# 同步变化（函数性质）

> AP 预备微积分 · 第1单元：多项式与有理函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-change-in-tandem/

函数的输入和输出如何同步变化：函数的定义、定义域、值域、自变量和因变量；函数的四种表示方式；像与原像；如何通过比较输出值判断函数在何处递增或递减；以及如何由一段文字描述画出图像、什么决定图像上凹还是下凹、零点在哪里。这是整个 AP 预备微积分的基础词汇。

**先修:** 在坐标平面上绘制和读取点; 代入给定值计算代数表达式; 集合与区间表示法

## 学习目标

- 定义函数并识别其定义域、值域以及自变量和因变量。
- 使用图形、数值、解析和口头四种方式表示函数，并在不同表示法之间转换。
- 求输入值的像和输出值的原像。
- 通过比较输出值确定函数递增或递减的区间。

## 函数的定义：定义域、值域与变量

大多数有意义的量会**共同**变化。往花瓶里倒水，注入的体积增加时水面高度也会上升；两个量*同步*变化。**函数**是我们精确定义这种配对关系的方式：它为每个输入分配一个且仅一个输出。

**函数** — 将每个输入值映射到**恰好一个**输出值的关系。如果单个输入可以给出两个不同的输出，那么该关系就不是函数。

*记法:* f(x)

**定义域与值域** — **定义域**是函数接受的所有输入值的集合。**值域**是函数产生的所有输出值的集合。

输入是**自变量**（由你选择）；输出是**因变量**（它的值取决于输入）。我们写 $f(x)$ 来表示法则 $f$ 分配给输入 $x$ 的输出。

**相等函数** — 两个函数 $f$ 和 $g$ **相等**当且仅当它们具有**相同的定义域**，并且对于该定义域中的每个输入 $a$，它们给出相同的输出：$f(a) = g(a)$。公式相同但定义域不同意味着函数*不*相等。

**例题:** 某体育场每人最多可购买4张票，每张票价25美元。购买 $n$ 张票的总费用为 $C(n) = 25n$。识别自变量和因变量，并写出定义域和值域。

1. 你决定购买多少张票，费用由这个选择决定。因此输入 $n$ 是自变量，输出 $C$ 是因变量。
2. 你可以购买的票数是从0到上限4的整数。定义域是所有允许的输入组成的集合：
3. $$\text{domain} = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}$$
4. 将法则应用于每个输入得到输出 $C(0)=0,\ C(1)=25,\ C(2)=50,\ C(3)=75,\ C(4)=100$。值域是所有输出组成的集合：
5. $$\text{range} = \{0,\ 25,\ 50,\ 75,\ 100\}$$
6. 由于只有整数张票才有实际意义，定义域和值域都是**离散**集合，而不是区间。

> **tip**
>
> 区分输入和输出：定义域位于输入侧（自变量），值域位于输出侧（因变量）。将两者混淆是入门阶段最常见的错误。

## 四种表示法、像与原像

**函数法则**——即每个输入与输出的配对方式——可以用四种等价的方式展示。它们是*同一个*函数的四种视图，本课程的重要内容之一就是能够在它们之间流畅转换。

**函数的四种表示法** — **图形法**（由点 $(x, f(x))$ 组成的曲线）、**数值法**（输入-输出配对的表格）、**解析法**（例如 $f(x)=x^2$ 的方程）和**口头法**（描述配对关系的语句）。

**像** — 输入值 $a$ 的**像**是法则分配给它的唯一输出，即 $f(a)$。定义域中的每个输入都恰好有一个像。

**原像** — 输出值 $y$ 的**原像**是法则映射到 $y$ 的**所有输入**的集合——所有满足 $f(x)=y$ 的 $x$。原像可以不包含任何输入、包含一个输入或多个输入。

**例题:** 函数 $f$ 由下表以数值形式给出。求(a) $-2$ 的像，(b) $1$ 的原像，以及(c) $3$ 的原像。

| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |

1. (a) $-2$ 的像就是与输入 $-2$ 配对的输出。读取 $x=-2$ 对应的列：
2. $$f(-2) = 4$$
3. (b) $1$ 的原像是所有输出为 $1$ 的输入。扫描底行找到值 $1$，它出现在 $x=-1$ 和 $x=1$ 下方：
4. $$\text{preimage of } 1 = \{-1,\ 1\}$$
5. 注意原像是一个**包含两个输入的集合**——这与像完全不同，像始终是单个值。
6. (c) $3$ 的原像是所有输出为 $3$ 的输入。底行中没有等于 $3$ 的条目，因此没有输入映射到它：
7. $$\text{preimage of } 3 = \{\ \}\ \text{(空集)}$$

