函数模型的构建与应用

AP 微积分预备课程· AP 微积分预备课程课程与考试描述（CED）—— 多项式与有理函数· 14 分钟阅读

1. 什么是函数模型的构建与应用？★★☆☆☆⏱ 2 min

函数模型的构建与应用是AP微积分预备课程的核心能力，即把现实世界的情境关系或离散数据转化为规范的多项式或有理函数方程，再利用这些方程解答分析问题。该知识点在整个AP考试中约占4-6%的分值，会同时出现在选择题和自由作答题部分。与抽象代数解题不同，该知识点要求同时具备计算准确性和情境合理性：你不仅要推导出正确的函数，还要确认它符合原场景的物理或实际约束条件。

2. 利用有限差分法构建多项式模型★★☆☆☆⏱ 4 min

当你拥有输入（ $x$ ）值等间隔分布的数据时，有限差分法是一种确定多项式模型次数的方法。核心规律是： $n$ 次多项式的 $n$ 阶有限差分为常数。

📘 定义

有限差分法

一种通过计算输出值的逐阶差分来确定拟合等间隔输入输出数据的多项式次数的方法。第一个出现的常数差分的阶数等于多项式的次数。

例:

二次（2次）多项式的二阶差分为常数

计算差分的步骤：从等间隔的 $x$ 值开始，先计算一阶差分 $Δ y_{i} = y_{i + 1} - y_{i}$ ，再计算二阶差分 $Δ^{2} y_{i} = Δ y_{i + 1} - Δ y_{i}$ ，重复直到得到常数差分。知道次数后，你就可以写出多项式的一般形式，再求解系数。

📐 例题

下表给出了玩具火箭发射后每隔1秒的高度 $h (t)$ ，其中 $t$ 为时间（单位：秒）。求多项式模型的次数并构建该模型。

$t$	0	1	2	3
$h (t)$	8	27	36	35

1
确认 $t$ 是等间隔的：所有相邻项的 $Δ t = 1$ ，因此可以使用有限差分法。
2
计算一阶差分： $27 - 8 = 19$ ， $36 - 27 = 9$ ， $35 - 36 = - 1$ 。一阶差分： $[19, 9, - 1]$ 。
3
计算二阶差分： $9 - 19 = - 10$ ， $- 1 - 9 = - 10$ 。二阶差分恒为 $- 10$ ，因此模型次数为2次。
4
二次函数一般形式： $h (t) = a t^{2} + b t + c$ 。当 $t = 0$ 时 $h = 8$ ，因此 $c = 8$ 。代入 $t = 1$ 和 $t = 2$ 得到方程组：
5
$a + b + 8 = 27 \implies a + b = 19 \\ 4a + 2b + 8 = 36 \implies 2a + b = 14$
6
求解：用第二个方程减去第一个方程得到 $a = - 5$ ，再得 $b = 24$ 。最终模型为 $h (t) = - 5 t^{2} + 24 t + 8$ 。在 $t = 3$ 处验证： $- 5 (9) + 24 (3) + 8 = 35$ ，与表格一致。

Exam tip:

使用该方法前一定要确认 $x$ 值是等间隔的。考试经常会设置陷阱题，给出非等间隔数据诱导学生使用有限差分法，这会得到错误的次数。

3. 对任意点拟合多项式模型★★★☆☆⏱ 4 min

当你有 $k + 1$ 个任意间隔的不同点时，你可以对这些点精确拟合出唯一的 $k$ 次多项式。这是因为 $k$ 次多项式有 $k + 1$ 个未知系数，每个点可以给出一个关于系数的线性方程。与有限差分法不同，该方法适用于任意间隔的点，因此它是非等间隔数据的首选方法，也适用于你已经从情境中知道次数的情况（例如抛体运动一定是二次的）。

📐 例题

一家面包店将卖出 $x$ 百个可颂的日利润 $P (x)$ （单位：百美元）建模为二次多项式。当 $x = 1$ 时利润为1百美元， $x = 2$ 时为4百美元， $x = 3$ 时为7百美元。构建该二次模型。

1
二次函数一般形式： $P (x) = a x^{2} + b x + c$ 。我们有3个点，因此得到3个方程求解3个系数。
2
将每个点代入一般形式：
3
$a + b + c = 1 \\ 4a + 2b + c = 4 \\ 9a + 3b + c = 7$
4
第二个方程减去第一个方程得： $3 a + b = 3$ 。第三个方程减去第二个方程得： $5 a + b = 3$ 。
5
两个新方程相减得： $2 a = 0 ⟹ a = 0$ ，因此 $b = 3$ ，再得 $c = 1 - 0 - 3 = - 2$ 。去掉系数为零的 $a$ 项后，简化模型为 $P (x) = 3 x - 2$ 。
6
验证所有点： $x = 1 : 3 (1) - 2 = 1$ ， $x = 2 : 6 - 2 = 4$ ， $x = 3 : 9 - 2 = 7$ ，全部匹配。

