# 多项式与有理表达式的等价表示

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-equivalent-representations-of-polynomial-and/

本指南讲解将多项式和有理表达式改写为等价形式的方法，包括因式分解、带定义域限制的化简、多项式除法和借助帕斯卡三角的二项式定理，这些都是AP预备微积分考试中占比很高的核心技能。

**先修:** 多项式和有理表达式的基本定义; 低次二次式和二项式的因式分解; 代数表达式的定义域规则

## 学习目标

- 在实数范围内将多项式在展开式和因式分解式两种等价形式间转换
- 化简有理表达式并正确写出所有定义域限制
- 通过多项式除法将假有理表达式改写为多项式加真有理表达式的形式
- 利用帕斯卡三角展开正整数次幂的二项式$(a+b)^n$

## 什么是等价表示？

若两个表达式在公共定义域内对所有输入都能得到相同的输出，则二者等价。对于多项式和有理表达式，这意味着我们可以将表达式改写为不同形式（展开式、因式分解式、分解式、化简式），即使代数结构看起来不同，但所有值和定义域规则都保持不变。本主题是AP预备微积分CED中的1.11主题，占考试总分的约7-8%，在选择题和问答题部分均会考查。

> **tip**
>
> 这是一项基础技能：AP考试几乎总是要求考生将表达式改写为有用的形式，才能回答关于根、间断点、渐近线和端行为的问题。掌握这项技能可以避免大多数第一单元计算中出现的本可避免的代数错误。

## 等价多项式形式：展开与因式分解

多项式最常见的两种等价形式是：标准（展开）形式和实数范围内的完全因式分解形式。

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$$

完全因式分解形式写作：

$$a(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_k)$$

其中$r_i$是实根，剩余的因式都是实数范围内不可约的二次式。我们根据问题要求在两种形式间转换：标准形式可以确定首项系数和端行为，而因式分解形式可以很方便地求出根和x轴截距。因式分解的关键步骤总是先提取最大公因式（GCF），再使用特殊乘积公式：

- 平方差公式: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- 立方和/差公式: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
- 将$ax^2 + bx + c$形式的二次式因式分解为两个一次二项式

**例题:** 将$3x^3 - 3x^2 - 18x$改写为实数范围内的完全等价因式分解形式。

1. 首先，提取所有项的最大公因式：系数3、3、18的最大公因式是3，$x^3, x^2, x$的最大公因式是$x$，因此我们得到：
2. $$3x(x^2 - x - 6)$$
3. 接下来，因式分解二次三项式：我们需要两个数乘积为$-6$，和为$-1$，这两个数是$-3$和$+2$。
4. 最终得到完全因式分解形式：
5. $$3x(x-3)(x+2)$$
6. 通过展开回原式验证等价性：
7. $$3x[(x-3)(x+2)] = 3x(x^2 -x -6) = 3x^3 - 3x^2 - 18x$$

> **考试提示:** 尝试因式分解高次多项式前一定要先提取最大公因式；如果停留在$3(x^3 - x^2 - 6x)$，在AP考试中会被判定为因式分解不完整。

## 化简有理表达式与定义域限制

有理表达式是两个多项式的比值$\frac{P(x)}{Q(x)}$。化简为等价形式时，我们约去分子和分母的公因式，但必须保留原定义域：任何使原分母为零的输入都仍然需要排除，即使它在化简后的表达式中有定义。

> **warning**
>
> 例如，$\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}$*不等价*于$x+3$；只有加上限制$x \neq 2$才等价，因为$x=2$在原表达式中无定义。这一考点经常出现，因为它可以区分可去间断点（洞）和垂直渐近线。

**例题:** 将$\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 9}$写为等价的化简后有理表达式，并写出所有定义域限制。

1. 将分子和分母完全因式分解：分子$x^2 -7x +12 = (x-3)(x-4)$，分母$x^2 -9 = (x-3)(x+3)$。
2. 令原分母等于零，找出原定义域中所有需要排除的值：$(x-3)(x+3) = 0$得$x=3$和$x=-3$，二者均需要排除。
3. 约去非零公因式$(x-3)$，这在所有$x \neq 3$时成立。
4. 等价的化简后表达式为：
5. $$\frac{x-4}{x+3}, \quad x \neq 3, x \neq -3$$

