# 有理函数与洞

> AP 预备微积分 · 第一单元：多项式与有理函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-holes/

本指南讲解如何识别有理函数中的可去间断点（洞）、因式分解找公共线性因子、计算洞坐标、区分洞与垂直渐近线，以及适用于AP微积分预备课程考试的绘图规则。

**先修:** 多项式因式分解技巧; 计算有理函数的极限; 有理函数绘图基本规则

## 学习目标

- 识别有理函数中的可去间断点（洞）
- 计算洞的完整$(x,y)$坐标
- 区分洞与垂直渐近线
- 为AP微积分预备课程考试题目对间断点分类

## 核心概念：什么是洞？

**洞（可去间断点）** — 洞出现在$x$值$a$处，此时有理函数的分子和分母都等于零，说明存在可约去的公共线性因子$(x-a)$。与垂直渐近线不同，洞是单个缺失点，可以通过'补全该点'来去除间断性。

*例:* 函数$f(x) = \frac{2(x+3)(x-2)}{(x+5)(x-2)}$在$x=2$处有一个洞。

有理函数被定义为两个多项式的比值$f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$，其中$N(x)$是分子多项式，$D(x)$是非零分母多项式。本知识点在AP微积分预备课程考试的选择题和自由作答题部分都会考查，属于第一单元，占考试总分的27–31%。

*计算器:* allowed

## 求洞的$x$坐标

要找到所有洞的$x$坐标，首先将分子和分母完全分解为线性因子。任何形如$(x-a)$的唯一公共线性因子都会在$x=a$处产生一个洞。分母中不是分子根的根对应垂直渐近线，而非洞。即使$(x-a)$在分子和分母中都带有幂次，它也只会在$x=a$处产生一个洞。

> **tip**
>
> 分解二次式之前，一定要先从分子和分母中提取最大公因式（GCF）；漏看最大公因式是学生在考试中找错洞的最常见原因。

**例题:** 求函数$f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 12}{x^2 + 3x - 10}$中所有洞的$x$坐标

1. 从提取最大公因式开始，完全分解分子：
2. $$2x^2 + 2x - 12 = 2(x^2 + x - 6) = 2(x+3)(x-2)$$
3. 完全分解分母：
4. $$x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$$
5. 识别唯一公共线性因子：唯一的公因子是$(x-2)$。
6. 剩余的分母根$x=-5$不是分子的根，因此它是垂直渐近线。
7. 结论：唯一洞的$x$坐标为：
8. $$x = 2$$

*计算器:* allowed

## 求洞的$y$坐标

得到洞的$x$坐标$a$后，$y$坐标等于约去所有公共因子后的化简函数在$x=a$处的值，这等于$\lim_{x \to a} f(x)$，即$x$趋近$a$时函数趋近的值。千万不要将$a$代入原未化简函数，因为这总会得到不定型$\frac{0}{0}$。

> **tip**
>
> 如果化简后的函数是多项式，求$y$坐标直接代入$a$即可；你不需要多余地计算极限。

**例题:** 求$f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 12}{x^2 + 3x - 10}$中洞的完整$(x,y)$坐标

1. 我们已经从上一个例子得知洞的$x$坐标是$a=2$。
2. 约去分子分母的公因子$(x-2)$，得到化简后的函数：
3. $$f(x) = \frac{2(x+3)\cancel{(x-2)}}{(x+5)\cancel{(x-2)}} = \frac{2(x+3)}{x+5}, \quad x \neq 2$$
4. 将$x=2$代入化简后的函数：
5. $$\frac{2(2+3)}{2+5} = \frac{10}{7}$$
6. 结论：洞位于：
7. $$\left(2, \frac{10}{7}\right)$$

*计算器:* allowed

## 区分洞与垂直渐近线

AP考试非常常见的题目要求考生对给定有理函数的所有间断点分类。分类规则很简单：完全分解分子和分母后，原分母的任何根如果也是分子的根（即对应公共线性因子）就是洞。原分母的任何根如果不是分子的根就是垂直渐近线。在图像上，洞用空心圆标记，而垂直渐近线用虚线标记。

> **exam_tip**
>
> 即使公共因子在分子和分母中的幂次不同，$x=a$仍然是洞，不是渐近线；只有分母中不出现在分子里的根才是垂直渐近线。

**例题:** 将$g(x) = \frac{(x-4)^2(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+3)(x-4)}$的所有间断点分类为洞或垂直渐近线，并求出所有洞的坐标。

