# 行星和卫星的轨道

> AP 物理 C：力学 · 第7单元：万有引力
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u7-orbits-of-planets-and-satellites/

本模块讲解AP物理C：力学中行星和卫星的圆轨道与椭圆轨道、开普勒三定律、引力向心力平衡、轨道能量、逃逸速度，以及束缚/非束缚轨道分类。

**先修:** 牛顿万有引力定律; [匀速圆周运动和向心加速度](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-uniform-circular-motion/); [机械能守恒和角动量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-conservation-angular-momentum/)

## 学习目标

- 应用向心力平衡计算圆轨道的轨道速度和周期
- 利用开普勒三定律求解椭圆轨道问题
- 计算束缚轨道和非束缚轨道的总轨道能量和逃逸速度
- 根据总能量和偏心率对轨道进行分类

## 圆轨道与向心力平衡

**轨道** — 天体或人造物体仅在大质量中心天体的引力作用下运动的弯曲路径，由于 $M \gg m$，假设中心天体静止。

*记法:* $M$ = 中心质量, $m$ = 轨道质量, $r$ = 质心间距

*例:* 绕地球运行的人造卫星、绕太阳运行的地球

对于圆轨道，中心天体的引力恰好提供维持匀速圆周运动所需的向心力。由于两天体质量差异很大，我们可以忽略中心天体绕共同质心的加速度。

**推导:** 推导圆轨道的轨道速度和周期

*起点:* 牛顿第二定律（圆周运动形式）

1. 合引力等于质量乘以向心加速度：
2. $$F_{net} = F_g = m a_c$$
3. 代入引力和向心加速度的表达式：
4. $$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$
5. 轨道天体质量 $m$ 被约去，得到轨道速度的最终表达式：
6. $$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$
7. 代入 $v = \frac{2 \pi r}{T}$ 求解轨道周期：
8. $$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M}$$

*结论:* 轨道速度与轨道天体的质量无关，且随轨道半径增大而减小。

**例题:** 一颗小型人造卫星在火星表面上方200 km高度处绕火星运行。火星质量为 $6.42 \times 10^{23}$ kg，半径为 $3.39 \times 10^6$ m。求卫星的轨道速度？

1. 首先，将火星半径加上卫星的高度，得到质心轨道半径：
2. $$r = R_{\text{Mars}} + h = 3.39 \times 10^6 + 2.00 \times 10^5 = 3.59 \times 10^6 \text{ m}$$
3. 使用圆轨道速度的力平衡结果：
4. $$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$$
5. 代入数值计算根号内的分式：
6. $$\frac{(6.67 \times 10^{-11})(6.42 \times 10^{23})}{3.59 \times 10^6} \approx 1.19 \times 10^7$$
7. 开平方得到最终速度：
8. $$v = \sqrt{1.19 \times 10^7} \approx 3450 \text{ m/s} = 3.45 \text{ km/s}$$

> **tip**
>
> 始终确认 $r$ 是质心间距，而不是中心天体表面上方的高度。如果题目给出海拔高度，代入公式前一定要先加上中心天体的半径得到 $r$。

## 开普勒行星运动定律

开普勒在牛顿提出引力理论之前，就从观测数据中总结出了三条经验定律，而牛顿万有引力定律证实，对于中心天体质量占主导的二体轨道，这三条定律全部成立。

1. **轨道定律**：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，中心天体位于椭圆的一个焦点上。偏心率 $e$ 描述轨道形状：$e=0$ = 正圆，$0<e<1$ = 束缚椭圆轨道，$e \geq 1$ = 非束缚轨道。最近距离（近日点/近地点）为 $r_p = a(1-e)$，最远距离（远日点/远地点）为 $r_a = a(1+e)$，其中 $a$ = 半长轴。
2. **面积定律**：连接轨道天体和中心天体的连线在相等时间内扫过相等的面积。这是角动量守恒的直接结果：引力对中心天体的力矩为零，因此 $L$ 为常数，所以半径越小，速度越大。
3. **周期定律**：轨道周期的平方与半长轴的立方成正比：$T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G M}$，这是圆轨道结果的推广（圆轨道中 $a=r$）。

