# 有理函数与零点

> AP 预备微积分 · 第1单元：多项式与有理函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-zeros/

本指南涵盖AP预备微积分中有理函数零点的求解与性质相关核心概念，包括代数方法、重数的影响，以及如何区分有效零点和不连续点。

**先修:** 多项式因式分解; 函数零点的定义; 有理函数的基本定义域限制

## 学习目标

- 定义有理函数的零点，并将其与不连续点区分开
- 用代数方法求有理函数的实零点
- 将零点的重数与x轴处的图像性质联系起来
- 从图像和数值表示中识别零点

## 有理函数与零点的定义

有理函数定义为两个多项式的比值，其中分母是非零多项式。

$$R(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$$

**有理函数的零点** — 满足$R(a) = 0$的输入值$x=a$，要求$N(a) = 0$且$D(a) \neq 0$。如果$N(a)=0$且$D(a)=0$，$a$是不连续点，不是零点。

*例:* 对于$R(x)=\frac{x}{x-1}$，$x=0$是零点，因为$N(0)=0$且$D(0)=-1 \neq 0$

本主题属于AP预备微积分CED第1单元，占考试总分的27-32%，会在选择题和自由作答题部分都出现。掌握本主题是后续课程中分析不连续点、渐近线和求解有理方程的基础。

## 用代数方法求零点

非零分数等于零当且仅当分子为零且分母非零。遵循以下结构化步骤可求出所有实零点：

1. 对有理函数的分子$N(x)$和分母$D(x)$进行完全因式分解。
2. 求出$N(x) = 0$的所有实根，这些就是候选零点。
3. 排除同时也是$D(x) = 0$根的候选，因为它不在$R(x)$的定义域内。
4. 剩余的候选就是$R(x)$的有效零点。

**例题:** 求$R(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{x^2 - 9}$的所有实零点

1. 对分子分母完全因式分解：
2. $$x^3 - 2x^2 - 3x = x(x^2 - 2x - 3) = x(x-3)(x+1) \\ x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$$
3. 从分子的根中确定候选零点：$x=0, x=3, x=-1$
4. 排除使分母为零的候选：$x=3$是$D(x)$的根，因此它不在定义域内，被排除。
5. 验证剩余候选：$R(0) = 0$且$R(-1) = 0$，因此两者都是有效的。
6. 最终答案：实零点为$x=0$和$x=-1$

> **考试提示:** 在AP选择题中，选项几乎总会把增根作为干扰项，因此你在选答案前一定要先排除所有使分母为零的候选零点。

## 零点的重数与图像性质

约去分子分母所有公因子后，有理函数零点的重数继承自分子中对应根的重数。重数是完全化简后分子中$(x-a)$因子的指数，它对图像性质的影响和多项式零点的情况完全相同。

- **奇重数**：穿过零点时$R(x)$的符号会改变，因此图像在$x=a$处直接穿过x轴。
- **偶重数**：零点两侧$R(x)$的符号不变，因此图像在$x=a$处与x轴相切后折返。

**例题:** 已知$R(x) = \frac{(x+2)^4 (x - 3)^2 (x + 1)}{(x+2)(x - 5)}$，求出所有实零点，写出每个零点的重数，并描述每个零点处的图像性质。

1. 约去公因子化简：公因子$(x+2)$从分子分母各约去一次，原定义域排除$x=-2$和$x=5$，因此$x=-2$不是零点。
2. 从化简后分子中找出定义域内的有效零点：$x=-1$和$x=3$
3. 写出重数：$x=-1$的重数为1（奇数），$x=3$的重数为2（偶数）
4. 描述性质：在$x=-1$处，图像穿过x轴；在$x=3$处，图像与x轴相切后折返。

> **考试提示:** 在自由作答题中被要求描述图像性质时，你必须明确将性质与奇偶重数联系起来才能得满分，只说“穿过”或“相切”是不够的。

## 从图像和数值中识别零点

AP预备微积分经常要求从图像或表格中识别零点，即使分子无法轻易因式分解。从图像上看，零点是闭合的x轴截距：即图像与x轴（$y=0$）相交且该点在定义域内的点。x轴上的空心点表示可去不连续点（洞），即使它在x轴上也不是零点。

从数值上看，介值定理告诉我们，如果$R(x)$在两个相邻x值之间变号，则区间内存在一个奇重数零点。不过垂直渐近线两侧也会发生变号，因此你必须确认测试点之间没有渐近线。

