变化率（平均变化率与等区间上的变化率）

AP 预备微积分· Unit 1 · Polynomial & Rational Functions· 12 分钟阅读

1. 平均变化率★★☆☆☆⏱ 4 min

在1.1主题中我们讨论了函数输出是上升还是下降。现在我们来度量变化的快慢——即变化率。最基础的形式是区间上的平均变化率。

📘 定义

平均变化率

AROC

在区间 $[a, b]$ 上， $f$ 的平均变化率是输出变化量除以输入变化量。它是一个恒定的速率，能够在该区间上产生完全相同的输出净变化量。

\text{average rate of change} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

从图像上看，它是连接两个端点 $(a, f (a))$ 和 $(b, f (b))$ 的直线的斜率——即割线。它的单位是输出单位每输入单位（例如米每秒）。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 在区间 $[1, 4]$ 上的平均变化率。

1
在端点处计算函数值：
2
$f(1) = 1 - 2 = -1, \qquad f(4) = 16 - 8 = 8$
3
将输出变化量除以输入变化量：
4
$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$
5
平均而言，在区间 $[1, 4]$ 上，输入每增加1个单位，输出上升3个单位。

📐 例题

一辆汽车的行驶距离 $d$ （单位：米）每2秒记录一次。求每个等区间上的平均变化率（平均速度）。

$t$ (秒)	$0$	$2$	$4$	$6$
$d$ (米)	$0$	$18$	$40$	$66$

1
每个区间宽度相同（2秒），只需将每个距离变化量除以2：
2
$[0,2]:\ \tfrac{18-0}{2}=9 \quad [2,4]:\ \tfrac{40-18}{2}=11 \quad [4,6]:\ \tfrac{66-40}{2}=13$
3
平均速度分别为9、11、13米每秒。所有值均为正（汽车持续向前行驶），且数值逐渐增大——汽车在这些区间内正在加速。

2. 某点处的变化率★★☆☆☆⏱ 3 min

那单个点处的变化率，而非整个区间上的变化率要如何计算呢？在预备微积分中我们不使用微积分求解，而是采用近似方法。

📘 定义

某点处的变化率

输出在该精确点处的变化速率。我们通过包含该点的小区间上的平均变化率对其进行近似。区间越小，近似结果越准确。

📐 例题

在 $x = 2$ 附近记录了函数 $h$ 的取值。估算 $h$ 在 $x = 2$ 处的变化率。

$x$	$1.9$	$2.0$	$2.1$
$h (x)$	$5.2$	$6.0$	$7.0$

1
使用 $x = 2$ 附近的小区间 $[1.9, 2.1]$ 上的平均变化率：
2
$\frac{h(2.1) - h(1.9)}{2.1 - 1.9} = \frac{7.0 - 5.2}{0.2} = \frac{1.8}{0.2} = 9$
3
因此 $h$ 在 $x = 2$ 处的变化率约为 9。在 $x = 2$ 附近取更小的区间可以得到更精确的估计值，但该值始终是基于平均变化率得到的近似结果。

3. 比较变化率与读取符号含义★★★☆☆⏱ 4 min

变化率还有另外两个用途。首先，一旦你估算出某点处的变化率，就可以比较两个点的变化率。其次，变化率的符号可以告诉你两个量共变的方向。

📘 定义

变化率的符号

正变化率表示两个量的变化方向相同——当输入增大时，输出也增大。负变化率表示两个量的变化方向相反——当输入增大时，输出减小。变化率的绝对值越大，变化越快。

\text{positive rate} \Rightarrow \text{same direction} \quad \text{negative rate} \Rightarrow \text{opposite directions}

📐 例题

一杯咖啡正在冷却：时间为 $m$ （分钟）时的温度 $T$ （摄氏度）满足 $T (0) = 90$ ， $T (4) = 74$ ， $T (10) = 58$ 。(a) 求 $[0, 4]$ 和 $[4, 10]$ 上的平均变化率。(b) 该符号的含义是什么？(c) 哪个区间内温度变化更快？

1
(a) 将每个温度变化量除以对应的时间变化量：
2
$[0,4]:\ \frac{74-90}{4-0}=\frac{-16}{4}=-4 \quad \quad [4,10]:\ \frac{58-74}{10-4}=\frac{-16}{6}\approx -2.7$
3
(b) 两个变化率均为负——随着时间增加，温度降低。两个量变化方向相反（咖啡正在冷却）。
4
(c) 第一个区间的绝对值更大， $∣ - 4∣ > ∣ - 2.7∣$ ，因此温度在 $[0, 4]$ 上变化更快。

