多项式与有理表达式的等价表示

AP 预备微积分· AP Precalculus CED — 多项式与有理函数· 14 分钟阅读

1. 什么是等价表示？★★☆☆☆⏱ 3 min

若两个表达式在公共定义域内对所有输入都能得到相同的输出，则二者等价。对于多项式和有理表达式，这意味着我们可以将表达式改写为不同形式（展开式、因式分解式、分解式、化简式），即使代数结构看起来不同，但所有值和定义域规则都保持不变。本主题是AP预备微积分CED中的1.8主题，占考试总分的约7-8%，在选择题和问答题部分均会考查。

2. 等价多项式形式：展开与因式分解★★☆☆☆⏱ 4 min

多项式最常见的两种等价形式是：标准（展开）形式和实数范围内的完全因式分解形式。

a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0

完全因式分解形式写作：

a(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_k)

其中 $r_{i}$ 是实根，剩余的因式都是实数范围内不可约的二次式。我们根据问题要求在两种形式间转换：标准形式可以确定首项系数和端行为，而因式分解形式可以很方便地求出根和x轴截距。因式分解的关键步骤总是先提取最大公因式（GCF），再使用特殊乘积公式：

平方差公式: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
立方和/差公式: $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$
将 $a x^{2} + b x + c$ 形式的二次式因式分解为两个一次二项式

📐 例题

将 $3 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x$ 改写为实数范围内的完全等价因式分解形式。

1
首先，提取所有项的最大公因式：系数3、3、18的最大公因式是3， $x^{3}, x^{2}, x$ 的最大公因式是 $x$ ，因此我们得到：
2
$3x(x^2 - x - 6)$
3
接下来，因式分解二次三项式：我们需要两个数乘积为 $- 6$ ，和为 $- 1$ ，这两个数是 $- 3$ 和 $+ 2$ 。
4
最终得到完全因式分解形式：
5
$3x(x-3)(x+2)$
6
通过展开回原式验证等价性：
7
$3x[(x-3)(x+2)] = 3x(x^2 -x -6) = 3x^3 - 3x^2 - 18x$

Exam tip:

尝试因式分解高次多项式前一定要先提取最大公因式；如果停留在 $3 (x^{3} - x^{2} - 6 x)$ ，在AP考试中会被判定为因式分解不完整。

3. 化简有理表达式与定义域限制★★★☆☆⏱ 4 min

有理表达式是两个多项式的比值 $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ 。化简为等价形式时，我们约去分子和分母的公因式，但必须保留原定义域：任何使原分母为零的输入都仍然需要排除，即使它在化简后的表达式中有定义。

📐 例题

将 $\frac{x ^{2} - 7 x + 12}{x ^{2} - 9}$ 写为等价的化简后有理表达式，并写出所有定义域限制。

1
将分子和分母完全因式分解：分子 $x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)$ ，分母 $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ 。
2
令原分母等于零，找出原定义域中所有需要排除的值： $(x - 3) (x + 3) = 0$ 得 $x = 3$ 和 $x = - 3$ ，二者均需要排除。
3
约去非零公因式 $(x - 3)$ ，这在所有 $x \neq = 3$ 时成立。
4
等价的化简后表达式为：
5
$\frac{x-4}{x+3}, \quad x \neq 3, x \neq -3$

Exam tip:

约去公因式前一定要先找出原分母中所有需要排除的值；如果只列出化简后分母的限制，在问答题中会失分。

4. 假有理形式的多项式除法★★★☆☆⏱ 5 min

假有理表达式指分子次数大于等于分母次数的有理表达式。我们可以使用多项式长除法，或对形如 $(x - c)$ 的一次除式使用综合除法，将任意假有理表达式改写为多项式加真有理表达式（余式次数小于分母次数）的等价和形式。

📘 定义

余数因式定理

当多项式 $P (x)$ 除以 $(x - c)$ 时，余数等于 $P (c)$ 。如果余数为零，则 $(x - c)$ 是 $P (x)$ 的因式，可以将其提取得到更低次数的等价多项式。

例:

如果 $P (x)$ 除以 $(x - 2)$ 得到余数0，则 $P (2) = 0$ 且 $(x - 2)$ 是 $P (x)$ 的因式。

这种形式用于求有理函数的斜渐近线，以及已知一个根时化简高次多项式。

📐 例题

将 $\frac{2 x ^{3} - 4 x ^{2} - 7 x - 5}{x - 3}$ 改写为多项式加真有理表达式的等价形式，并写出定义域限制。

1
对一次除式 $(x - 3)$ 使用综合除法：写出分子的系数： $2, - 4, - 7, - 5$ ，根为 $3$ 。
2
写下首项系数 $2$ ，乘以 $3$ 得到 $6$ ，加 $- 4$ 得到 $2$ ； $2$ 乘以 $3$ 得到 $6$ ，加 $- 7$ 得到 $- 1$ ； $- 1$ 乘以 $3$ 得到 $- 3$ ，加 $- 5$ 得到 $- 8$ 。
3
商为 $2 x^{2} + 2 x - 1$ ，余数为 $- 8$ ，因此等价形式为：
4
$2x^2 + 2x - 1 - \frac{8}{x - 3}, \quad x \neq 3$
5
验证等价性： $(x - 3) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 3$ ，减 $8$ 得到原分子，与原式一致。

Exam tip:

综合除法仅适用于形如 $(x - c)$ 的一次除式；对高次除式一定要使用长除法，避免计算错误。

5. 部分分式分解★★★★☆⏱ 5 min

部分分式分解将真有理表达式（分子次数 < 分母次数）改写为多个更简单的、分母为一次因式或不可约二次因式的有理表达式之和的等价形式。分解步骤为先对分母因式分解，然后建立带未知常数的分解式，再求解常数。这是AP考试的考点，也是AP微积分中积分学习的先修内容。

对于不同的一次因式，每个因式对应一个常数项；对于重复一次因式 $(a x + b)^{n}$ ，你需要为1到n的每一次幂都设置一项。

📐 例题

求 $\frac{7 x + 1}{x ^{2} - x - 6}$ 的部分分式分解，写出所有定义域限制。

1
对分母因式分解： $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ ，两个不同的一次因式。
2
设分解式，常数为 $A$ 和 $B$ ：
3
$\frac{7x + 1}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}$
4
两边乘 $(x - 3) (x + 2)$ 消去分母得： $7 x + 1 = A (x + 2) + B (x - 3)$ 。
5
代入分母的根求解常数：代入 $x = 3$ 得 $22 = 5 A ⟹ A = \frac{22}{5}$ 。代入 $x = - 2$ 得 $- 13 = - 5 B ⟹ B = \frac{13}{5}$ 。
6
等价的分解式为：
7
$\frac{22}{5(x-3)} + \frac{13}{5(x+2)}, \quad x \neq 3, x \neq -2$

Exam tip:

对于重复一次因式 $(x - a)^{n}$ ，不要省略低次幂项；一定要为1到n的每一次幂都包含一项。

6. 概念检验★★★☆☆⏱ 2 min

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

下列哪个选项是 $\frac{4 x ^{2} - 16 x + 12}{x ^{2} - 5 x + 6}$ 的等价化简形式，且定义域限制正确？
- A. $4$ ，且 $x \neq = 2$ 、 $x \neq = 3$
- B. $4 (x - 1)$ ，且 $x \neq = 2$ 、 $x \neq = 3$
- C. $4$ ，无定义域限制
- D. $\frac{4}{x + 1}$ ，且 $x \neq = - 1, 2, 3$
显示答案
A —
分子因式分解得 $4 (x - 1) (x - 3)$ ，分母因式分解得 $(x - 2) (x - 3)$ 。原分母在 $x = 2$ 和 $x = 3$ 处为零，因此两个值都需要排除。约去 $(x - 3)$ 得到 $4$ ，保留两个限制，与选项A一致。

7. 常见陷阱

错误做法:

将 $\frac{( x - 4 ) ( x + 5 )}{x - 4} = x + 5$ 写出后不添加定义域限制

原因:

学生认为约去公因式后两个表达式在处处都相等，忘记 $x = 4$ 在原表达式中无定义

正确做法:

化简前一定要列出原分母所有定义域限制，因此等价表达式为 $x + 5, x \neq = 4$

错误做法:

将 $2 x^{2} - 8$ 因式分解为 $2 (x^{2} - 4)$ 后停止，称其为完全因式分解

原因:

学生提取最大公因式后，忘记平方差还可以继续分解

正确做法:

持续分解直到得到所有一次因式和不可约二次因式，因此完全因式分解形式为 $2 (x - 2) (x + 2)$

错误做法:

用综合除法将 $3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1$ 除以 $x^{2} - 4$

原因:

学生记住综合除法是'简单除法方法'，但忘记它仅适用于一次除式

正确做法:

对次数大于1的除式使用多项式长除法

错误做法:

将 $\frac{x + 3}{( x - 2 ) ^{2}}$ 的部分分式设为 $\frac{A}{( x - 2 ) ^{2}}$ ，而非 $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{( x - 2 ) ^{2}}$

原因:

学生忘记重复一次因式要求为每个1到n次幂都设一项

正确做法:

对于重复因式 $(x - a)^{n}$ ，一定要为1到n的每个幂都包含一项

错误做法:

在AP预备微积分要求实数范围内等价形式的题目中，声称 $x^{2} + 4$ 可以分解为 $(x + 2 i) (x - 2 i)$

原因:

学生混淆了复数范围内因式分解和实数范围内因式分解，而AP几乎总是要求后者

正确做法:

在实数范围内因式分解时，将判别式为负的不可约二次式保留原样即可

错误做法:

对 $\frac{P ( x )}{x - c}$ 做多项式除法后忘记添加定义域限制

原因:

学生认为只有约去公因式后才需要定义域限制，除法后不需要

正确做法:

任何时候改写有理表达式，都要保留原分母对 $x$ 的所有限制

8. 速查表

类别	公式/规则	说明
平方差公式	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	平方和 $a^{2} + b^{2}$ 在实数范围内不可约
立方差公式	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$	二次因式在实数范围内总是不可约
立方和公式	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$	二次因式在实数范围内总是不可约
等价化简有理式	$\frac{P ( x ) A ( x )}{Q ( x ) A ( x )} = \frac{P ( x )}{Q ( x )}, A (x) \neq = 0$	原分母的所有根都需要排除，即使约去 $A (x)$ 后仍需排除
余数定理	将 $P (x)$ 除以 $(x - c)$ → 余数 $= P (c)$	若余数 $= 0$ ， $(x - c)$ 是 $P (x)$ 的因式
部分分式（不同一次因式）	$\frac{P ( x )}{( a _{1} x + b _{1} ) ( a _{2} x + b _{2} )} = \frac{A _{1}}{a _{1} x + b _{1}} + \frac{A _{2}}{a _{2} x + b _{2}}$	每个不同一次因式对应一个常数；仅适用于真有理式（ $de g P < de g$ 分母）
部分分式（重复一次因式）	$\frac{P ( x )}{( a x + b ) ^{n}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{A _{k}}{( a x + b ) ^{k}}$	不要省略低次幂项；1到n每个幂对应一项
假有理式改写	$\frac{P ( x )}{Q ( x )} = S (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )}$	$de g R < de g Q$ ；一次 $Q (x)$ 用综合除法，其他情况用长除法

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2024 · AP Precalculus
选择题：化简有理表达式
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问答题：因式分解多项式，确定间断点

下一步

本主题是AP预备微积分第一单元中所有后续多项式和有理函数学习的基础先修内容。接下来，你将应用这些等价表示技巧来识别多项式和有理函数图像的关键特征，包括根、截距、洞、垂直渐近线和端行为。如果不掌握将多项式和有理式改写为等价形式的能力，你将无法正确对间断点分类或找出考试题目中的关键特征，而这些内容占第一单元分值的很大比例。本主题也为未来AP微积分学习所需的部分分式分解，以及AP预备微积分课程后续的有理函数建模打下了基础。