有理函数与洞

AP 微积分预备课程· AP Precalculus CED — Polynomial and Rational Functions· 14 分钟阅读

1. 核心概念：什么是洞？★★☆☆☆⏱ 3 min

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📘 定义

洞（可去间断点）

洞出现在 $x$ 值 $a$ 处，此时有理函数的分子和分母都等于零，说明存在可约去的公共线性因子 $(x - a)$ 。与垂直渐近线不同，洞是单个缺失点，可以通过'补全该点'来去除间断性。

例:

函数 $f (x) = \frac{2 ( x + 3 ) ( x - 2 )}{( x + 5 ) ( x - 2 )}$ 在 $x = 2$ 处有一个洞。

有理函数被定义为两个多项式的比值 $f (x) = \frac{N ( x )}{D ( x )}$ ，其中 $N (x)$ 是分子多项式， $D (x)$ 是非零分母多项式。本知识点在AP微积分预备课程考试的选择题和自由作答题部分都会考查，属于第一单元，占考试总分的27–31%。

2. 求洞的$x$坐标★★☆☆☆⏱ 4 min

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要找到所有洞的 $x$ 坐标，首先将分子和分母完全分解为线性因子。任何形如 $(x - a)$ 的唯一公共线性因子都会在 $x = a$ 处产生一个洞。分母中不是分子根的根对应垂直渐近线，而非洞。即使 $(x - a)$ 在分子和分母中都带有幂次，它也只会在 $x = a$ 处产生一个洞。

📐 例题

求函数 $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 2 x - 12}{x ^{2} + 3 x - 10}$ 中所有洞的 $x$ 坐标

1
从提取最大公因式开始，完全分解分子：
2
$2x^2 + 2x - 12 = 2(x^2 + x - 6) = 2(x+3)(x-2)$
3
完全分解分母：
4
$x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$
5
识别唯一公共线性因子：唯一的公因子是 $(x - 2)$ 。
6
剩余的分母根 $x = - 5$ 不是分子的根，因此它是垂直渐近线。
7
结论：唯一洞的 $x$ 坐标为：
8
$x = 2$

3. 求洞的$y$坐标★★☆☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

得到洞的 $x$ 坐标 $a$ 后， $y$ 坐标等于约去所有公共因子后的化简函数在 $x = a$ 处的值，这等于 $lim_{x \to a} f (x)$ ，即 $x$ 趋近 $a$ 时函数趋近的值。千万不要将 $a$ 代入原未化简函数，因为这总会得到不定型 $\frac{0}{0}$ 。

📐 例题

求 $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 2 x - 12}{x ^{2} + 3 x - 10}$ 中洞的完整 $(x, y)$ 坐标

1
我们已经从上一个例子得知洞的 $x$ 坐标是 $a = 2$ 。
2
约去分子分母的公因子 $(x - 2)$ ，得到化简后的函数：
3
$f(x) = \frac{2(x+3)\cancel{(x-2)}}{(x+5)\cancel{(x-2)}} = \frac{2(x+3)}{x+5}, \quad x \neq 2$
4
将 $x = 2$ 代入化简后的函数：
5
$\frac{2(2+3)}{2+5} = \frac{10}{7}$
6
结论：洞位于：
7
$\left(2, \frac{10}{7}\right)$

4. 区分洞与垂直渐近线★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

AP考试非常常见的题目要求考生对给定有理函数的所有间断点分类。分类规则很简单：完全分解分子和分母后，原分母的任何根如果也是分子的根（即对应公共线性因子）就是洞。原分母的任何根如果不是分子的根就是垂直渐近线。在图像上，洞用空心圆标记，而垂直渐近线用虚线标记。

📐 例题

将 $g (x) = \frac{( x - 4 ) ^{2} ( x + 2 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x - 4 )}$ 的所有间断点分类为洞或垂直渐近线，并求出所有洞的坐标。

1
列出原分母的所有根： $x = 1$ ， $x = - 3$ ， $x = 4$ 。
2
检查哪些根也是分子的根： $x = 1$ 和 $x = 4$ 是分子的根， $x = - 3$ 不是。
3
约去公因子得到化简后的函数：
4
$g(x) = \frac{(x-4)^2(x+2)\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x+3)\cancel{(x-4)}} = \frac{(x-4)(x+2)}{x+3}, \quad x \neq 1, x \neq 4$
5
计算 $y$ 坐标：对于 $x = 1$ ：
6
$y = \frac{(1-4)(1+2)}{1+3} = -\frac{9}{4}$
7
对于 $x = 4$ ：
8
$y = \frac{(0)(6)}{7} = 0$
9
结论：洞位于 $(1, - \frac{9}{4})$ 和 $(4, 0)$ 。 $x = - 3$ 处的间断点是垂直渐近线。

