有理函数与终末行为

AP 微积分预备· AP 微积分预备 CED — 多项式与有理函数· 14 分钟阅读

1. 核心定义★★☆☆☆⏱ 3 min

有理函数的定义为：任何可以写成两个多项式之比 $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ 的函数，其中 $P (x)$ 和 $Q (x)$ 是化简后没有公因子的多项式，且 $Q (x)$ 不是零多项式。终末行为描述了当输入 $x$ 无限增大，即 $x \to + \infty$ 或 $x \to - \infty$ 时，输出值 $f (x)$ 的变化趋势。

📘 定义

有理函数

$f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$

表示为两个非零多项式之比的函数，化简后分子分母没有公因子。

例:

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 4}$ 是一个有理函数

根据AP微积分预备课程考试大纲（CED），该知识点占总分的约1.5-2%，会同时出现在选择题和自由作答题部分。常考题型包括：识别渐近线、将函数与图像匹配、解释情境模型中的长期趋势、计算无穷极限。

2. 终末行为的首项法则★★☆☆☆⏱ 4 min

分析任意有理函数 $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ 的终末行为时，当 $x$ 趋近于 $\pm \infty$ ，每个多项式的最高次（首）项支配所有低次项。当 $∣ x ∣$ 变得非常大时，低次项与首项相比可以忽略不计。

f(x) \approx \frac{a_n x^n}{b_m x^m} = \left(\frac{a_n}{b_m}\right)x^{n-m}

其中 $n$ 是分子 $P (x)$ 的次数， $m$ 是分母 $Q (x)$ 的次数， $a_{n}$ 是 $P (x)$ 的首项系数， $b_{m}$ 是 $Q (x)$ 的首项系数。该法则决定了有理函数的所有终末行为模式。

📐 例题

写出 $f (x) = \frac{2 x ^{4} - 3 x ^{2} + 7 x - 12}{5 x ^{2} + 4 x - 8}$ 当 $x \to + \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时的极限行为，以此确定该函数的终末行为。

1
第一步，确定次数和首项：分子 $P (x)$ 的次数为 $n = 4$ ，首项为 $2 x^{4}$ ；分母 $Q (x)$ 的次数为 $m = 2$ ，首项为 $5 x^{2}$ 。
2
应用首项法则：当 $∣ x ∣$ 很大时， $f (x)$ 近似等于：
3
$\frac{2x^4}{5x^2} = \frac{2}{5}x^2$
4
计算 $x \to + \infty$ 时的终末行为：当 $x$ 正向无限增大时， $\frac{2}{5} x^{2}$ 也无限增大趋近于 $+ \infty$ ，因此：
5
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
6
计算 $x \to - \infty$ 时的终末行为：即使 $x$ 是很大的负数， $x^{2}$ 仍然为正且无限增大，因此：
7
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$

Exam tip:

开始解题时，在应用首项法则前一定要先明确写下 $n$ （分子次数）和 $m$ （分母次数）。这样可以避免混淆次数，错误分类终末行为，这是选择题中常见的陷阱。

3. 终末行为渐近线的分类★★★☆☆⏱ 4 min

根据首项法则，我们可以根据 $n$ 和 $m$ 的关系对终末行为渐近线（即 $x \to \pm \infty$ 时 $f (x)$ 趋近的函数）进行分类：

情况1（ $n < m$ ）： 比值趋近于0，得到水平渐近线 $y = 0$ 。
情况2（ $n = m$ ）： 比值趋近于常数 $\frac{a _{n}}{b _{m}}$ ，得到水平渐近线 $y = \frac{a _{n}}{b _{m}}$ 。
情况3（ $n = m + 1$ ）： 比值是一次函数，得到斜渐近线，可通过多项式长除法求得。
情况4（ $n \geq m + 2$ ）： 终末行为遵循 $n - m$ 次多项式（曲线型渐近线），在AP微积分预备考试中很少考察。

📐 例题

求 $f (x) = \frac{4 x ^{2} - 5 x + 9}{2 x - 1}$ 的终末行为渐近线方程，并对渐近线类型进行分类。

1
确定次数：分子 $n = 2$ ，分母 $m = 1$ ，因此 $n = m + 1$ ，说明该函数存在斜渐近线。
2
进行多项式长除法，得到：
3
$f(x) = 2x - \frac{3}{2} + \frac{\frac{15}{2}}{2x - 1}$
4
当 $x \to \pm \infty$ 时，余项趋近于0，因此 $f (x)$ 趋近于：
5
$y = 2x - \frac{3}{2}$
6
分类：这是一条斜（斜截）渐近线。

Exam tip:

请记住，斜渐近线仅当分子次数比分母次数恰好大1时存在。如果分子次数比分母大2次或更多，则不存在斜渐近线，这是选择题中常见的干扰项。

4. 终末行为 vs 局部行为★★★☆☆⏱ 3 min

AP考试常考的一个核心区别是终末行为和局部行为的差异：终末行为是当 $x \to \pm \infty$ 时， $∣ x ∣$ 非常大时的行为；局部行为是在有限输入 $x = c$ 附近的行为，例如垂直渐近线或可去间断点（洞）附近的行为。终末行为完全由分子和分母的相对次数决定，而不连续点附近的局部行为由分母的根决定。

📐 例题

对于 $f (x) = \frac{3 x ( x - 2 )}{( x + 1 ) ( x - 2 )}$ ，请回答：(a) 写出它的水平终末行为渐近线，(b) 解释 $x = 2$ 处的不连续性是否会影响终末行为。

