# 变化率（平均变化率与等区间上的变化率）

> AP 预备微积分 · 第1单元：多项式与有理函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change/

讲解如何度量函数的变化快慢：区间上的平均变化率、某点处的变化率（用平均变化率近似，不涉及微积分）、如何比较两个点的变化率，以及变化率的符号如何描述两个量的共变方式。

**先修:** 1.1 主题——单调递增/递减、定义域与值域; 读取图像上的点并计算斜率; 分数与带符号数的算术运算

## 学习目标

- 将区间上函数的平均变化率定义为输出变化量除以输入变化量并完成计算。
- 利用小区间上的平均变化率近似函数在某点处的变化率。
- 比较两个点处的变化率大小。
- 通过变化率的符号描述两个量的共变方式。

## 平均变化率

在1.1主题中我们讨论了函数输出是上升还是下降。现在我们来度量**变化的快慢**——即**变化率**。最基础的形式是区间上的**平均**变化率。

**平均变化率** — 在区间 $[a, b]$ 上，$f$ 的平均变化率是**输出变化量除以输入变化量**。它是一个**恒定**的速率，能够在该区间上产生完全相同的输出净变化量。

*记法:* AROC

$$\text{average rate of change} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

从图像上看，它是连接两个端点 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的直线的斜率——即**割线**。它的单位是输出单位每输入单位（例如米每秒）。

**例题:** 求 $f(x) = x^2 - 2x$ 在区间 $[1, 4]$ 上的平均变化率。

1. 在端点处计算函数值：
2. $$f(1) = 1 - 2 = -1, \qquad f(4) = 16 - 8 = 8$$
3. 将输出变化量除以输入变化量：
4. $$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$$
5. 平均而言，在区间 $[1,4]$ 上，输入每增加1个单位，输出上升3个单位。

**例题:** 一辆汽车的行驶距离 $d$（单位：米）每2秒记录一次。求每个等区间上的平均变化率（平均速度）。

| $t$ (秒) | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|
| $d$ (米) | $0$ | $18$ | $40$ | $66$ |

1. 每个区间宽度相同（2秒），只需将每个距离变化量除以2：
2. $$[0,2]:\ \tfrac{18-0}{2}=9 \quad [2,4]:\ \tfrac{40-18}{2}=11 \quad [4,6]:\ \tfrac{66-40}{2}=13$$
3. 平均速度分别为9、11、13米每秒。所有值均为正（汽车持续向前行驶），且数值逐渐增大——汽车在这些区间内正在加速。

> **tip**
>
> 保持运算顺序一致：输出变化量在分子，输入变化量在分母，二者对应同一个区间。使用 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，不要写成 $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$。

## 某点处的变化率

那**单个点**处的变化率，而非整个区间上的变化率要如何计算呢？在预备微积分中我们**不**使用微积分求解，而是采用**近似**方法。

**某点处的变化率** — 输出在该精确点处的变化速率。我们通过**包含该点的小区间上的平均变化率**对其进行近似。区间越小，近似结果越准确。

**例题:** 在 $x = 2$ 附近记录了函数 $h$ 的取值。估算 $h$ 在 $x = 2$ 处的变化率。

| $x$ | $1.9$ | $2.0$ | $2.1$ |
|---|---|---|---|
| $h(x)$ | $5.2$ | $6.0$ | $7.0$ |

1. 使用 $x=2$ 附近的小区间 $[1.9, 2.1]$ 上的平均变化率：
2. $$\frac{h(2.1) - h(1.9)}{2.1 - 1.9} = \frac{7.0 - 5.2}{0.2} = \frac{1.8}{0.2} = 9$$
3. 因此 $h$ 在 $x=2$ 处的变化率约为 **9**。在 $x=2$ 附近取更小的区间可以得到更精确的估计值，但该值始终是基于平均变化率得到的近似结果。

> **warning**
>
> 这是一个**近似值**，而非精确值。求解单个点处的精确变化率需要用到微积分，这门课程将在本课程之后学习——我们这里仅用平均变化率进行估算。

## 比较变化率与读取符号含义

变化率还有另外两个用途。首先，一旦你估算出某点处的变化率，就可以**比较两个点的变化率**。其次，变化率的**符号**可以告诉你两个量共变的方向。

**变化率的符号** — **正**变化率表示两个量的变化方向**相同**——当输入增大时，输出也增大。**负**变化率表示两个量的变化方向**相反**——当输入增大时，输出减小。变化率的绝对值越大，变化越快。

$$\text{positive rate} \Rightarrow \text{same direction} \quad \text{negative rate} \Rightarrow \text{opposite directions}$$

**例题:** 一杯咖啡正在冷却：时间为 $m$（分钟）时的温度 $T$（摄氏度）满足 $T(0)=90$，$T(4)=74$，$T(10)=58$。(a) 求 $[0,4]$ 和 $[4,10]$ 上的平均变化率。(b) 该符号的含义是什么？(c) 哪个区间内温度变化更快？

