# 多项式函数与复零点

> AP 预备微积分 · CED — 多项式与有理函数
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多项式的零点能告诉你的一切：零点与线性因式如何互相决定；重数是什么、为什么 n 次多项式恰有 n 个复零点；实零点如何给出 x 截距、并成为多项式不等式成立区间的端点；非实零点为什么共轭成对；图像在什么时候穿过 x 轴、什么时候与它相切；如何由逐次差分求出次数；以及如何判断一个多项式函数是奇函数还是偶函数。

**先修:** 二次式的因式分解，以及平方差的识别; 复数的四则运算，包括 i² = −1; 从多项式图像读出局部与全局最值（主题 1.4）

## 学习目标

- 在两个方向上把多项式函数的零点与它的线性因式联系起来。
- 用重数说明 n 次多项式函数恰有 n 个复零点。
- 由实零点定出 x 截距，并用这些零点作为多项式不等式成立区间的端点。
- 把每个非实零点与它的共轭配成一对。
- 由实零点的重数判断图像是穿过 x 轴还是与 x 轴相切。
- 由等距输入上输出值的逐次差分求出多项式函数的次数。
- 从图像和解析两个角度判断多项式函数是奇函数还是偶函数。

## 零点、线性因式与重数

多项式函数 $p$ 的**零点**，是使输出为 $0$ 的那个输入。同一个数也叫方程 $p(x)=0$ 的**根**——一个概念的两种叫法。零点可以是实数，也可以是非实的复数。

**零点与线性因式** — 若 $a$ 是复数且 $p(a)=0$，则 $a$ 是 $p$ 的**零点**。若 $a$ 是**实数**，则 $(x-a)$ 是 $p$ 的**线性因式**，**当且仅当** $a$ 是 $p$ 的零点。

*记法:* p(a)=0 \iff (x-a) \mid p(x)

> **tip**
>
> 这个「当且仅当」要两个方向都会用——这正是因式分解有用的原因。看出因式 $(x-3)$ 就知道 $3$ 是零点；求出零点 $3$ 就知道 $(x-3)$ 整除 $p$。

同一个因式可以出现不止一次，这种重复用**重数**记录。

**重数** — 若线性因式 $(x-a)$ 在分解式中重复出现 $n$ 次，则对应的零点 $a$ 的**重数**为 $n$。计入重数后，**$n$ 次多项式函数恰有 $n$ 个复零点**。

*记法:* \deg p = n \;\Longrightarrow\; \text{计重数后恰有 } n \text{ 个复零点}

> **warning**
>
> 这里要盯住 **complex（复数）**这个词。数学里 *complex* 是**包含 real（实数）**的——实数就是虚部为 $0$ 的复数。所以「$n$ 个复零点」指的是零点**总数**为 $n$，实的和非实的一起数，**不是**只数那些带 $i$ 的。在 $(x+2)(x-1)^2(x^2+4)$ 里，这个总数拆成三个实的（$-2,1,1$）加两个非实的（$\pm 2i$），一共 $5$——正是次数。

**例题:** 写出 $p(x) = (x+2)(x-1)^2(x^2+4)$ 的所有复零点及其重数，并核对个数与次数是否相符。

1. 从各因式读出零点。由 $(x+2)$：零点 $-2$，只出现一次，重数为 $1$。
2. 由 $(x-1)^2$：零点 $1$，重数为 $2$。
3. 由 $x^2+4$：解 $x^2=-4$，得非实零点 $2i$ 与 $-2i$，各重数为 $1$。
4. 再核对个数。相乘后次数为 $1+2+2=5$，而计入重数的零点是 $-2,\ 1,\ 1,\ 2i,\ -2i$——恰好 $5$ 个，与次数一致。
5. **答案：**$-2$（重数 1）、$1$（重数 2）、$2i$ 与 $-2i$（各重数 1）；5 次多项式共 5 个复零点。

## 实零点：x 截距与多项式不等式

图像上能看见的只有**实**零点，而每一个实零点都把曲线钉在 $x$ 轴上。

**实零点在图像上** — 若 $a$ 是 $p$ 的实零点，则 $y=p(x)$ 的图像在点 $(a,\ 0)$ 处有一个 **$x$ 截距**。因此，实零点正是 $p(x)\ge 0$ 或 $p(x)\le 0$ 成立**区间的端点**。