1. 列出原分母的所有根：$x = 1$，$x = -3$，$x = 4$。
2. 检查哪些根也是分子的根：$x=1$和$x=4$是分子的根，$x=-3$不是。
3. 约去公因子得到化简后的函数：
4. $$g(x) = \frac{(x-4)^2(x+2)\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x+3)\cancel{(x-4)}} = \frac{(x-4)(x+2)}{x+3}, \quad x \neq 1, x \neq 4$$
5. 计算$y$坐标：对于$x=1$：
6. $$y = \frac{(1-4)(1+2)}{1+3} = -\frac{9}{4}$$
7. 对于$x=4$：
8. $$y = \frac{(0)(6)}{7} = 0$$
9. 结论：洞位于$\left(1, -\frac{9}{4}\right)$和$(4, 0)$。$x=-3$处的间断点是垂直渐近线。

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 下列哪一项给出了函数$f(x) = \frac{3x^2 - 10x - 8}{x^2 - 16}$中所有洞的坐标？

   - A) 没有洞
   - B) 仅在$(4, \frac{7}{4})$处有一个洞
   - C) 仅在$(-4, \frac{1}{2})$处有一个洞
   - D) 在$(4, \frac{7}{4})$和$(-4, \frac{1}{2})$处都有洞

   *解析:* 分子和分母之间唯一的公共线性因子是$(x-4)$，因此只有$x=4$是洞。$x=-4$是分母不被分子共享的根，因此它是垂直渐近线。只有选项B正确。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 找到公因子$(x-a)$后，你将$x=a$代入原未化简函数求$y$坐标，得到$\frac{0}{0}$，就得出结论不存在洞。
  - 原因: 学生忘记必须先约去公因子再求值，混淆了不定型$\frac{0}{0}$和洞不存在。
  - 正确做法: 一定要先约去分子分母的所有公因子，再将$x=a$代入化简后的函数得到$y$坐标。
- **错误做法:** 你将分子分母的公共根分类为垂直渐近线。
  - 原因: 学生记住了所有间断点都来自分母的根，但混淆了间断点的类型，忘记了公共根是可去间断点。
  - 正确做法: 因式分解后，分类前要将每个分母根与分子的根交叉核对，确认它是否是公共根。
- **错误做法:** 你约去一个二次公因子后，给整个二次式只算一个洞，而不是每个线性根算一个洞。
  - 原因: 学生忘记非线性公因子可以分解为多个线性根，每个根都会产生自己的洞。
  - 正确做法: 识别洞之前，一定要将所有多项式完全分解为唯一的线性因子。
- **错误做法:** 绘图时，你在洞的坐标处画了实心点，而不是空心圆。
  - 原因: 学生混淆了$x=a$处极限存在和函数在$x=a$处有定义这两个概念。
  - 正确做法: 一定要用空心圆标记洞，以表明原函数在该点没有定义。
- **错误做法:** 当$(x-a)$作为公因子带有幂次时，你在同一个$x$坐标处算多个洞。
  - 原因: 学生认为公因子的指数会在同一个$x$值产生多个间断点。
  - 正确做法: 任何幂次的公因子$(x-a)$都只会在$x=a$处产生恰好一个洞，与指数无关。

## 速查表

| 类别 | 规则 / 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 有理函数 | $f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$, $N(x), D(x)$ polynomials, $D(x) \neq 0$ | 在所有满足$D(x) = 0$处无定义 |
| 洞的定义 | $x=a$ is a hole iff $(x-a)$ is a common linear factor of $N(x)$ and $D(x)$ | $f(a)$无定义，但$\lim_{x \to a} f(x)$存在 |
| 求洞的$x$坐标 | Factor $N(x)$ and $D(x)$, find roots of all unique common linear factors | 每个唯一$a$对应一个洞，与$(x-a)$的指数无关 |
| 求洞的$y$坐标 | $y = f_{\text{simplified}}(a)$, after canceling all common factors | 千万不要将$a$代入原未化简的$f$ |
| 洞 vs 垂直渐近线 | Shared root of $D(x)$ and $N(x)$ = hole; unshared root of $D(x)$ = asymptote | 重复的公因子仍然只产生一个洞 |
| 绘制洞 | Mark hole with open circle at $(a, f_{\text{simplified}}(a))$ | 空心圆表示函数在该点无定义 |
| 有理函数的定义域 | Exclude all $x=a$ for holes and all $x=k$ for vertical asymptotes | 原函数在洞的$x$坐标处仍然无定义 |

## 下一步

掌握有理函数中的洞是学习第一单元后续知识点的关键前提，包括绘制完整有理函数图像、分析所有类型的间断点，以及计算间断点处的极限。如果不能正确识别和分类洞，你就无法正确求出有理函数的定义域或绘制准确的图像，而这些都是AP考试中分值很高的常见自由作答题。本知识点也为理解连续性打下基础，连续性是微积分的核心概念，会在AP微积分预备课程的后续单元考查，同时也是建立和解释现实现象有理模型的基础。

- [多项式与有理表达式的等价表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-equivalent-representations-of-polynomial-and/)
- [函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-transformations-of-functions/)
- [函数模型选择与假设表述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-function-model-selection-and-assumption/)

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