有理函数与垂直渐近线

AP 微积分预备· AP 微积分预备 CED — 多项式与有理函数· 14 分钟阅读

1. 间断点分类：可去 vs 不可去★★☆☆☆⏱ 4 min

对于任意有理函数 $f (x) = \frac{N ( x )}{D ( x )}$ ，所有满足 $D (x) = 0$ 的点都是间断点，因为函数在此处无定义。要对 $x = a$ 处的间断点分类，首先将分子和分母完全因式分解。

如果 $(x - a)$ 是 $N (x)$ 和 $D (x)$ 的公因式，则该间断点是可去间断点（洞）：双侧极限存在且有限，但函数在 $x = a$ 处无定义。
如果 $(x - a)$ 仅为 $D (x)$ 的因式，约去所有公因式后无法消去，则该间断点是不可去间断点，对应 $x = a$ 处的一条垂直渐近线。

📐 例题

对 $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 2 x - 3}$ 的所有间断点分类。

1
将分子和分母完全因式分解：
2
$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) \quad x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$
3
对所有 $x \neq = 3$ 重写函数：
4
$f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+1)}$
5
原分母在 $x = 3$ 和 $x = - 1$ 处等于零，因此这两个点是仅有的间断点。
6
公因式 $(x - 3)$ 被约去，因此 $x = 3$ 是可去间断点（洞）。约去后，化简后的函数为 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 。 $x = - 1$ 仍使分母为零，且无剩余公因式，因此 $x = - 1$ 是不可去间断点，对应一条垂直渐近线。

Exam tip:

分类间断点前一定要完全约去所有公因式；不完全因式分解会导致将洞误识别为垂直渐近线。

2. 确定垂直渐近线位置的极限法则★★★☆☆⏱ 4 min

垂直渐近线的正式定义依赖于单侧极限：如果满足以下至少一个条件，则直线 $x = a$ 是垂直渐近线：

\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{or} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty

对于有理函数，该定义可简化为一条适用于所有情况的简单法则：如果 $f (x) = \frac{N ( x )}{D ( x )}$ 已化为最简形式（分子分母无公因式），则 $D (x)$ 的每个实零点都是一条垂直渐近线。最简形式这个条件是必须满足的。

📐 例题

找出 $g (x) = \frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{x ^{2} - 4 x + 4}$ 的所有垂直渐近线。

1
将分子和分母完全因式分解：
2
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) \quad x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
3
检查公因式：没有共有的一次因式，因此函数已经是最简形式。找出分母的所有实根： $(x - 2)^{2} = 0$ 得到 $x = 2$ 处的重根。
4
验证分子在 $x = 2$ 处非零：
5
$N(2) = (2(2)-1)(2+3) = 15 \neq 0$
6
满足垂直渐近线的极限条件，因此唯一的垂直渐近线是直线 $x = 2$ 。

Exam tip:

在AP微积分预备的自由问答题中，你必须将垂直渐近线写为完整的直线方程（例如 $x = 2$ ，而不只是 $2$ ）才能获得满分。

3. 分析垂直渐近线附近的函数行为★★★☆☆⏱ 4 min

确定 $x = a$ 处的垂直渐近线后，你通常需要确定函数在 $a$ 两侧是趋近于 $+ \infty$ 、 $- \infty$ ，还是相反方向的无穷大，用于绘图或极限问题。最快的方法是在 $x = a$ 两侧检验化简后有理函数的符号。

重根（分母中 $(x - a)$ 的指数为偶数）：对于 $x \neq = a$ ，该项始终为正，因此函数在渐近线两侧趋近于同一个无穷大。
单根（分母中 $(x - a)$ 的指数为奇数）：符号在穿过渐近线时改变，因此函数在渐近线两侧趋近于相反方向的无穷大。

📐 例题

对于 $h (x) = \frac{x + 2}{( x - 1 ) ( x + 4 )}$ ，找出所有垂直渐近线，并用单侧极限描述 $h (x)$ 在每条渐近线附近的行为。

1
确认分子分母没有公因式，因此函数是最简形式。分母在 $x = 1$ 和 $x = - 4$ 处等于零，因此这两个点就是垂直渐近线。
2
分析 $x = 1$ 处的行为：检验 $x = 0.9$ （1的左侧）：分子 $= 2.9 > 0$ ， $(0.9 - 1) = - 0.1 < 0$ ， $(0.9 + 4) = 4.9 > 0$ 。整体符号为负，所以 $lim_{x \to 1^{-}} h (x) = - \infty$ 。检验 $x = 1.1$ （1的右侧）：整体符号为正，所以 $lim_{x \to 1^{+}} h (x) = + \infty$ 。
3
分析 $x = - 4$ 处的行为：检验 $x = - 4.1$ （-4的左侧）：整体符号为负，所以 $lim_{x \to - 4^{-}} h (x) = - \infty$ 。检验 $x = - 3.9$ （-4的右侧）：整体符号为正，所以 $lim_{x \to - 4^{+}} h (x) = + \infty$ 。

Exam tip:

