# 一次与二次函数中的变化率

> AP 预备微积分 · 第1单元：多项式与有理函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change-in-linear/

讲解两类核心函数族的平均变化率特性：一次函数（恒定变化率）和二次函数（变化率构成一次模式），以及变化率的移动方向如何决定函数的凹凸性。全部基于平均变化率推导，无需用到微积分知识。

**先修:** 知识点1.2 — 区间上的平均变化率; 直线的斜率；读取数值表格; 区分一次函数与二次函数

## 学习目标

- 将函数的平均变化率求解为割线的斜率
- 理解一次函数的平均变化率为恒定值
- 理解二次函数在等长区间上的平均变化率构成一次模式
- 根据平均变化率的增减性判断函数的凹凸性

## 平均变化率 = 割线的斜率

回顾知识点1.2：函数$f$在区间$[a,b]$上的平均变化率是输出值的变化量与输入值的变化量的比值。知识点1.3给出了它的准确定义：它是连接两个端点$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的**割线的斜率**。

**平均变化率（割线斜率）** — 函数$f$在$[a,b]$上的平均变化率是经过点$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的直线（即*割线*）的斜率。

$$\text{average rate of change} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

本知识点提出了一个简单的延伸问题：当你沿着函数图像移动时，**这个变化率会如何变化？** 对于直线和抛物线，答案截然不同，且能揭示函数的核心特性。

## 一次函数：恒定变化率

对于**一次**函数，无论区间长度如何，它在任意区间上的平均变化率都**完全相同**，这个值就是直线的斜率。

**例题:** 证明$f(x) = 2x + 1$在区间$[0,3]$和$[5,9]$上的平均变化率相等。

1. 在区间$[0,3]$上：
2. $$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{7 - 1}{3} = 2$$
3. 在区间$[5,9]$上：
4. $$\frac{f(9) - f(5)}{9 - 5} = \frac{19 - 11}{4} = 2$$
5. 两个结果都等于2，也就是该直线的斜率。直线的平均变化率在所有位置都是恒定的。

由于变化率永远不会改变，我们称一次函数的变化率**以速率0发生变化**。

> **tip**
>
> 这是一次函数的核心定义特征：在等长的步长下，输出值每次上升（或下降）的量都完全相等。

## 二次函数：变化率构成一次模式

对于**二次**函数，在连续的**等长**区间上的平均变化率*不*是恒定的，但它们的变化非常有规律：构成**一次模式**。

**例题:** 求$f(x) = x^2$在从0到4的每个连续单位区间上的平均变化率。

| 区间 | $[0,1]$ | $[1,2]$ | $[2,3]$ | $[3,4]$ |
|---|---|---|---|---|
| 平均变化率 | ? | ? | ? | ? |

1. 使用公式$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$计算每一项（所有区间宽度均为1）：
2. $$1,\quad 3,\quad 5,\quad 7$$
3. 这些变化率不是恒定的，但每一项都比前一项大**2**。序列$1,3,5,7$是一个一次模式（等差数列）。
4. 因此二次函数在等长区间上的平均变化率**可以用一次函数描述**，其变化率本身**以恒定速率变化**（本例中每步增加2）。

> **warning**
>
> 不要混淆两个层级：*函数*$x^2$是二次函数（不是一次函数），但它的*平均变化率的模式*（$1,3,5,7$）是一次的。是**变化率**本身呈一次模式，而不是原函数是一次函数。

## 凹凸性 — 从变化率读取

平均变化率的**移动方向**决定了函数的**凹凸性**。

**上凹 / 下凹** — 如果所有等长小区间上的平均变化率都**递增**（越来越大），则函数图像为**上凹**（开口向上呈碗状）。如果这些变化率**递减**，则函数图像为**下凹**（开口向下呈帽状）。

**这是学生最容易搞错的点：** 凹凸性和函数的增减性*并不相同*。增减性描述的是**输出值**的变化（$f$上升还是下降，对应变化率的*符号*）。凹凸性描述的是**变化率本身**的变化（变化率上升还是下降）。一个函数可以同时满足**递减且上凹**：函数值在下降，但下降的陡峭程度越来越小，因为它的变化率仍在递增（例如从$-4$变为$-2$再变为$0$）。

**例题:** 某函数在四个连续等长区间上的平均变化率为$8,5,3,2$，该区间内函数是上凹还是下凹？

1. 观察变化率的变化趋势：$8 \to 5 \to 3 \to 2$，它们在**递减**。
2. 平均变化率递减 ⇒ **下凹**。（输出值仍在上升，所有变化率均为正，但每一步的上升幅度都比上一步小。）