*记法:* p(a)=0,\ a \in \mathbb{R} \;\Longrightarrow\; (a,\,0) \text{ 在图像上}

后半句成立的原因是：多项式只能通过取 $0$ 来改变符号，所以在相邻两个实零点之间，输出的符号自始至终不变。于是解不等式就化成了「每个区间里取一个点试一下」。

**例题:** 对 $p(x) = (x+2)(x-1)^2(x^2+4)$，解不等式 $p(x) \le 0$。

1. 实零点是 $-2$ 与 $1$（因式 $x^2+4$ 对实数 $x$ 恒不为零，因为 $x^2+4 \ge 4$）。它们把数轴切成 $x<-2$、$-2<x<1$、$x>1$ 三段。
2. 每段取一个值代入。$x=-3$：$(-1)(16)(13) < 0$；$x=0$：$(2)(1)(4) = 8 > 0$；$x=2$：$(4)(1)(8) > 0$。
3. 所以 $p$ 只在 $x<-2$ 上为负，而在零点处 $p$ 恰为 $0$，$\le$ 号把它们包含在内。
4. **答案：**$p(x)\le 0$ 的解集为 $x \le -2$，再加上孤立的一点 $x=1$。

> **warning**
>
> 别漏掉上面那个孤立点 $x=1$。那里 $p(x)=0$，所以满足 $p(x)\le 0$，尽管它两侧 $p$ 都为正——这正是下一节偶重数的直接后果。

## 非实零点共轭成对

在实系数多项式里，非实零点从不单独出现。

**共轭成对** — 若 $a+bi$ 是多项式函数 $p$ 的非实零点，则它的**共轭** $a-bi$ 也是 $p$ 的零点。

*记法:* p(a+bi)=0 \;\Longrightarrow\; p(a-bi)=0

这也是我们那个贯穿例子里会出现 $x^2+4$ 的原因：$2i$ 与 $-2i$ 这一对乘回去正好是一个实二次式，$(x-2i)(x+2i)=x^2+4$。每一对共轭都会这样合并成一个实二次因式。

**例题:** 实系数的 3 次多项式函数 $q$ 有零点 $4$ 和 $1-3i$。求它的第三个零点，并把 $q$ 写成实系数因式的乘积。

1. 非实零点成对出现，所以共轭 $1+3i$ 也必是零点。这样就有三个零点，对 3 次多项式而言已经齐了。
2. 把这对共轭合并成实二次式：
3. $$\bigl(x-(1-3i)\bigr)\bigl(x-(1+3i)\bigr) = (x-1)^2 - (3i)^2 = x^2-2x+1+9 = x^2-2x+10$$
4. **答案：**第三个零点是 $1+3i$，且 $q(x) = a(x-4)(x^2-2x+10)$，其中 $a$ 为非零实常数。

多项式的 **odd degree（奇次）**指最高次数是奇数——$3$、$5$、$7$ 等等。仅凭这一点，再结合共轭成对，就能对实零点下一个结论。

> **tip**
>
> 由此可以推出一条计数结论：非实零点每次来两个，所以**奇次**实系数多项式一定至少有一个实零点——它的图像必然要穿过 $x$ 轴。

## 偶重数：相切而非穿过

重数的作用不止是凑齐个数——它还决定了图像在那个截距处的行为。

**偶重数** — 若实零点 $a$ 的**重数为偶数**，则在 $x=a$ 附近两侧，输出值的符号**相同**。对这类多项式函数，图像在 $x=a$ 处**与 $x$ 轴相切**——碰到轴后又折回去，而不是穿过。

*记法:* a \text{ 处重数为偶} \;\Longrightarrow\; \text{图像在 } (a,0) \text{ 与 } x \text{ 轴相切}

**例题:** 对 $p(x) = (x+2)(x-1)^2(x^2+4)$，判断图像在每个实零点处是穿过 $x$ 轴还是与之相切。

1. 在 $x=-2$ 处因式是 $(x+2)^1$——重数 $1$，为奇数。验证符号：$p(-2.1) \approx -8.1$，$p(-1.9) \approx 6.4$，异号，所以图像在此**穿过**。
2. 在 $x=1$ 处因式是 $(x-1)^2$——重数 $2$，为偶数。验证符号：$p(0.9) \approx 0.14$，$p(1.1) \approx 0.16$，同为正。
3. 两侧同号意味着图像下降到 $(1,0)$ 后又升回去，并不穿过：它与 $x$ 轴**相切**。
4. **答案：**在 $(-2,0)$ 穿过；在 $(1,0)$ 相切。