Exam tip:

如果求解得到首项系数为零，一定要降低模型的次数。考试要求化简后的模型，在自由作答题中保留不必要的零项会扣分。

4. 有理函数模型的构建与应用★★★☆☆⏱ 4 min

有理函数是两个多项式的比值，用于建模具有极限行为（水平渐近线）的场景，这类场景无法用无界增长的多项式描述。AP考试中有理模型常见的实际场景包括平均成本、混合物浓度、终端速度和密度。考试中大多数简单有理模型都是直接从情境推导而来，而非通过点拟合得到。

例如，单位平均成本等于总成本除以单位数量：如果总成本为 $C (x) = C_{0} + V (x)$ ，其中 $C_{0}$ 是固定成本， $V (x)$ 是可变成本，那么平均成本 $A (x) = \frac{C _{0} + V ( x )}{x}$ ，这就是一个有理函数。对于混合问题，浓度等于总溶质除以总体积，得到的有理函数的水平渐近线等于加入溶液的浓度。

📐 例题

一个容器初始装有15升纯水。你向容器中加入 $x$ 升浓度为30%的糖溶液，搅拌均匀。构建容器中糖浓度 $C (x)$ 的有理模型，求加入10升溶液后的浓度，并解释水平渐近线的意义。

1
糖的总质量等于加入溶液的浓度乘以加入体积： $0.3 x$ 。混合物总体积等于初始的15升加上加入的 $x$ 升： $15 + x$ 。
2
浓度等于总糖质量除以总体积，因此模型为 $C (x) = \frac{0.3 x}{x + 15}$ ，其中 $x \geq 0$ 。
3
当 $x = 10$ 时，代入得： $C (10) = \frac{0.3 ( 10 )}{10 + 15} = \frac{3}{25} = 0.12$ ，即糖浓度为12%。
4
水平渐近线：分子和分母都是一次多项式，因此水平渐近线为 $y = 0.3$ 。这意味着随着更多30%浓度的溶液被加入，混合溶液的浓度趋近于30%，符合物理直觉。

Exam tip:

一定要检查你的有理模型的端点行为是否符合情境。如果你的浓度模型随着 $x$ 增大趋近于0而非0.3，说明你把分子分母写反了——立刻检查。

5. AP风格练习题★★★★☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

做这道选择题测试你的理解：

以下哪个二次多项式经过点 $(- 1, 0)$ 、 $(0, 1)$ 和 $(2, 9)$ ？
- $y = 2 x^{2} + x + 1$
- $y = x^{2} + 2 x + 1$
- $y = 2 x^{2} - x + 1$
- $y = x^{2} - 2 x + 1$
显示答案
1 —
回答正确！所有点都满足方程： $(- 1) : 1 - 2 + 1 = 0$ ， $(0) : 1$ ， $(2) : 4 + 4 + 1 = 9$ 。如果你得到了不同答案，请再次检查你是如何将点代入二次一般形式的。

📐 例题

下表显示了加速行驶的汽车每隔2秒行驶的距离 $d (t)$ （单位：米）：

$t$ （秒）	0	2	4	6
$d (t)$ （米）	0	26	84	174

(a) 利用有限差分法确定 $d (t)$ 的多项式模型次数。 (b) 构建 $d (t)$ 的多项式模型。 (c) 利用模型预测 $t = 8$ 秒时行驶的距离，并解释为什么该模型在 $t = 100$ 秒时不太可能准确。

1
(a) 首先，确认 $t$ 是等间隔的，步长为 $Δ t = 2$ 。计算一阶差分： $26 - 0 = 26$ ， $84 - 26 = 58$ ， $174 - 84 = 90$ 。计算二阶差分： $58 - 26 = 32$ ， $90 - 58 = 32$ 。二阶差分为常数，因此模型是二次的（次数为2）。
2
(b) 二次一般形式： $d (t) = a t^{2} + b t + c$ 。当 $t = 0$ 时 $d (0) = 0$ ，因此 $c = 0$ 。代入 $t = 2$ 和 $t = 4$ ：
3
$a(2)^2 + b(2) = 26 \implies 2a + b = 13 \\ a(4)^2 + b(4) = 84 \implies 4a + b = 21$
4
第二个方程减去第一个方程得： $2 a = 8 ⟹ a = 4$ ，因此 $b = 13 - 8 = 5$ 。模型为 $d (t) = 4 t^{2} + 5 t$ 。在 $t = 6$ 处验证： $4 (36) + 5 (6) = 174$ ，与表格一致。
5
(c) 当 $t = 8$ 时： $d (8) = 4 (64) + 5 (8) = 296$ 米。该模型是首项系数为正的二次函数，因此它预测距离随着 $t$ 增大而无界增长。真实汽车不可能无限加速，因此该模型在 $t = 100$ 秒这种大值下不会准确。