> **warning**
>
> 区分像和原像：**像**是一个输出值（$f(a)$）；**原像**是输入值的*集合*。不要将原像简化为单个数字——列出所有映射到目标输出的输入。

## 递增与递减：比较输出值

为了描述两个量如何同步变化，我们首先提出一个纯*定性*的问题：当输入增加时，输出是**上升**还是**下降**？我们通过直接**比较输出值**来回答这个问题——暂时不需要衡量变化的快慢（这是下一个主题的内容）。

**在区间上递增** — 如果对于定义域某区间内的所有 $a$ 和 $b$，当 $a < b$ 时都有 $f(a) < f(b)$，则函数在该区间上**递增**，即更大的输入始终给出更大的输出。

**在区间上递减** — 如果对于定义域某区间内的所有 $a$ 和 $b$，当 $a < b$ 时都有 $f(a) > f(b)$，则函数在该区间上**递减**，即更大的输入始终给出更小的输出。

$$\text{increasing:}\ \ a<b \Rightarrow f(a)<f(b) \qquad \text{decreasing:}\ \ a<b \Rightarrow f(a)>f(b)$$

**例题:** 一杯茶正在冷却。下表给出了 $m$ 分钟后茶的温度 $T$（单位：°C）。$T$ 在哪个区间上是 $m$ 的递减函数？通过比较输出值给出证明。

| $m$ | $0$ | $2$ | $4$ | $6$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $85$ | $68$ | $57$ | $51$ | $51$ |

1. 从左到右读取输出并依次比较：$85 > 68 > 57 > 51$。
2. 从 $m=0$ 到 $m=6$，每个更大的输入都给出严格更小的输出，这完全符合递减的定义：
3. $$0<2<4<6 \ \Rightarrow\ T(0) > T(2) > T(4) > T(6)$$
4. 因此 $T$ 在区间 $0 \le m \le 6$ 上递减。
5. 从 $m=6$ 到 $m=8$，输出保持为 $51$（$T(6)=T(8)$），因此在区间 $6 \le m \le 8$ 上函数是**常数**，既不递增也不递减。

> **warning**
>
> “递增”必须对区间内的**每一对** $a<b$ 都成立，而不仅仅是两个端点。并且永远不要将不连续的区间合并为一个结论——函数可以在一段区间上递增，在另一段区间上递减。

## 把图像画出来：凹凸性与零点

图像就是把所有输入—输出对画在平面上，所以它一眼就能看出两个量是怎样一起变化的。这也意味着：**一段文字描述**本身就足以画出图像的形状——不需要先有解析式。

**例题:** 把水匀速倒进三个花瓶：(a) 直壁的；(b) 越往上越**宽**的；(c) 越往上越**窄**的。分别描述水面高度 $H$ 关于倒入体积 $V$ 的图像。

1. (a) 直壁：每毫升水抬高的高度都一样，所以图像是一条**上升的直线**。
2. (b) 上宽：瓶身变宽后，每多倒一毫升水会摊开，抬高的高度比前一毫升**更少**。图像仍在上升，但越来越平缓。
3. (c) 上窄：每多倒一毫升水被挤进更小的截面，抬高的高度比前一毫升**更多**。图像上升得越来越陡。
4. 三种情况都是递增的——水越多水面一定越高。差别在于高度**变化得有多快**，而正是这一点决定了曲线的弯法。