4. AP 题型练习★★☆☆☆⏱ 5 min

✓ 快速检测

完成以下选择题测试你的理解：

表格给出了 $g (x)$ 的取值。求 $g$ 在区间 $[1, 5]$ 上的平均变化率。
$x$ $1$ $3$ $5$
$g (x)$ $4$ $10$ $20$
- $4$
- $8$
- $16$
- $2$

$x$	$1$	$3$	$5$
$g (x)$	$4$	$10$	$20$

📐 例题

一台机器的价值 $V$ （单位：千美元）在使用 $t$ 年后满足 $V (t) = 40 - 3 t$ 。求 $V$ 在区间 $[0, 6]$ 上的平均变化率，并结合实际情境解释其符号的含义。

1
计算端点处的函数值： $V (0) = 40$ ， $V (6) = 40 - 18 = 22$ 。
2
$\frac{V(6)-V(0)}{6-0} = \frac{22-40}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
3
变化率为每年 -3 千美元。负号表示价值随时间增加而降低——该机器的价值平均每年减少3000美元。

📐 例题

函数 $f$ 在 $x = 5$ 附近的取值为： $f (4.8) = 12.4$ ， $f (5.2) = 15.6$ 。估算 $f$ 在 $x = 5$ 处的变化率。

1
使用 $x = 5$ 附近的小区间 $[4.8, 5.2]$ 上的平均变化率：
2
$\frac{f(5.2)-f(4.8)}{5.2-4.8} = \frac{15.6-12.4}{0.4} = \frac{3.2}{0.4} = 8$
3
$f$ 在 $x = 5$ 处的变化率约为 8，该值为正，因此在 $x = 5$ 附近，输出随输入增大而上升。

5. 常见陷阱

错误做法:

将区间 $[a, b]$ 上的平均变化率写为 $\frac{f ( a ) - f ( b )}{b - a}$ 。

原因:

输出的顺序颠倒但输入顺序未颠倒，会得到错误的符号。

正确做法:

保持两个变化量的顺序一致： $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ ——分子是末态减初态，分母也是末态减初态。

错误做法:

将某点处的变化率视为可以直接计算的精确值。

原因:

求解单个点处的精确变化率需要用到微积分，超出本课程范围。在预备微积分中该值只能近似得到。

正确做法:

用该点附近小区间上的平均变化率近似该点处的变化率；区间越小，近似结果越准确。

错误做法:

将平均变化率计算为两个输出的平均值，例如 $\frac{f ( a ) + f ( b )}{2}$ 。

原因:

这是输出的平均值，而非平均变化率。变化率是变化量除以变化量。

正确做法:

始终将输出变化量除以输入变化量： $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ 。

错误做法:

仅报告输出的变化量（例如“它上升了18”）并将其称为变化率。

原因:

变化率必须同时考虑输入的变化量——2秒内上升18和6秒内上升18的速率完全不同。

正确做法:

除以输入变化量，得到带单位的速率（输出每单位输入）。

错误做法:

仅根据平均变化率为正就得出函数在整个区间上单调递增的结论。

原因:

正的平均变化率仅表示净变化为正；函数完全可能先下降再回升。

正确做法:

正的平均变化率仅描述区间上的整体/净变化方向，不代表区间内每一点函数都上升。

6. 速查表

概念	规则	关键说明
区间 $[a, b]$ 上的平均变化率	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$	输出变化量 ÷ 输入变化量；过两点的直线的斜率
“相同净变化”思想	产生相同总变化量的恒定速率	区间上的直线等效替代
某点处的变化率	≈ 该点附近小区间上的平均变化率	预备微积分中仅做近似，不使用微积分；区间越小结果越准
比较两个点的变化率	分别估算两点的变化率后比较	图像越陡，变化率越大
正变化率	输出与输入变化方向相同	两个量同步变化（同时上升或同时下降）
负变化率	输出与输入变化方向相反	一个量上升时另一个量下降
变化率的大小	绝对值越大，变化越快	符号表示方向，大小表示变化快慢

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
从表格或图像计算平均变化率
2024 · AP Precalculus
在实际情境中解释和比较变化率

下一步

你现在已经掌握了如何度量函数的变化快慢——区间上的平均变化率，以及某点处的近似变化率，还可以通过符号判断变化方向。接下来的1.3主题将介绍两类重要函数的变化率特征：线性函数（恒定变化率）和二次函数（变化率按规律变化）。