> **tip**
>
> 这就是为什么只凭因式形式就能画出多项式的草图：每个实零点给一个 $x$ 截距，而它的重数告诉你曲线是穿过去还是弹回来。

## 用逐次差分求次数

如果给你的是一张数表而不是解析式，次数仍然求得出来——办法是作差，也就是主题 1.3 里显示「二次函数的变化率成线性规律」的那套手法。

**逐次差分** — 取**等距**输入上的输出值，反复作差。多项式函数的**次数**就是使**逐次 $n$ 阶差分恒为常数的最小 $n$**。

*记法:* n \text{ 阶差分为常数} \;\Longrightarrow\; \deg p = n

这不是一条要背的规律——**为什么**成立是看得见的。把一般二次式 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的相邻两项相减：$f(x+1)-f(x)=2ax+(a+b)$，其中 $ax^2$ 在两边都出现、正好抵消，剩下的东西低了一次。每一级的最高次项都这样抵消，所以**每差分一轮，次数就降 1**。于是 $n$ 次多项式沿 $n \to n-1 \to \cdots \to 0$ 一路下降，恰好 $n$ 轮后到达**常数**（0 次的一行）——这就是「第一行常数」告诉你次数的原因。

> **tip**
>
> 这只求出**次数**，不给出多项式本身。一张数值表加上它的各阶差分，能告诉你「这是个三次式」，但要反推出具体的解析式是另一回事。

**例题:** 多项式函数 $f$ 在等距输入上的取值如下。求它的次数。

| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $1$ | $2$ | $9$ | $28$ | $65$ |

1. 一阶差分：$2-1=1$，$9-2=7$，$28-9=19$，$65-28=37$——即 $1,\ 7,\ 19,\ 37$，不是常数。
2. 二阶差分：$7-1=6$，$19-7=12$，$37-19=18$——即 $6,\ 12,\ 18$，仍不是常数。
3. 三阶差分：$12-6=6$，$18-12=6$——恒为 $6$。
4. 三阶差分是第一个恒为常数的，所以最小的那个 $n$ 是 $3$。
5. **答案：**$f$ 的次数为 $3$。（这组数据来自 $f(x)=x^3+1$。）

> **warning**
>
> 输入必须**等距**这个方法才成立。如果 $x$ 值的间隔忽大忽小，对输出作差得到的东西没有任何意义。

## 奇函数与偶函数

> **warning**
>
> 开始前先提醒一句：*even function（偶函数）*里的 **even**，和前面 *even multiplicity（偶重数）*里的 **even** **不是一回事**。偶重数数的是因式重复几次；偶**函数**说的是整个图像的一种对称。同一个词，两个无关的概念。

本主题最后要问的是：这个多项式有没有对称性。有两种有名字的情形，每种都有一个图像上的说法和一个代数上的判据。

最快能体会到区别的办法，是**代入一对相反的输入**、比较输出。对 $g(x)=x^4-3x^2$：$g(2)=4$，$g(-2)=4$——一样。对 $h(x)=x^3-3x$：$h(2)=2$，但 $h(-2)=-2$——相反。下面两个定义描述的正是这两种行为。

**偶函数** — **偶函数**的图像关于直线 $x=0$（即 $y$ 轴）对称，解析上满足 $f(-x)=f(x)$。若 $n$ 为偶数，则 $p(x)=a_nx^n$（$n \ge 1$，$a_n \ne 0$）是偶函数。

*记法:* f(-x)=f(x)

**奇函数** — **奇函数**的图像关于点 $(0,0)$ 对称（绕原点旋转半周不变），解析上满足 $f(-x)=-f(x)$。若 $n$ 为奇数，则 $p(x)=a_nx^n$（$n \ge 1$，$a_n \ne 0$）是奇函数。

*记法:* f(-x)=-f(x)

**例题:** 判断下列各函数是偶函数、奇函数还是都不是：(a) $f(x)=3x^4-2x^2$；(b) $g(x)=x^3-4x$；(c) $h(x)=x^2+x$。

1. (a) 用 $-x$ 代 $x$：$f(-x)=3(-x)^4-2(-x)^2 = 3x^4-2x^2 = f(x)$。所有指数都是偶数，符号不变——$f$ 是**偶函数**。
2. (b) $g(-x)=(-x)^3-4(-x) = -x^3+4x = -(x^3-4x) = -g(x)$。所有指数都是奇数，每一项都变号——$g$ 是**奇函数**。
3. (c) $h(-x)=(-x)^2+(-x) = x^2-x$。它既不等于 $h(x)$ 也不等于 $-h(x)$，因为指数奇偶混杂——$h$ **都不是**。
4. **答案：**(a) 偶函数，(b) 奇函数，(c) 都不是。

> **tip**
>
> 对写成幂之和的多项式有个速判法：指数全为偶 → 偶函数；全为奇 → 奇函数；奇偶混杂 → 都不是。注意非零常数项相当于 $x^0$，算偶次幂。