📐 例题

一家小型平面设计公司每月固定运营成本为3500美元，每个客户项目的可变成本为25美元。构建每个项目平均成本 $A (x)$ 的有理函数模型，其中 $x$ 是一个月完成的项目数量。当一个月完成100个项目时，平均每个项目的成本是多少？写出 $A (x)$ 的水平渐近线并结合情境解释其意义。

1
每月总成本等于固定成本加可变成本： $C (x) = 3500 + 25 x$ 。每个项目的平均成本等于总成本除以项目数量，因此有理模型为：
2
$A(x) = \frac{3500 + 25x}{x} = \frac{3500}{x} + 25, \quad x>0$
3
当完成100个项目时，代入 $x = 100$ ： $A (100) = \frac{3500 + 25 ( 100 )}{100} = 60$ 。因此当完成100个项目时，平均每个项目的成本为60美元。
4
分子和分母都是一次多项式，因此水平渐近线为 $y = 25$ 。结合情境，这意味着随着公司每月完成更多项目，每个项目的平均成本趋近于25美元，因为固定运营成本被分摊到更多项目上，每个项目分摊的固定成本可以忽略不计。

6. 常见陷阱

错误做法:

对非等间隔x值使用有限差分法求多项式次数

原因:

学生记住了常数差分规律，但忘记它仅适用于等间隔输入。

正确做法:

一定要先检查相邻x值的间隔；如果不等间隔，改为通过求解系数方程组来拟合多项式。

错误做法:

忘记根据情境限制模型定义域，例如在盒子边长模型中允许x取负值。

原因:

学生专注于得到正确的函数方程，忽略了现实世界中的量不能为负。

正确做法:

构建任何模型后，明确写出符合情境的定义域，例如对于长度或单位数量这类量，都有 $x > 0$ 。

错误做法:

在混合浓度模型中，直接相加浓度，而不是通过浓度×体积计算总溶质，例如写成 $C (x) = \frac{0.3 + x}{15 + x}$ 而非 $\frac{0.3 x}{15 + x}$ 。

原因:

学生将浓度（比值）与总溶质量混淆。

正确做法:

始终遵循公式 $C = \frac{总溶质}{总溶液}$ ，在构建模型前先计算总溶质。

错误做法:

拟合多项式时使用的系数比需要的少一个，例如对二次模型使用2个系数，导致方程组无解。

原因:

学生忘记常数项也算一个系数。

正确做法:

始终记住系数数量 = 次数 + 1，这个数量必须等于你拟合的点的数量。

错误做法:

在最终模型中保留首项系数为零的高次项，例如写成 $P (x) = 0 x^{2} + 3 x - 2$ 而非 $P (x) = 3 x - 2$ 。

原因:

学生认为n个点总是需要n-1次多项式，因此保留了不必要的项。

正确做法:

求解方程组后，去掉所有系数为零的项，相应降低次数，化简模型。

7. 速查表

类别	规律 / 公式	要点提示
有限差分次数规律	$n$ 次多项式在x等间隔时，n阶有限差分为常数	仅适用于等间隔x值；n次多项式需要n+1个点
点拟合多项式	k次多项式有k+1个未知系数 → 需要k+1个不同点得到唯一解	去掉所有首项系数为零的项，化简最终模型
有理模型构建	浓度 $= \frac{总溶质}{总体积}$ ，平均成本 $= \frac{总成本}{单位数量}$	水平渐近线符合长期情境行为
情境建模	始终根据现实约束限制定义域	长度/体积这类量的输入为负永远不成立

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · MCQ
利用有限差分法求多项式次数
2023 · FRQ
构建有理平均成本模型

下一步

现在你已经掌握了函数模型的构建与应用，你就拥有了解决AP微积分预备课程和未来微积分课程中所有应用问题的基础能力。将现实场景转化为数学函数是解答几乎所有情境考题的第一步，因此练习这项能力会对你学习所有单元都有帮助。接下来，你将探索多项式和有理函数的更高级性质，包括它们的图像、零点和渐近行为，你构建和解释模型的能力会帮助你将抽象性质与现实意义联系起来。