**例题:** 一颗小行星绕太阳沿椭圆轨道运行，近日点距离为1 AU，远日点距离为7 AU（1 AU = 地球的半长轴，地球轨道周期为1年）。求：(a) 小行星的半长轴；(b) 小行星的轨道周期；(c) 小行星近日点速度与远日点速度之比。

1. (a) 由近日点和远日点距离计算半长轴：
2. $$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \text{ AU}$$
3. (b) 对于绕同一中心天体运行的天体，使用开普勒第三定律比例式：
4. $$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} \implies \frac{(1 \text{ yr})^2}{(1 \text{ AU})^3} = \frac{T^2}{(4 \text{ AU})^3} \implies T^2 = 64 \implies T = 8 \text{ 年}$$
5. (c) 使用角动量守恒（近日点/远日点处速度垂直于半径）：
6. $$m r_p v_p = m r_a v_a \implies \frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p} = \frac{7}{1} = 7$$

> **tip**
>
> 比较绕同一中心天体运行的轨道时，只要单位一致，你可以使用任意单位表示 $T$ 和 $a$，因此不需要单位转换，在选择题中可以节省时间。

## 轨道能量与逃逸速度

对于所有束缚轨道（圆轨道或椭圆轨道，$0 \leq e < 1$），总机械能始终为负。我们将引力势能 $U=0$ 定义在 $r \to \infty$ 处，因此 $U$ 为负值，且其大小是轨道动能的两倍。

**推导:** 推导总轨道能量和逃逸速度

1. 对于圆轨道，将 $v^2 = \frac{G M}{r}$ 代入动能表达式：
2. $$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2 r}$$
3. 加上引力势能 $U = -\frac{G M m}{r}$，得到圆轨道的总能量：
4. $$E = K + U = - \frac{G M m}{2 r}$$
5. 对于椭圆轨道，将 $r$ 替换为半长轴 $a$，因此总能量仅取决于 $a$，与偏心率无关：
6. $$E = - \frac{G M m}{2 a}$$
7. 逃逸速度是脱离引力所需的最小速度，此时 $r \to \infty$ 处总能量为零：
8. $$\frac{1}{2} m v_{esc}^2 - \frac{G M m}{r} = 0 \implies v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}} = \sqrt{2} v_{circular}$$

*结论:* 相同半径处，逃逸速度始终大于圆轨道速度，且与轨道天体质量无关。

**例题:** 近地轨道（地球表面上方400 km处）的逃逸速度是多少？地球质量为 $5.97 \times 10^{24}$ kg，半径为 $6.37 \times 10^6$ m。

1. 计算质心间距：
2. $$r = R_E + h = 6.37 \times 10^6 + 4.00 \times 10^5 = 6.77 \times 10^6 \text{ m}$$
3. 使用逃逸速度公式：
4. $$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M_E}{r}}$$
5. 代入数值：
6. $$\frac{2(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})}{6.77 \times 10^6} \approx 1.18 \times 10^8$$
7. 开平方得到最终速度：
8. $$v_{esc} = \sqrt{1.18 \times 10^8} \approx 10900 \text{ m/s} = 10.9 \text{ km/s}$$

> **tip**
>
> 逃逸速度仅取决于速度大小，与方向无关：只要物体的速度不小于 $v_{esc}$，只要不与中心天体碰撞，无论沿什么方向运动都可以脱离引力。

## AP风格练习例题

**例题:** 质量为 $m$ 的卫星绕质量为 $M$ 的行星做半径为 $r$ 的圆周运动（$M \gg m$）。若定义 $U=0$ 在 $r \to \infty$ 处，卫星在该轨道的总机械能是多少？

(A) $- \frac{G M m}{r}$
(B) $- \frac{G M m}{2 r}$
(C) $\frac{G M m}{2 r}$
(D) $\frac{G M m}{r}$

1. 由圆轨道的力平衡计算动能：
2. $$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M}{r}\right) = \frac{G M m}{2 r}$$
3. 零势能在无穷远约定下的引力势能：
4. $$U = - \frac{G M m}{r}$$
5. 相加得到总能量：
6. $$E = K + U = \frac{G M m}{2r} - \frac{G M m}{r} = - \frac{G M m}{2r}$$
7. 束缚轨道的总能量为负，符合预期，因此正确答案是 (B)。

**例题:** 一颗1000 kg的卫星从半径为 $2 r_0$ 的圆轨道移动到半径为 $3 r_0$ 的圆轨道绕地球运行（地球质量为 $M$，$M \gg m$）。(a) 推导卫星动能变化的表达式。(b) 推导总机械能变化的表达式。(c) 解释为什么即使轨道速度减小，移动到更高轨道仍然需要注入能量。

