一次与二次函数中的变化率

AP 微积分预备· Unit 1 · Polynomial & Rational Functions· 13 分钟阅读

1. 平均变化率 = 割线的斜率★☆☆☆☆⏱ 2 min

回顾知识点1.2：函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均变化率是输出值的变化量与输入值的变化量的比值。知识点1.3给出了它的准确定义：它是连接两个端点 $(a, f (a))$ 和 $(b, f (b))$ 的割线的斜率。

📘 定义

平均变化率（割线斜率）

函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上的平均变化率是经过点 $(a, f (a))$ 和 $(b, f (b))$ 的直线（即割线）的斜率。

\text{average rate of change} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

本知识点提出了一个简单的延伸问题：当你沿着函数图像移动时，这个变化率会如何变化？ 对于直线和抛物线，答案截然不同，且能揭示函数的核心特性。

2. 一次函数：恒定变化率★★☆☆☆⏱ 3 min

对于一次函数，无论区间长度如何，它在任意区间上的平均变化率都完全相同，这个值就是直线的斜率。

📐 例题

证明 $f (x) = 2 x + 1$ 在区间 $[0, 3]$ 和 $[5, 9]$ 上的平均变化率相等。

1
在区间 $[0, 3]$ 上：
2
$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{7 - 1}{3} = 2$
3
在区间 $[5, 9]$ 上：
4
$\frac{f(9) - f(5)}{9 - 5} = \frac{19 - 11}{4} = 2$
5
两个结果都等于2，也就是该直线的斜率。直线的平均变化率在所有位置都是恒定的。

由于变化率永远不会改变，我们称一次函数的变化率以速率0发生变化。

3. 二次函数：变化率构成一次模式★★★☆☆⏱ 4 min

对于二次函数，在连续的等长区间上的平均变化率不是恒定的，但它们的变化非常有规律：构成一次模式。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2}$ 在从0到4的每个连续单位区间上的平均变化率。

区间	$[0, 1]$	$[1, 2]$	$[2, 3]$	$[3, 4]$
平均变化率	?	?	?	?

1
使用公式 $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ 计算每一项（所有区间宽度均为1）：
2
$1,\quad 3,\quad 5,\quad 7$
3
这些变化率不是恒定的，但每一项都比前一项大2。序列 $1, 3, 5, 7$ 是一个一次模式（等差数列）。
4
因此二次函数在等长区间上的平均变化率可以用一次函数描述，其变化率本身以恒定速率变化（本例中每步增加2）。

4. 凹凸性 — 从变化率读取★★★☆☆⏱ 4 min

平均变化率的移动方向决定了函数的凹凸性。

📘 定义

上凹 / 下凹

如果所有等长小区间上的平均变化率都递增（越来越大），则函数图像为上凹（开口向上呈碗状）。如果这些变化率递减，则函数图像为下凹（开口向下呈帽状）。

这是学生最容易搞错的点： 凹凸性和函数的增减性并不相同。增减性描述的是输出值的变化（ $f$ 上升还是下降，对应变化率的符号）。凹凸性描述的是变化率本身的变化（变化率上升还是下降）。一个函数可以同时满足递减且上凹：函数值在下降，但下降的陡峭程度越来越小，因为它的变化率仍在递增（例如从 $- 4$ 变为 $- 2$ 再变为 $0$ ）。

📐 例题

某函数在四个连续等长区间上的平均变化率为 $8, 5, 3, 2$ ，该区间内函数是上凹还是下凹？

1
观察变化率的变化趋势： $8 \to 5 \to 3 \to 2$ ，它们在递减。
2
平均变化率递减 ⇒ 下凹。（输出值仍在上升，所有变化率均为正，但每一步的上升幅度都比上一步小。）

5. AP 题型练习★★☆☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

通过这道选择题测试你的理解程度：

某函数在连续等长区间上的平均变化率为 $2, 2, 2, 2$ ，该函数属于哪一类？
- 二次函数
- 一次函数
- 上凹
- 下凹
显示答案
1 —
等长区间上平均变化率恒定是一次函数的标志性特征（它的变化率永远不变）。二次函数的变化率会形成非恒定的一次模式，例如 $1, 3, 5, 7$ 。

📐 例题

下表给出了函数 $g$ 的取值。(a) 求每个单位区间上的平均变化率。(b) $g$ 是一次函数还是二次函数？(c) 它是上凹还是下凹？

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g (x)$	$2$	$3$	$6$	$11$

1
(a) $[0, 1], [1, 2], [2, 3]$ 上的平均变化率：
2
$3-2 = 1, \quad 6-3 = 3, \quad 11-6 = 5$
3
(b) 变化率 $1, 3, 5$ 不是恒定值，但每次增加2，构成一次模式，因此 $g$ 是二次函数。
4
(c) 变化率递增（ $1 < 3 < 5$ ），因此 $g$ 是上凹的。

6. 常见陷阱

错误做法:

误以为一次函数的变化率会加快或减慢。

原因:

直线的所有位置斜率都相同，因此它在任意区间上的平均变化率都是恒定的，变化量为0。

正确做法:

对于一次函数，任意区间上的平均变化率都相等；只有非线性函数的变化率才会发生改变。

错误做法:

因为二次函数的变化率构成一次模式，就误将二次函数称为一次函数。

原因:

平均变化率的模式（ $1, 3, 5, 7$ ）是一次的，但原函数本身（ $x^{2}$ ）是二次的，二者属于不同层级。

正确做法:

变化率恒定 ⇒ 原函数是一次函数；变化率构成（非恒定的）一次模式 ⇒ 原函数是二次函数。

错误做法:

将上凹等同于函数递增。

原因:

增减性描述的是变化率的符号（输出值上升还是下降）；凹凸性描述的是变化率本身的增减。函数可以同时递减且上凹（下降的陡峭程度越来越小）。

正确做法:

仅根据平均变化率的递增或递减判断凹凸性，绝对不要根据原函数本身的升降趋势判断。

错误做法:

试图用微积分方法判断凹凸性。

原因:

微积分工具超出了本课程的范围。本课程中凹凸性完全通过等长区间上的平均变化率定义。

正确做法:

比较等长步长上的平均变化率：递增 ⇒ 上凹，递减 ⇒ 下凹。

错误做法:

仅通过两个点判断凹凸性。

原因:

两个点只能得到一个平均变化率，你需要多个等长区间才能观察变化率是递增还是递减。

正确做法:

至少使用三个连续的等长区间，这样你就可以比较相邻的平均变化率。

7. 速查表

概念	规则	核心说明
$[a, b]$ 上的平均变化率	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ = 割线的斜率	经过 $(a, f (a))$ 和 $(b, f (b))$ 的直线
一次函数	平均变化率恒定	所有区间上取值相同，等于斜率；变化率的变化量为0
二次函数	平均变化率构成一次模式	例如 $1, 3, 5, 7$ ；变化率的增量恒定
上凹	等长步长上的平均变化率递增	图像呈向上的碗状
下凹	等长步长上的平均变化率递减	图像呈向下的帽状
凹凸性与增减性的区别	凹凸性描述变化率的方向，而非输出值的方向	函数可以递减同时保持上凹

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
根据平均变化率表格对函数进行分类
2024 · AP Precalculus
根据变化率的增减性确定凹凸性

下一步

现在你可以直接从平均变化率表格中判断函数的类别和凹凸性：恒定变化率对应一次函数，变化率呈一次模式对应二次函数，变化率递增对应上凹，变化率递减对应下凹。接下来的知识点1.4会将这些变化率的概念拓展到任意次数的多项式函数。