> **tip**
>
> 拓展内容（选学）：$f$的变化率本身是关于$x$的函数，我们称之为变化率函数。称$f$上凹等价于该变化率函数递增（函数值上升）；下凹等价于该变化率函数递减。对于二次函数，该变化率函数是一条直线（$1,3,5,7$的模式就是它的取值），因此“递增”就代表这条直线向上倾斜。你之后在微积分中会学习这个概念的正式定义，但现在我们完全可以通过平均变化率推导得到所有结论，无需用到微积分知识。

## AP 题型练习

**概念自测**

通过这道选择题测试你的理解程度：

1. 某函数在连续等长区间上的平均变化率为$2,2,2,2$，该函数属于哪一类？

   - 二次函数
   - 一次函数
   - 上凹
   - 下凹

   *答案:* 一次函数

   *解析:* 等长区间上平均变化率恒定是**一次函数**的标志性特征（它的变化率永远不变）。二次函数的变化率会形成非恒定的一次模式，例如$1,3,5,7$。

**例题:** 下表给出了函数$g$的取值。(a) 求每个单位区间上的平均变化率。(b) $g$是一次函数还是二次函数？(c) 它是上凹还是下凹？

| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $2$ | $3$ | $6$ | $11$ |

1. (a) $[0,1], [1,2], [2,3]$上的平均变化率：
2. $$3-2 = 1, \quad 6-3 = 3, \quad 11-6 = 5$$
3. (b) 变化率$1,3,5$不是恒定值，但每次增加2，构成一次模式，因此$g$是**二次函数**。
4. (c) 变化率**递增**（$1 < 3 < 5$），因此$g$是**上凹**的。

## 常见错误

- **错误做法:** 误以为一次函数的变化率会加快或减慢。
  - 原因: 直线的所有位置斜率都相同，因此它在任意区间上的平均变化率都是恒定的，变化量为0。
  - 正确做法: 对于一次函数，任意区间上的平均变化率都相等；只有非线性函数的变化率才会发生改变。
- **错误做法:** 因为二次函数的变化率构成一次模式，就误将二次函数称为一次函数。
  - 原因: 平均变化率的模式（$1,3,5,7$）是一次的，但原函数本身（$x^2$）是二次的，二者属于不同层级。
  - 正确做法: 变化率恒定 ⇒ 原函数是一次函数；变化率构成（非恒定的）一次模式 ⇒ 原函数是二次函数。
- **错误做法:** 将上凹等同于函数递增。
  - 原因: 增减性描述的是变化率的符号（输出值上升还是下降）；凹凸性描述的是变化率本身的增减。函数可以同时递减且上凹（下降的陡峭程度越来越小）。
  - 正确做法: 仅根据平均变化率的递增或递减判断凹凸性，绝对不要根据原函数本身的升降趋势判断。
- **错误做法:** 试图用微积分方法判断凹凸性。
  - 原因: 微积分工具超出了本课程的范围。本课程中凹凸性完全通过等长区间上的平均变化率定义。
  - 正确做法: 比较等长步长上的平均变化率：递增 ⇒ 上凹，递减 ⇒ 下凹。
- **错误做法:** 仅通过两个点判断凹凸性。
  - 原因: 两个点只能得到一个平均变化率，你需要多个等长区间才能观察变化率是递增还是递减。
  - 正确做法: 至少使用三个连续的等长区间，这样你就可以比较相邻的平均变化率。

## 速查表

| 概念 | 规则 | 核心说明 |
| --- | --- | --- |
| $[a,b]$上的平均变化率 | $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ = 割线的斜率 | 经过$(a,f(a))$和$(b,f(b))$的直线 |
| 一次函数 | 平均变化率恒定 | 所有区间上取值相同，等于斜率；变化率的变化量为0 |
| 二次函数 | 平均变化率构成一次模式 | 例如$1,3,5,7$；变化率的增量恒定 |
| 上凹 | 等长步长上的平均变化率递增 | 图像呈向上的碗状 |
| 下凹 | 等长步长上的平均变化率递减 | 图像呈向下的帽状 |
| 凹凸性与增减性的区别 | 凹凸性描述变化率的方向，而非输出值的方向 | 函数可以递减同时保持上凹 |

## 下一步

现在你可以直接从平均变化率表格中判断函数的类别和凹凸性：恒定变化率对应一次函数，变化率呈一次模式对应二次函数，变化率递增对应上凹，变化率递减对应下凹。接下来的知识点1.4会将这些变化率的概念拓展到任意次数的多项式函数。

- [多项式函数与变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-rates-of/)
- [变化率（平均变化率与等长区间上的变化率）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change/)

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