最后这个差别有专门的名字。描述输出**变化得有多快**是主题 1.2 的内容；这里我们只需要「**变化率**随输入增大而变大还是变小」这个直觉。

**上凹（concave up）** — 函数图像在**变化率递增**的区间上是**上凹**的——每一步输入抬高输出的幅度都比前一步更大。上面的花瓶 (c) 就是上凹。

**下凹（concave down）** — 函数图像在**变化率递减**的区间上是**下凹**的——每一步输入抬高输出的幅度都比前一步更小。上面的花瓶 (b) 就是下凹。

> **warning**
>
> 凹凸性**不等于**递增递减。三个花瓶全都是递增的，区别只在凹凸。一个函数完全可以既递减又上凹——在下降，但降势在放缓。

还有一个特征可以直接从图上读出来：图像与横轴相交的地方。

**函数的零点** — 图像与 $x$ 轴相交的位置，恰好是**输出值为零**的地方。对应的那些输入值就叫作**函数的零点**。

*记法:* f(a)=0 \iff 点\ (a,\,0)\ 在图像上

**例题:** 前面算过：对 $f(x)=x^2-1$，输出 $0$ 的原像是 $\{-1,\ 1\}$。这告诉了我们关于图像的什么信息？

1. $0$ 的原像就是所有使输出为 $0$ 的输入，也就是 $f(-1)=0$ 且 $f(1)=0$。
2. 输出为 $0$ 意味着这个点落在 $x$ 轴上，所以图像经过 $(-1,\ 0)$ 和 $(1,\ 0)$。
3. **答案：**$f$ 的零点是 $-1$ 和 $1$，它们正是图像与 $x$ 轴的交点。

> **tip**
>
> 「函数的零点」「使输出为 $0$ 的输入」「图像的 $x$ 截距」是同一件事的三种说法——分别从解析、数值、图像三个角度看。

## AP 风格练习

**概念自测**

用这道选择题测试你的理解：

1. 函数 $h$ 由下表给出。$h$ 在哪个区间上递增？

| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $h(x)$ | $12$ | $7$ | $4$ | $7$ | $12$ |

   - $1 \le x \le 3$
   - $3 \le x \le 5$
   - $1 \le x \le 5$
   - $2 \le x \le 4$

   *答案:* $3 \le x \le 5$

   *解析:* 从 $x=3$ 到 $x=5$ 输出值上升：$4 < 7 < 12$，因此对于任意 $a<b$ 都有 $h(a)<h(b)$——满足递增。在 $1 \le x \le 3$ 上输出值下降（$12>7>4$），因此该区间是递减的，而完整区间 $1 \le x \le 5$ 同时包含两种性质。

**例题:** 将水匀速倒入空花瓶中。设 $H$ 为水面高度（单位：厘米），$V$ 为注入的体积（单位：毫升）。(a) 哪个是自变量，哪个是因变量？(b) 解释为什么 $H$ 是 $V$ 的递增函数。(c) 花瓶总容量为500毫升，装满时高度为20厘米，写出 $H(V)$ 的定义域和值域。

1. (a) 你控制注入的水量，水面高度随之变化。因此 $V$ 是自变量，$H$ 是因变量。
2. (b) 加入更多水只会抬升水面高度。因此只要 $V_1 < V_2$，更高的水柱就会给出 $H(V_1) < H(V_2)$。这符合定义 $a<b \Rightarrow f(a)<f(b)$，因此 $H$ 在整个定义域上递增。
3. (c) 体积从空到满，范围是0到500毫升，因此定义域是 $0 \le V \le 500$。
4. 对应的高度从0到20厘米，因此值域是 $0 \le H \le 20$。