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪一项给出了函数 $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 10 x - 8}{x ^{2} - 16}$ 中所有洞的坐标？
- A) 没有洞
- B) 仅在 $(4, \frac{11}{4})$ 处有一个洞
- C) 仅在 $(- 4, \frac{1}{2})$ 处有一个洞
- D) 在 $(4, \frac{11}{4})$ 和 $(- 4, \frac{1}{2})$ 处都有洞
显示答案
B —
分子和分母之间唯一的公共线性因子是 $(x - 4)$ ，因此只有 $x = 4$ 是洞。 $x = - 4$ 是分母不被分子共享的根，因此它是垂直渐近线。只有选项B正确。

5. 常见陷阱

错误做法:

找到公因子 $(x - a)$ 后，你将 $x = a$ 代入原未化简函数求 $y$ 坐标，得到 $\frac{0}{0}$ ，就得出结论不存在洞。

原因:

学生忘记必须先约去公因子再求值，混淆了不定型 $\frac{0}{0}$ 和洞不存在。

正确做法:

一定要先约去分子分母的所有公因子，再将 $x = a$ 代入化简后的函数得到 $y$ 坐标。

错误做法:

你将分子分母的公共根分类为垂直渐近线。

原因:

学生记住了所有间断点都来自分母的根，但混淆了间断点的类型，忘记了公共根是可去间断点。

正确做法:

因式分解后，分类前要将每个分母根与分子的根交叉核对，确认它是否是公共根。

错误做法:

你约去一个二次公因子后，给整个二次式只算一个洞，而不是每个线性根算一个洞。

原因:

学生忘记非线性公因子可以分解为多个线性根，每个根都会产生自己的洞。

正确做法:

识别洞之前，一定要将所有多项式完全分解为唯一的线性因子。

错误做法:

绘图时，你在洞的坐标处画了实心点，而不是空心圆。

原因:

学生混淆了 $x = a$ 处极限存在和函数在 $x = a$ 处有定义这两个概念。

正确做法:

一定要用空心圆标记洞，以表明原函数在该点没有定义。

错误做法:

当 $(x - a)$ 作为公因子带有幂次时，你在同一个 $x$ 坐标处算多个洞。

原因:

学生认为公因子的指数会在同一个 $x$ 值产生多个间断点。

正确做法:

任何幂次的公因子 $(x - a)$ 都只会在 $x = a$ 处产生恰好一个洞，与指数无关。

6. 速查表

类别	规则 / 公式	注释
有理函数	$f (x) = \frac{N ( x )}{D ( x )}$ , $N (x), D (x)$ polynomials, $D (x) \neq = 0$	在所有满足 $D (x) = 0$ 处无定义
洞的定义	$x = a$ is a hole iff $(x - a)$ is a common linear factor of $N (x)$ and $D (x)$	$f (a)$ 无定义，但 $lim_{x \to a} f (x)$ 存在
求洞的 $x$ 坐标	Factor $N (x)$ and $D (x)$ , find roots of all unique common linear factors	每个唯一 $a$ 对应一个洞，与 $(x - a)$ 的指数无关
求洞的 $y$ 坐标	$y = f_{simplified} (a)$ , after canceling all common factors	千万不要将 $a$ 代入原未化简的 $f$
洞 vs 垂直渐近线	Shared root of $D (x)$ and $N (x)$ = hole; unshared root of $D (x)$ = asymptote	重复的公因子仍然只产生一个洞
绘制洞	Mark hole with open circle at $(a, f_{simplified} (a))$	空心圆表示函数在该点无定义
有理函数的定义域	Exclude all $x = a$ for holes and all $x = k$ for vertical asymptotes	原函数在洞的 $x$ 坐标处仍然无定义

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
求洞坐标的选择题
2023 · AP Precalculus
分类间断点的自由作答题

下一步

掌握有理函数中的洞是学习第一单元后续知识点的关键前提，包括绘制完整有理函数图像、分析所有类型的间断点，以及计算间断点处的极限。如果不能正确识别和分类洞，你就无法正确求出有理函数的定义域或绘制准确的图像，而这些都是AP考试中分值很高的常见自由作答题。本知识点也为理解连续性打下基础，连续性是微积分的核心概念，会在AP微积分预备课程的后续单元考查，同时也是建立和解释现实现象有理模型的基础。