> **考试提示:** 约去公因式前一定要先找出原分母中所有需要排除的值；如果只列出化简后分母的限制，在问答题中会失分。

## 假有理形式的多项式除法

假有理表达式指分子次数大于等于分母次数的有理表达式。我们可以使用多项式长除法，或对形如$(x - c)$的一次除式使用综合除法，将任意假有理表达式改写为多项式加真有理表达式（余式次数小于分母次数）的等价和形式。

**余数因式定理** — 当多项式$P(x)$除以$(x - c)$时，余数等于$P(c)$。如果余数为零，则$(x - c)$是$P(x)$的因式，可以将其提取得到更低次数的等价多项式。

*例:* 如果$P(x)$除以$(x-2)$得到余数0，则$P(2)=0$且$(x-2)$是$P(x)$的因式。

这种形式用于求有理函数的斜渐近线，以及已知一个根时化简高次多项式。

**例题:** 将$\frac{2x^3 - 4x^2 - 7x - 5}{x - 3}$改写为多项式加真有理表达式的等价形式，并写出定义域限制。

1. 对一次除式$(x - 3)$使用综合除法：写出分子的系数：$2, -4, -7, -5$，根为$3$。
2. 写下首项系数$2$，乘以$3$得到$6$，加$-4$得到$2$；$2$乘以$3$得到$6$，加$-7$得到$-1$；$-1$乘以$3$得到$-3$，加$-5$得到$-8$。
3. 商为$2x^2 + 2x - 1$，余数为$-8$，因此等价形式为：
4. $$2x^2 + 2x - 1 - \frac{8}{x - 3}, \quad x \neq 3$$
5. 验证等价性：$(x-3)(2x^2 + 2x - 1) = 2x^3 -4x^2 -7x +3$，减$8$得到原分子，与原式一致。

> **考试提示:** 综合除法仅适用于形如$(x - c)$的一次除式；对高次除式一定要使用长除法，避免计算错误。

## 二项式定理与帕斯卡三角

二项式定理提供了一种快速方法：当$n$为正整数时，将二项式的幂$(a+b)^n$展开为标准多项式形式。我们无需把$(a+b)$连乘$n$次，而是直接从帕斯卡三角的第$n$行读出展开式的系数。

帕斯卡三角的构造规则是：每一行都以1开头、以1结尾，中间的每个数都等于它正上方相邻两数之和：

$$\begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \end{array}$$

从顶端$n=0$开始数，第$n$行给出$(a+b)^n$从$a^n$项到$b^n$项的系数。在相邻各项中，$a$的指数每次减1，$b$的指数每次加1，且每一项两个指数之和都等于$n$：

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

> **tip**
>
> 你需要的行就是第二个数等于$n$的那一行。展开$(a+b)^4$时使用$1, 4, 6, 4, 1$这一行。每一行左右对称，所以只需记住一半。

**例题:** 利用帕斯卡三角将$(x + 2)^4$展开为标准形式。

1. 因为$n = 4$，取帕斯卡三角第4行的系数：
2. $$1, \quad 4, \quad 6, \quad 4, \quad 1$$
3. 按$a = x$指数递减、$b = 2$指数递增写出各项：
4. $$x^4 + 4x^3(2) + 6x^2(2)^2 + 4x(2)^3 + (2)^4$$
5. 化简每个2的幂并合并：
6. $$x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$$

> **考试提示:** 当二项式为差，例如$(x-2)^4$时，代入$b = -2$，各项符号会正负交替；帕斯卡三角的系数本身不变。

## 概念检验

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的理解：

1. 下列哪个选项是$\frac{4x^2 - 16x + 12}{x^2 - 5x + 6}$的等价化简形式，且定义域限制正确？

   - A. $4$，且$x \neq 2$、$x \neq 3$
   - B. $4(x - 1)$，且$x \neq 2$、$x \neq 3$
   - C. $4$，无定义域限制
   - D. $\frac{4}{x + 1}$，且$x \neq -1, 2, 3$