1. (a) 将每个温度变化量除以对应的时间变化量：
2. $$[0,4]:\ \frac{74-90}{4-0}=\frac{-16}{4}=-4 \quad \quad [4,10]:\ \frac{58-74}{10-4}=\frac{-16}{6}\approx -2.7$$
3. (b) 两个变化率均为**负**——随着时间增加，温度降低。两个量变化方向相反（咖啡正在冷却）。
4. (c) 第一个区间的绝对值更大，$|-4| > |-2.7|$，因此温度在 $[0,4]$ 上变化更快。

> **tip**
>
> 这与1.1主题的内容相呼应：正变化率对应**递增**函数，负变化率对应**递减**函数——现在我们可以用数值来量化变化的快慢。

## AP 题型练习

**概念自测**

完成以下选择题测试你的理解：

1. 表格给出了 $g(x)$ 的取值。求 $g$ 在区间 $[1,5]$ 上的平均变化率。

| $x$ | $1$ | $3$ | $5$ |
|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $4$ | $10$ | $20$ |

   - $4$
   - $8$
   - $16$
   - $2$

   *答案:* $4$

   *解析:* 区间 $[1,5]$ 上的平均变化率仅需使用端点计算：$\frac{g(5)-g(1)}{5-1} = \frac{20-4}{4} = \frac{16}{4} = 4$。

**例题:** 一台机器的价值 $V$（单位：千美元）在使用 $t$ 年后满足 $V(t) = 40 - 3t$。求 $V$ 在区间 $[0,6]$ 上的平均变化率，并结合实际情境解释其符号的含义。

1. 计算端点处的函数值：$V(0) = 40$，$V(6) = 40 - 18 = 22$。
2. $$\frac{V(6)-V(0)}{6-0} = \frac{22-40}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$
3. 变化率为每年 -3 千美元。**负**号表示价值随时间增加而降低——该机器的价值平均每年减少3000美元。

**例题:** 函数 $f$ 在 $x=5$ 附近的取值为：$f(4.8) = 12.4$，$f(5.2) = 15.6$。估算 $f$ 在 $x=5$ 处的变化率。

1. 使用 $x=5$ 附近的小区间 $[4.8,5.2]$ 上的平均变化率：
2. $$\frac{f(5.2)-f(4.8)}{5.2-4.8} = \frac{15.6-12.4}{0.4} = \frac{3.2}{0.4} = 8$$
3. $f$ 在 $x=5$ 处的变化率约为 **8**，该值为正，因此在 $x=5$ 附近，输出随输入增大而上升。

## 常见错误

- **错误做法:** 将区间 $[a,b]$ 上的平均变化率写为 $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$。
  - 原因: 输出的顺序颠倒但输入顺序未颠倒，会得到错误的符号。
  - 正确做法: 保持两个变化量的顺序一致：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$——分子是末态减初态，分母也是末态减初态。
- **错误做法:** 将某点处的变化率视为可以直接计算的精确值。
  - 原因: 求解单个点处的精确变化率需要用到微积分，超出本课程范围。在预备微积分中该值只能近似得到。
  - 正确做法: 用该点附近小区间上的平均变化率近似该点处的变化率；区间越小，近似结果越准确。
- **错误做法:** 将平均变化率计算为两个输出的平均值，例如 $\frac{f(a)+f(b)}{2}$。
  - 原因: 这是输出的平均**值**，而非平均**变化率**。变化率是变化量除以变化量。
  - 正确做法: 始终将输出变化量除以输入变化量：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
- **错误做法:** 仅报告输出的变化量（例如“它上升了18”）并将其称为变化率。
  - 原因: 变化率必须同时考虑输入的变化量——2秒内上升18和6秒内上升18的速率完全不同。
  - 正确做法: 除以输入变化量，得到带单位的速率（输出每单位输入）。
- **错误做法:** 仅根据平均变化率为正就得出函数在整个区间上单调递增的结论。
  - 原因: 正的平均变化率仅表示净变化为正；函数完全可能先下降再回升。
  - 正确做法: 正的平均变化率仅描述区间上的整体/净变化方向，不代表区间内每一点函数都上升。

## 速查表

| 概念 | 规则 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 区间 $[a,b]$ 上的平均变化率 | $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ | 输出变化量 ÷ 输入变化量；过两点的直线的斜率 |
| “相同净变化”思想 | 产生相同总变化量的恒定速率 | 区间上的直线等效替代 |
| 某点处的变化率 | ≈ 该点附近小区间上的平均变化率 | 预备微积分中仅做近似，不使用微积分；区间越小结果越准 |
| 比较两个点的变化率 | 分别估算两点的变化率后比较 | 图像越陡，变化率越大 |
| 正变化率 | 输出与输入变化方向相同 | 两个量同步变化（同时上升或同时下降） |
| 负变化率 | 输出与输入变化方向相反 | 一个量上升时另一个量下降 |
| 变化率的大小 | 绝对值越大，变化越快 | 符号表示方向，大小表示变化快慢 |

## 下一步

你现在已经掌握了如何度量函数的变化快慢——区间上的平均变化率，以及某点处的近似变化率，还可以通过符号判断变化方向。接下来的1.3主题将介绍两类重要函数的变化率特征：线性函数（恒定变化率）和二次函数（变化率按规律变化）。

- [线性与二次函数的变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change-in-linear/)
- [多项式函数与变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-rates-of/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change/