1. (a) 圆轨道的动能为 $K = \frac{G M m}{2 r}$，计算变化量：
2. $$\Delta K = K_f - K_i = \frac{G M m}{2(3 r_0)} - \frac{G M m}{2(2 r_0)} = - \frac{G M m}{12 r_0}$$
3. 动能减少了 $\frac{G M m}{12 r_0}$。
4. (b) 圆轨道的总能量为 $E = - \frac{G M m}{2 r}$，计算变化量：
5. $$\Delta E = E_f - E_i = - \frac{G M m}{2(3 r_0)} - \left(- \frac{G M m}{2(2 r_0)}\right) = + \frac{G M m}{12 r_0}$$
6. 总能量增加了 $\frac{G M m}{12 r_0}$。
7. (c) 虽然动能减小，但引力势能的增加量是动能减少量大小的两倍：$\Delta U = + \frac{G M m}{6 r_0} = 2 |\Delta K|$。总能量变化为正，因此需要卫星发动机输入能量。

## 常见错误

- **错误做法:** 在计算轨道速度或逃逸速度时，将表面上方高度 $h$ 用作 $r$。
  - 原因: 题目通常给出海拔高度，学生会把地表上方高度和所有引力公式要求的质心间距混淆。
  - 正确做法: 在给出海拔高度的题目中，一定要先写出 $r = R_{\text{central}} + h$，代入公式前确认 $r$ 的取值正确。
- **错误做法:** 声称束缚椭圆轨道的总机械能为正。
  - 原因: 学生记得动能是正的，却忘记束缚轨道中引力势能是负的，且绝对值更大。
  - 正确做法: 对于任何闭合束缚轨道 ($e < 1$)，始终记住 $E = - \frac{G M m}{2a} < 0$，因此总能量永远为负。
- **错误做法:** 使用开普勒第三定律的比例形式 ($T^2 \propto a^3$) 比较绕不同中心天体运行的天体周期。
  - 原因: 该比例关系仅在中心天体质量 $M$ 相同时成立，因为比例常数取决于 $M$。
  - 正确做法: 比例形式仅可用于绕同一中心天体运行的天体；当中心天体质量不同时，始终使用完整公式 $T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G M}$。
- **错误做法:** 在开普勒第三定律或总能量计算中使用半短轴而非半长轴。
  - 原因: 学生混淆椭圆两个轴的定义。
  - 正确做法: 如果给了你近心点和远心点距离，始终用 $a = \frac{r_p + r_a}{2}$ 计算半长轴，避免轴定义的混淆。
- **错误做法:** 将逃逸速度写为 $v_{esc} = \sqrt{\frac{G M}{r}}$，和圆轨道速度相同。
  - 原因: 学生忘记能量推导中的因子2，混淆了两个公式。
  - 正确做法: 始终记住相同半径处 $v_{esc} = \sqrt{2} v_{\text{circular}}$，因此逃逸速度始终大于圆轨道速度。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 圆轨道速度 | $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ | 与轨道天体质量 $m$ 无关；$r$ = 质心间距 |
| 开普勒第三定律（通用） | $T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G M}$ | $a$ = 半长轴；适用于所有束缚轨道 |
| 拱点半径 | $r_p = a(1-e), \; r_a = a(1+e)$ | $e$ = 偏心率；$e=0$ = 圆，$0<e<1$ = 束缚椭圆 |
| 拱点角动量关系 | $r_p v_p = r_a v_a$ | 成立原因是引力力矩为零；拱点处 $v \perp r$ |
| 总轨道能量 | $E = - \frac{G M m}{2 a}$ | 束缚轨道总能量恒为负；圆轨道中 $a=r$ |
| 逃逸速度 | $v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}$ | 距离 $r$ 处的最小逃逸速度；$v_{esc} = \sqrt{2} v_{\text{circular}}$ |
| 开普勒第二定律 | $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2 m} = \text{constant}$ | 相等时间内扫过相等面积；是角动量守恒的结果 |

## 下一步

本主题为AP物理C：力学中所有轨道动力学问题奠定了基础，这类问题是常见的多分自由问答题，会涉及多个单元的概念。掌握本核心内容后，你将把引力能量概念拓展到延展天体和引力势，解决更复杂的轨道转移和引力弹弓问题，这些问题都直接建立在你在此学到的力平衡和能量关系之上。本主题还连接了课程中中心力运动和能量守恒的大主题，将之前单元的圆周运动和角动量内容串联起来。掌握这些核心关系是正确求解更高级引力问题的必要条件。

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