   *解析:* 分子因式分解得$4(x-1)(x-3)$，分母因式分解得$(x-2)(x-3)$。原分母在$x=2$和$x=3$处为零，因此两个值都需要排除。约去$(x-3)$得到$4$，保留两个限制，与选项A一致。

## 常见错误

- **错误做法:** 将$\frac{(x-4)(x+5)}{x-4} = x+5$写出后不添加定义域限制
  - 原因: 学生认为约去公因式后两个表达式在处处都相等，忘记$x=4$在原表达式中无定义
  - 正确做法: 化简前一定要列出原分母所有定义域限制，因此等价表达式为$x+5, x \neq 4$
- **错误做法:** 将$2x^2 - 8$因式分解为$2(x^2 - 4)$后停止，称其为完全因式分解
  - 原因: 学生提取最大公因式后，忘记平方差还可以继续分解
  - 正确做法: 持续分解直到得到所有一次因式和不可约二次因式，因此完全因式分解形式为$2(x-2)(x+2)$
- **错误做法:** 用综合除法将$3x^3 + 2x^2 - x + 1$除以$x^2 - 4$
  - 原因: 学生记住综合除法是'简单除法方法'，但忘记它仅适用于一次除式
  - 正确做法: 对次数大于1的除式使用多项式长除法
- **错误做法:** 在AP预备微积分要求实数范围内等价形式的题目中，声称$x^2 + 4$可以分解为$(x+2i)(x-2i)$
  - 原因: 学生混淆了复数范围内因式分解和实数范围内因式分解，而AP几乎总是要求后者
  - 正确做法: 在实数范围内因式分解时，将判别式为负的不可约二次式保留原样即可
- **错误做法:** 对$\frac{P(x)}{x - c}$做多项式除法后忘记添加定义域限制
  - 原因: 学生认为只有约去公因式后才需要定义域限制，除法后不需要
  - 正确做法: 任何时候改写有理表达式，都要保留原分母对$x$的所有限制

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 平方差公式 | $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ | 平方和$a^2 + b^2$在实数范围内不可约 |
| 立方差公式 | $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ | 二次因式在实数范围内总是不可约 |
| 立方和公式 | $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ | 二次因式在实数范围内总是不可约 |
| 等价化简有理式 | $\frac{P(x)A(x)}{Q(x)A(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)}, A(x) \neq 0$ | 原分母的所有根都需要排除，即使约去$A(x)$后仍需排除 |
| 余数定理 | 将$P(x)$除以$(x-c)$ → 余数 $= P(c)$ | 若余数$=0$，$(x-c)$是$P(x)$的因式 |
| 假有理式改写 | $\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ | $\deg R < \deg Q$；一次$Q(x)$用综合除法，其他情况用长除法 |
| 二项式定理（帕斯卡三角） | $(a+b)^n$：系数为帕斯卡三角第$n$行 | $a$的指数从$n$降到$0$；$b$的指数从$0$升到$n$；每个数等于它上方相邻两数之和 |

## 下一步

本主题是AP预备微积分第一单元中所有后续多项式和有理函数学习的基础先修内容。接下来，你将应用这些等价表示技巧来识别多项式和有理函数图像的关键特征，包括根、截距、洞、垂直渐近线和端行为。如果不掌握将多项式和有理式改写为等价形式的能力，你将无法正确对间断点分类或找出考试题目中的关键特征，而这些内容占第一单元分值的很大比例。本主题还介绍了借助帕斯卡三角的二项式定理，这是展开二项式幂的工具，在整个AP预备微积分课程的多项式学习中都会用到。

- [函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-transformations-of-functions/)
- [函数模型选择与假设表述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-function-model-selection-and-assumption/)
- [函数模型的构建与应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-function-model-construction-and-application/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-equivalent-representations-of-polynomial-and/