exam tip:

如果你在考试当天用绘图计算器找零点，一定要把x值代回分母验证它非零，不是可去洞。

5. 常见陷阱

错误做法:

即使 $x = a$ 同时使分母为零，仍因为它使分子为零就将其称为零点。

原因:

学生在找到分子的根后忘记检查定义域限制，而增根是考试中常见的干扰项。

正确做法:

从分子得到所有候选零点后，将每个候选代入分母检验，排除所有使分母为零的候选。

错误做法:

使用约去分母公因子前分子中根的原始重数。

原因:

学生混淆了原始因式形式和化简后的形式，导致对图像性质的重数判断错误。

正确做法:

一定要先约去分子分母所有公因子，再数化简后分子中 $(x - a)$ 因子的指数得到重数。

错误做法:

将x轴上的可去洞算作有效零点。

原因:

y=0处的可去洞在草图上看起来和x轴截距一样，因此学生容易误判。

正确做法:

在图像上，带空心点的x轴截距都不是零点，一定要确认该点在定义域内。

错误做法:

假设有理函数数值表中的所有变号都对应一个零点。

原因:

变号不仅会出现在零点两侧，也会出现在垂直渐近线两侧。

正确做法:

从变号识别零点时，要确认两个测试点之间的x区间内不包含垂直渐近线。

错误做法:

认为有理函数必须至少有一个实零点。

原因:

学生将奇次多项式的结论推广到有理函数，但有理函数不满足这个要求。

正确做法:

如果分子的根都不在定义域内，要明确说明该有理函数没有实零点。

6. 速查表

类别	法则/公式	注释
一般有理函数	$R (x) = \frac{N ( x )}{D ( x )}$	$N (x), D (x)$ 都是多项式， $D (x) \neq = 0$
实零点的条件	$R (a) = 0 ⟺ N (a) = 0 and D (a) \neq = 0$	适用于定义域内所有实数 $a$
代数法求零点	因式分解 $N (x), D (x)$ ；2. 求 $N (x) = 0$ 的根；3. 排除 $D (x) = 0$ 的根	剩余的根都是有效零点
零点的重数	重数 = 约去公因子后化简 $N (x)$ 中 $(x - a)$ 的指数	重数决定图像性质
奇重数零点	图像穿过x轴	$R (x)$ 在零点两侧变号
偶重数零点	图像与x轴相切后折返	$R (x)$ 在零点两侧符号不变
图像法识别零点	零点 = 闭合x轴截距，不是空心点	x轴上的空心点是可去洞，不是零点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
识别有效零点的选择题
2023 · AP Precalculus
关于重数与图像性质的自由作答题

下一步

掌握有理函数零点是学习AP预备微积分第1单元后续核心主题的前提。如果不能正确识别零点并将其与不连续点区分开，你就无法正确绘制有理函数图像或求解有理不等式问题，而这些内容经常出现在考试的选择题和自由作答题部分。本主题将多项式零点的概念推广到有理函数，为课程后续学习有理函数的极限和端点行为分析打下基础，也为你学习微积分核心概念（比如极值的一阶导数检验）做好准备。