**例题:** 一个函数被**口头**描述为：“输出比输入的平方小1”。(a) 以**解析**形式写出它。(b) 给出输入为 $-2,-1,0,1,2$ 时的**数值**表示。(c) 求输出值 $0$ 的原像。

1. (a) “输入的平方”是 $x^2$；“小1”就是减去1：
2. $$f(x) = x^2 - 1$$
3. (b) 在每个输入处计算法则的值，构建表格：
4. $$f(-2)=3,\ \ f(-1)=0,\ \ f(0)=-1,\ \ f(1)=0,\ \ f(2)=3$$
5. (c) $0$ 的原像是所有输出为 $0$ 的输入。从表格中（或解方程 $x^2-1=0$）可得，它们是 $x=-1$ 和 $x=1$：
6. $$\text{preimage of } 0 = \{-1,\ 1\}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将输出的原像报告为单个输入值。
  - 原因: 原像是映射到目标输出的**所有**输入组成的集合。对于 $f(x)=x^2$，$9$ 的原像是 $\{-3, 3\}$，而不仅仅是 $3$。
  - 正确做法: 列出所有输出等于目标值的输入；原像可以包含零个、一个或多个元素。
- **错误做法:** 认为 $x = y^2$ 是关于 $x$ 的函数。
  - 原因: 输入 $x=4$ 会给出两个输出 $y=2$ 和 $y=-2$，但函数必须为每个输入分配恰好一个输出。
  - 正确做法: 在将关系称为函数之前，先检查每个输入是否只产生一个输出（从图形上看，没有竖线与图像相交两次）。
- **错误做法:** 从输出侧读取定义域（或从输入侧读取值域）。
  - 原因: 定义域和值域被混淆了：定义域是输入（自变量）的集合，值域是输出（因变量）的集合。
  - 正确做法: 牢记“输入进，输出出”：收集所有输入得到定义域，收集所有输出得到值域。
- **错误做法:** 因为代数化简后形式相同，就宣称 $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ 和 $g(x)=x+2$ 是相等函数。
  - 原因: $f$ 在 $x=2$ 处无定义，而 $g$ 在该点有定义，因此两个函数的定义域不同。
  - 正确做法: 只有当两个函数具有相同的定义域**并且**在每个输入处的取值都相等时，它们才是相等的；不要只比较公式，还要检查定义域。
- **错误做法:** 仅仅因为 $f(0) < f(4)$ 就得出 $f$ 在 $[0,4]$ 上递增的结论。
  - 原因: 递增要求区间内的**每一对** $a<b$ 都满足 $f(a)<f(b)$；两个匹配的端点可能隐藏中间的下降段。
  - 正确做法: 验证比较关系在整个区间上都成立，永远不要将不连续的递增/递减区间合并为一个结论。

## 速查表

| 概念 | 定义 / 法则 | 关键说明 |
| --- | --- | --- |
| 函数 | 每个输入映射到恰好一个输出 | 如果一个输入给出两个输出则不成立（竖线检验） |
| 定义域 / 值域 | 定义域 = 所有输入；值域 = 所有输出 | 定义域输入法则；值域从法则输出 |
| 自变量 / 因变量 | 输入 = 自变量；输出 = 因变量 | 输出值取决于选择的输入 |
| 相等函数 $f=g$ | 定义域相同 且 对所有 $a$ 都有 $f(a)=g(a)$ | 公式相同但定义域不同 ⇒ 不相等 |
| 四种表示法 | 图形、数值、解析、口头 | 同一法则的四种视图；可在之间转换 |
| $a$ 的像 | $f(a)$ — 输入 $a$ 对应的唯一输出 | 始终恰好是一个值 |
| $y$ 的原像 | 所有满足 $f(x)=y$ 的输入 $x$ | 是一个**集合**：可以为空、一个或多个元素 |
| 在区间 $I$ 上递增 | 对 $I$ 中所有 $a<b$，$f(a)<f(b)$ | 比较输出值；必须对每一对都成立 |
| 在区间 $I$ 上递减 | 对 $I$ 中所有 $a<b$，$f(a)>f(b)$ | 比较输出值；必须对每一对都成立 |
| 在区间 $I$ 上为常数 | 对 $I$ 中所有 $a,b$，$f(a)=f(b)$ | 既不递增也不递减 |
| 上凹（concave up） | 变化率递增 | 每一步输入抬高输出的幅度比前一步更大 |
| 下凹（concave down） | 变化率递减 | 每一步输入抬高输出的幅度比前一步更小 |
| 函数的零点 | 使 $f(a)=0$ 的输入 $a$ | 正是图像与 $x$ 轴的交点 |

## 下一步

现在你能描述函数的输出随输入增大是升还是降，能在四种表示中说出定义域、值域、像与原像，也能从图像读出凹凸性和零点。接下来自然要问它变化得**有多快**——那就是主题 1.2《变化率》，它给出区间上的平均变化率，并让凹凸性的说法变得精确。

- [变化率（平均变化率与等间隔变化率）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-rates-of-change/)
- [多项式函数与变化率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-rates-of/)
- [多项式函数与复零点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-precalculus-u1-polynomial-functions-and-complex-zeros/)

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