1
化简函数：公因子 $(x - 2)$ 约去，因此化简后的函数为 $f (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ （ $x \neq = 2$ ），在 $x = 2$ 处存在一个可去间断点（洞）。
2
求终末行为：分子和分母的次数都是1（ $n = m = 1$ ），因此水平渐近线为：
3
$y = \frac{3}{1} = 3$
4
$x = 2$ 处的不连续性是有限输入处的局部不连续性。它不会改变分子或分母的首项，因此对 $x \to \pm \infty$ 时的终末行为没有影响。
5
即使函数在 $x = 2$ 处无定义，这也不会改变当 $x$ 无限增大时函数趋近于 $y = 3$ 的事实。

Exam tip:

当你看到产生可去间断点（洞）的公因子时，请记住：洞是局部不连续性，永远不会改变有理函数的终末行为或终末行为渐近线。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

通过这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪个选项是 $f (x) = \frac{( 2 x ^{2} - 5 ) ( 3 x + 4 )}{6 x ^{3} - 2 x ^{2} + 11}$ 的终末行为渐近线方程，以及 $x \to + \infty$ 时的正确极限？
- A) 渐近线 $y = x$ ， $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$
- B) 渐近线 $y = 1$ ， $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$
- C) 渐近线 $y = 6 x$ ， $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$
- D) 渐近线 $y = 0$ ， $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$
显示答案
1 —
展开分子得到首项 $6 x^{3}$ ，因此 $n = 3$ ，首项系数为6。分母的次数也为 $m = 3$ ，首项系数为6。当 $n = m$ 时，水平渐近线为 $y = 6/6 = 1$ ，因此B正确。

6. 常见陷阱

错误做法:

当 $n = m$ 时，颠倒首项系数比，得到 $y = \frac{b _{m}}{a _{n}}$ 而非 $y = \frac{a _{n}}{b _{m}}$

原因:

学生死记法则时混淆了分子和分母，没有明确写出比值

正确做法:

化简前一定要明确写出比值 $\frac{分子首项系数}{分母首项系数}$ ，不要只依赖死记硬背。

错误做法:

当分子次数比分母高2次或更多时，声称存在斜渐近线

原因:

学生错误地归纳：只要分子次数更高就存在斜渐近线，忘记了'恰好高一次'的要求

正确做法:

下结论说存在斜渐近线前，一定要先写下 $n$ 和 $m$ ，然后明确检查是否满足 $n = m + 1$ 。

错误做法:

仅仅因为图像在有限 $x$ 处穿过水平渐近线就排除该选项

原因:

学生将垂直渐近线的'不能穿过'规则混淆到终末行为渐近线上

正确做法:

'不能穿过'规则仅适用于垂直渐近线；在有限 $x$ 处穿过水平/斜渐近线是允许的，不会影响终末行为。

错误做法:

对于 $f (x) = \frac{- 3 x ^{3}}{2 x ^{2}}$ ，声称 $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$

原因:

学生只看首项系数的符号，忘记检查 $x$ 为负时幂次的符号

正确做法:

求出首项比后，当指数 $n - m$ 为奇数时，要分别明确计算 $x \to + \infty$ 和 $x \to - \infty$ 时的符号。

错误做法:

因为函数在有限 $x$ 处存在洞，就声称终末行为极限不存在

原因:

学生将局部无定义点和终末行为混淆，弄错了不连续点的位置

正确做法:

终末行为仅取决于 $∣ x ∣$ 非常大时的行为，因此有限 $x$ 处的任何不连续性都不会改变终末行为。

7. 速查表

类别	法则/方程	注释
一般有理函数	$f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , $P, Q$ 为非零多项式	化简后 $Q$ 的根 = 垂直渐近线；公因子 = 局部洞，对终末行为无影响
终末行为首项法则	$f (x) \approx \frac{a _{n}}{b _{m}} x^{n - m}$ （ $∣ x ∣$ 很大时）	$n = de g P$ , $m = de g Q$ , $a_{n}, b_{m}$ = 首项系数
水平渐近线（ $n < m$ ）	$y = 0$	$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0$ ，终末行为趋近于x轴
水平渐近线（ $n = m$ ）	$y = \frac{a _{n}}{b _{m}}$	终末行为为常数，极限等于首项系数比
斜渐近线（ $n = m + 1$ ）	$y = m x + b$ （通过长除法求得）	仅当分子次数恰好比分母高1次时存在
曲线型终末行为（ $n \geq m + 2$ ）	终末行为遵循 $n - m$ 次多项式	AP微积分预备考试很少考察
渐近线相交规则	可以在有限 $x$ 处穿过水平/斜渐近线	永远不能穿过垂直渐近线；穿过不会改变终末行为
洞对终末行为的影响	无影响	洞是有限 $x$ 处的局部不连续性

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · MCQ
识别终末行为渐近线
2023 · FRQ
结合上下文解释终末行为

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unit overviewAP 微积分预备第一单元概述

下一步

本知识点是分析AP微积分预备第一单元其余内容中所有有理函数特征的基础。你将用这里学到的终末行为分类来绘制完整的有理函数图像、将函数与图像匹配、以及在应用建模问题中解释长期行为。如果不掌握首项法则和渐近线分类，你将很难区分混淆了不同渐近线类型的选择题干扰项，也无法正确回答要求解释终末行为的自由作答题。如果你在预科后继续学习数学，本知识点也为你在AP微积分中会用到的无穷极限奠定了基础。