计算渐近线附近函数的符号时，任何偶次幂因式都可以完全忽略，因为它始终为正，这可以减少计算时间。

4. AP风格练习例题★★★★☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

通过这道选择题测试你的理解：

下列哪个选项给出了函数 $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{3} - 4 x ^{2} + 3 x}$ 的所有垂直渐近线？
- $x = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$
- $x = 0$ , $x = 1$
- $x = - 3$ , $x = 3$
- $x = 1$ only
显示答案
1 —
正确。因式分解分子： $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ，分母： $x (x - 1) (x - 3)$ 。约去公因式 $(x - 3)$ ，得到化简后的分母 $x (x - 1)$ 。只有 $x = 0$ 和 $x = 1$ 是垂直渐近线； $x = 3$ 是可去洞。

📐 例题

设 $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 12}{x ^{2} + 2 x - 8}$ 。(a) 找出所有间断点，将每个分类为可去或不可去。(b) 写出所有垂直渐近线的方程。(c) 描述每个垂直渐近线附近的单侧行为。

1
Part (a): 因式分解分子和分母：
2
$3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2) \quad x^2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2)$
3
间断点在 $x = 2$ 和 $x = - 4$ 处。 $(x - 2)$ 是公因式，因此 $x = 2$ 是可去间断点。 $x = - 4$ 无法约去，因此是不可去间断点。
4
Part (b): 唯一的垂直渐近线是 $x = - 4$ 。
5
Part (c): 对于 $x \neq = 2$ ，化简后的函数是 $\frac{3 ( x + 2 )}{x + 4}$ 。在 $x = - 4$ 左侧：比值为正，所以 $lim_{x \to - 4^{-}} f (x) = + \infty$ 。在 $x = - 4$ 右侧：比值为负，所以 $lim_{x \to - 4^{+}} f (x) = - \infty$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

找到 $D (a) = 0$ 后立即判定 $x = a$ 是垂直渐近线，不检查分子是否有公因式。

原因:

学生找到分母的根后就匆忙作答，忘记检查可去间断点。

正确做法:

识别垂直渐近线前，一定要对分子分母因式分解并约去所有公因式。

错误做法:

将垂直渐近线写为 $y = a$ 而非 $x = a$ 。

原因:

混淆了垂直渐近线（竖直线，x值恒定）和水平渐近线（水平线，y值恒定）。

正确做法:

记住竖直线的x值恒定，因此所有垂直渐近线方程都形如 $x = a$ 。

错误做法:

声称函数可以穿过垂直渐近线，错误套用水平渐近线的规则。

原因:

学生混淆了水平渐近线和垂直渐近线的性质。

正确做法:

垂直渐近线在函数定义域外，因此函数不可能在渐近线上有点，也不可能穿过它。

错误做法:

假定函数在重根处的垂直渐近线两侧符号会改变。

原因:

学生认为所有根都会改变符号，忘记偶次幂始终为正。

正确做法:

检查分母中 $(x - a)$ 因式的指数——如果是偶数，那么穿过 $x = a$ 时符号不会改变。

错误做法:

确定渐近线位置时在分母中保留多余的公因式，导致多出错误的垂直渐近线。

原因:

学生因式分解后没有约去所有公因式。

正确做法:

识别渐近线前，约去所有公一次因式，仅在分母中留下不可去根。

6. 速查表

类别	法则 / 公式	注释
有理函数定义	$f (x) = \frac{N ( x )}{D ( x )}$ , $N (x), D (x)$ polynomials, $D (x)$ non-zero	Domain is all $x$ with $D (x) \neq = 0$
可去间断点（洞）	$D (a) = 0$ , $(x - a)$ common factor of $N (x), D (x)$	$lim_{x \to a} f (x)$ exists, no vertical asymptote
不可去间断点（垂直渐近线）	$D (a) = 0$ , $(x - a)$ not a factor of reduced $N (x)$	At least one one-sided limit is $\pm \infty$
垂直渐近线法则（最简形式）	$x = a$ is vertical asymptote if $D (a) = 0$ and $N (a) \neq = 0$	Only applies after canceling all common factors
正式极限定义	$x = a$ is vertical asymptote if $lim_{x \to a^{-}} f (x) = \pm \infty$ or $lim_{x \to a^{+}} f (x) = \pm \infty$	Only one side needs to be infinite
符号性质：重根	$(x - a)^{n}$ , $n$ even: always positive for $x \neq = a$	No sign change, $f (x)$ approaches same infinity both sides
符号性质：单根	$(x - a)^{n}$ , $n$ odd: sign changes across $x = a$	$f (x)$ approaches opposite infinities on each side
垂直渐近线方程形式	$x = a$ (constant $a$ )	Never written as $y = a$ (that is a horizontal asymptote)

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
选择题：找出所有垂直渐近线
2023 · AP Precalculus
自由问答题：对间断点分类

下一步

掌握垂直渐近线是学习AP微积分预备第一单元后续主题的关键基础：水平渐近线和斜渐近线，以及有理函数的完整绘图。如果不能正确识别垂直渐近线，你就无法正确绘制有理函数图像或分析其完整定义域行为，这是AP考试中自由问答题的常见考点。本主题也为课程后续分析其他类型非多项式函数（包括对数函数和倒数三角函数，它们也存在垂直渐近线）的间断点打下基础。可去间断点和不可去间断点的区别也直接关联到微积分中连续性和极限的学习，AP微积分预备正是为这部分内容做准备。