# 多项式与有理函数

> AP 预备微积分 · 第1单元：多项式与有理函数族的核心分析
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-overview/
> 占比: 占AP预备微积分考试总成绩的27-32%

这是AP预备微积分的第一个核心单元，涵盖函数行为、多项式与有理函数性质、代数变形和实际建模，是后续所有AP预备微积分主题的基础。

**先修:** 熟练掌握代数2中学过的一次函数和二次函数

## 学习目标

- 分析多项式与有理函数的关键图像性质和代数性质
- 将多项式和有理表达式重写为等价形式以揭示隐藏性质
- 为实际场景构建、选择并解释多项式和有理函数模型
- 计算并比较不同类型函数的平均变化率
- 描述多项式与有理函数图像的端点行为和不连续性

## 单元概览

本单元从基础函数概念出发，逐步深入到对多项式和有理函数这两类预备微积分与微积分中应用最广泛的函数族进行全面严谨的分析。我们从函数变化的核心概念开始，然后学习代数变形、多项式分析、有理函数分析、建模和函数变换。

本单元的主题顺序将代数变形与图像解读、实际应用结合起来，帮助你把图像上观察到的性质和代数计算结果联系起来——这是在AP考试中取得成功的必备技能。

本单元包含以下子主题：
- [AP 预备微积分 同步变化（函数行为）](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-change-in-tandem/) — 介绍一般函数中输入的变化如何对应输出的变化。
- [AP 预备微积分 多项式与有理表达式的等价表示](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-equivalent-representations-of-polynomial-and/) — 讲解如何重写表达式以揭示多项式和有理函数的关键结构性质。
- [AP 预备微积分 函数模型的构建与应用](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-function-model-construction-and-application/) — 讲解如何根据给定的场景约束构建多项式和有理函数模型。
- [AP 预备微积分 函数模型的选择与假设阐述](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-function-model-selection-and-assumption/) — 教授如何选择合适的模型并阐述其背后的基本假设。
- [AP 预备微积分 多项式函数与复零点](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-complex-zeros/) — 探究代数基本定理和多项式复根的性质。
- [AP 预备微积分 多项式函数与端点行为](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-end-behavior/) — 讲解次数和首项系数如何决定多项式图像的端点行为。
- [AP 预备微积分 多项式函数与变化率](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-rates-of/) — 分析不同次数多项式的变化率差异。
- [AP 预备微积分 变化率（平均变化率与等区间变化率）](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change/) — 涵盖任意区间平均变化率的基础主题。
- [AP 预备微积分 一次与二次函数中的变化率](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change-in-linear/) — 考查一次函数（变化率恒定）与二次函数（变化率线性变化）的平均变化率行为。
- [AP 预备微积分 有理函数与端点行为](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-end-behavior/) — 讲解分子分母的次数如何决定有理函数的端点行为。
- [AP 预备微积分 有理函数与空洞](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-holes/) — 讲解有理函数图像中可去不连续点（空洞）是如何产生的。
- [AP 预备微积分 有理函数与垂直渐近线](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-vertical-asymptotes/) — 分析不可去不连续点以及垂直渐近线附近的函数行为。
- [AP 预备微积分 有理函数与零点](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-rational-functions-and-zeros/) — 将有理函数的因式与零点和x轴截距联系起来。
- [AP 预备微积分 函数的变换](https://www.owlsprep.com/study/ap-precalculus-u1-transformations-of-functions/) — 讲解多项式与有理函数图像的平移、拉伸和反射。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆有理函数中的空洞和垂直渐近线
  - 原因: 许多学生不分可去与不可去，将所有不连续点等同看待
  - 正确做法: 通过检查公因式是否可以完全约去来区分空洞（可去）和垂直渐近线（不可去）
- **错误做法:** 错误判断有理函数的端点行为
  - 原因: 学生经常混淆基于次数比较的水平渐近线规则
  - 正确做法: 始终通过比较分子次数和分母次数来确定端点行为规则
- **错误做法:** 忘记复根以共轭对形式出现
  - 原因: 学生经常忽略共轭根规则仅适用于实系数多项式
  - 正确做法: 当已知实系数多项式的一个复根时，使用复共轭根定理求出所有根

## 速查表

| 概念 / 公式 | 关键说明 |
| --- | --- |
| 多项式端点行为 | 由首项 $a_nx^n$ 决定：偶数 $n$ → 两端方向相同；奇数 $n$ → 两端方向相反 |
| 代数基本定理 | 在复数域中，次数为 $n$ 的多项式恰好有 $n$ 个根（计重数） |
| 复共轭根定理 | 如果 $a+bi$ 是实系数多项式的根，那么 $a-bi$ 也一定是该多项式的根 |
| 有理函数水平渐近线规则 | deg(num) < deg(den): 水平渐近线为 $y=0$；次数相等: 水平渐近线为 $y=\frac{\text{leading num}}{\text{leading den}}$；deg(num) > deg(den): 无水平渐近线 |
| 有理函数的空洞 | 当 $(x-c)$ 是分子和分母的公因式时，$x=c$ 处会出现空洞 |
| 有理函数的垂直渐近线 | 当 $(x-c)$ 是分母的因式，但不是化简后分子的因式时，$x=c$ 处会出现垂直渐近线 |
| 区间 $[a,b]$ 上的平均变化率 | $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ |

## 下一步

从下方第一个子主题开始学习第1单元，它为你在本单元中进行的所有函数行为分析奠定了核心基础。完成第1单元所有子主题后，即可进入第2单元的第一个子主题，该单元讲解指数函数与对数函数。

- [AP 预备微积分 同步变化（函数行为）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-change-in-tandem/)
- [变化率（平均变化率与等区间变化率）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change/)
- [多项式函数与变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-rates-of/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-overview/