**例题:** $R(x)$的图像在$(-2, 0)$处有一个空心点，在$(1, 0)$处以实心点穿过x轴，在$(4, 0)$处以实心点与x轴相切。找出$R(x)$的所有实零点。

1. 空心点表示该点不在定义域内，因此$x=-2$是可去洞，不是零点，被排除。
2. 在$(1, 0)$处的交点是定义域内的实心点，且$y=0$，因此$x=1$是有效零点。
3. 在$(4, 0)$处与x轴相切的转折点是定义域内的实心点，且$y=0$，因此$x=4$是有效零点。
4. 最终答案：实零点为$x=1$和$x=4$

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 下列哪一项给出了函数$R(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{x^2 - 2x - 3}$的所有实零点？

   - A) $x=0$ only
   - B) $x=0, x=1, x=3$
   - C) $x=0, x=1$ only
   - D) No real zeros

   *解析:* 因式分解后分子为$x(x-1)(x-3)$，分母为$(x-3)(x+1)$。$x=3$使分母为零，因此作为候选零点被排除，仅剩$x=0$和$x=1$。

> **考试提示:** 如果你在考试当天用绘图计算器找零点，一定要把x值代回分母验证它非零，不是可去洞。

## 常见错误

- **错误做法:** 即使$x=a$同时使分母为零，仍因为它使分子为零就将其称为零点。
  - 原因: 学生在找到分子的根后忘记检查定义域限制，而增根是考试中常见的干扰项。
  - 正确做法: 从分子得到所有候选零点后，将每个候选代入分母检验，排除所有使分母为零的候选。
- **错误做法:** 使用约去分母公因子前分子中根的原始重数。
  - 原因: 学生混淆了原始因式形式和化简后的形式，导致对图像性质的重数判断错误。
  - 正确做法: 一定要先约去分子分母所有公因子，再数化简后分子中$(x-a)$因子的指数得到重数。
- **错误做法:** 将x轴上的可去洞算作有效零点。
  - 原因: y=0处的可去洞在草图上看起来和x轴截距一样，因此学生容易误判。
  - 正确做法: 在图像上，带空心点的x轴截距都不是零点，一定要确认该点在定义域内。
- **错误做法:** 假设有理函数数值表中的所有变号都对应一个零点。
  - 原因: 变号不仅会出现在零点两侧，也会出现在垂直渐近线两侧。
  - 正确做法: 从变号识别零点时，要确认两个测试点之间的x区间内不包含垂直渐近线。
- **错误做法:** 认为有理函数必须至少有一个实零点。
  - 原因: 学生将奇次多项式的结论推广到有理函数，但有理函数不满足这个要求。
  - 正确做法: 如果分子的根都不在定义域内，要明确说明该有理函数没有实零点。

## 速查表

| 类别 | 法则/公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 一般有理函数 | $R(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$ | $N(x), D(x)$都是多项式，$D(x) \neq 0$ |
| 实零点的条件 | $R(a) = 0 \iff N(a) = 0 \text{ and } D(a) \neq 0$ | 适用于定义域内所有实数$a$ |
| 代数法求零点 | 1. 因式分解$N(x), D(x)$；2. 求$N(x)=0$的根；3. 排除$D(x)=0$的根 | 剩余的根都是有效零点 |
| 零点的重数 | 重数 = 约去公因子后化简$N(x)$中$(x-a)$的指数 | 重数决定图像性质 |
| 奇重数零点 | 图像穿过x轴 | $R(x)$在零点两侧变号 |
| 偶重数零点 | 图像与x轴相切后折返 | $R(x)$在零点两侧符号不变 |
| 图像法识别零点 | 零点 = 闭合x轴截距，不是空心点 | x轴上的空心点是可去洞，不是零点 |

## 下一步

掌握有理函数零点是学习AP预备微积分第1单元后续核心主题的前提。如果不能正确识别零点并将其与不连续点区分开，你就无法正确绘制有理函数图像或求解有理不等式问题，而这些内容经常出现在考试的选择题和自由作答题部分。本主题将多项式零点的概念推广到有理函数，为课程后续学习有理函数的极限和端点行为分析打下基础，也为你学习微积分核心概念（比如极值的一阶导数检验）做好准备。

- [有理函数与垂直渐近线](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-vertical-asymptotes/)
- [有理函数与洞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-holes/)
- [多项式与有理表达式的等价表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-equivalent-representations-of-polynomial-and/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-zeros/