**概念自测**

用这道选择题检验你的理解：

1. 实系数多项式函数 $p$ 的次数为 $4$，在 $x=3$ 处有一个重数为 $2$ 的零点，且 $x=-i$ 也是它的零点。下列哪项**一定**成立？

   - $p$ 有四个互不相同的零点
   - $p$ 的图像在 $(3,0)$ 处与 $x$ 轴相切
   - $p$ 的图像在 $(3,0)$ 处穿过 $x$ 轴
   - $p$ 是偶函数

   *答案:* $p$ 的图像在 $(3,0)$ 处与 $x$ 轴相切

   *解析:* $x=3$ 处重数为偶，所以两侧输出同号，图像在那里与 $x$ 轴相切。它的零点是 $3, 3, -i, i$——只有三个互不相同的值，而共轭 $i$ 是由 $-i$ 强制出现的。题目条件也推不出 $p$ 是偶函数。

## 常见错误

- **错误做法:** 只数多项式互不相同的零点。
  - 原因: 次数数的是**计入重数**的零点。对 $(x+2)(x-1)^2(x^2+4)$，互不相同的零点有四个，但次数是 $5$，零点 $1$ 必须数两次。
  - 正确做法: 按因式重复的次数把每个零点重复列出，再核对总数是否等于次数。
- **错误做法:** 以为图像在每个实零点处都穿过 $x$ 轴。
  - 原因: 偶重数会让两侧输出保持同号，图像因此与 $x$ 轴相切、折回去，而不是穿过。
  - 正确做法: 先看每个实零点的重数：奇 → 穿过，偶 → 相切。
- **错误做法:** 给出非实零点却漏掉它的共轭。
  - 原因: 实系数下非实零点成对出现。只报 $1-3i$ 不报 $1+3i$，会使零点个数对不上。
  - 正确做法: 每个非实零点都配上共轭；在实数范围内分解时，把这一对合并成一个实二次因式。
- **错误做法:** 对输入不等距的数表作差。
  - 原因: 用逐次差分求次数的前提是输入步长相等；间隔不规则时，差分不携带任何关于次数的信息。
  - 正确做法: 先确认 $x$ 值是按固定步长递增的，再对输出反复作差直到某一行恒为常数。
- **错误做法:** 把任何偶次多项式都叫作偶函数。
  - 原因: 次数和奇偶性是两回事。$h(x)=x^2+x$ 次数为偶，但 $h(-x)=x^2-x \ne h(x)$，所以它既不是偶函数也不是奇函数。
  - 正确做法: 用 $f(-x)$ 与 $f(x)$、$-f(x)$ 比较，或检查出现的指数是否全偶（偶函数）、全奇（奇函数）。

## 速查表

| 概念 | 结论 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 零点 / 根 | $p(a)=0$ | 同一件事的两种叫法；可以是实数也可以是非实数 |
| 线性因式 | 对实数 $a$：$(x-a)$ 是因式 $\iff$ $a$ 是零点 | 两个方向都成立 |
| 重数 | $(x-a)$ 重复 $n$ 次 | 零点 $a$ 要数 $n$ 次 |
| 零点个数 | 次数为 $n$ $\Rightarrow$ 恰有 $n$ 个复零点 | 计入重数 |
| 实零点在图像上 | 在 $(a,0)$ 处有 $x$ 截距 | 实零点即 $p(x)\ge 0$ / $\le 0$ 的区间端点 |
| 共轭成对 | $a+bi$ 是零点 $\Rightarrow$ $a-bi$ 也是 | 因此奇次必有至少一个实零点 |
| 奇重数 | 跨过该零点时符号改变 | 图像**穿过** $x$ 轴 |
| 偶重数 | 跨过该零点时符号不变 | 图像与 $x$ 轴**相切** |
| 由数表求次数 | 使 $n$ 阶差分恒为常数的最小 $n$ | 输入必须等距 |
| 偶函数 | $f(-x)=f(x)$ | 关于 $x=0$ 对称；$a_nx^n$ 中 $n$ 为偶 |
| 奇函数 | $f(-x)=-f(x)$ | 关于 $(0,0)$ 对称；$a_nx^n$ 中 $n$ 为奇 |

## 下一步

现在你能把多项式的零点完整读出来——有多少个、哪些在图像上看得见、哪些成对出现、曲线在哪儿穿过又在哪儿相切——还能由数表求次数、判断对称性。主题 1.6《多项式函数与端行为》将转向图像两端的走向，那里由首项说了算。

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