万有引力 — AP 物理 C：力学
AP 物理 C：力学 · 第7单元：万有引力 · 14 min read
1. 牛顿万有引力定律 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
万有引力始终为吸引力（经典力学中不存在负质量，这一点和静电电荷不同）。根据牛顿第三定律，质量1对质量2的力与质量2对质量1的力大小相等、方向相反。该公式仅直接适用于质点和球对称连续质量；对于非球形质量，我们需要使用叠加原理和积分。
Exam tip: 做选择题时，利用比例推理（$F_g \propto m_1 m_2 / r^2$）排除错误选项比完整数值计算快得多。
2. 万有引力的叠加 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
万有引力是矢量，因此当试探质量与多个场源质量相互作用时，试探质量受到的合万有引力是每个场源产生的单个力的矢量和。对于AP考题，这个过程遵循四个步骤：
- 用牛顿万有引力定律计算每个单个力的大小
- 建立坐标系，将每个力分解为$x$分量和$y$分量
- 将对应分量相加得到合力分量
- 如果需要，计算合力的大小和方向
Exam tip: 叠加分量前一定要画出坐标系并确认每个力的方向；AP出题人会故意设置质量位置来考察吸引力的符号错误。
3. 由引力场计算万有引力 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
整理定义可得万有引力和引力场的通用关系：$\vec{F}_g = m \vec{g}$，其中$m$是试探物体的质量。我们熟悉的地球近表面重力公式$F_g = mg$只是牛顿万有引力定律的近似，仅在靠近表面的点成立。对于球形质量$M$外部的任意点，引力场大小为$g = \frac{GM}{r^2}$。
Exam tip: 如果题目要求计算行星表面上方较高高度处的力，一定要用$g = GM/r^2$计算，不要使用近表面的9.8 m/s²。
4. 连续分布扩展质量 ★★★★☆ ⏱ 4 min
对于非球形的连续质量分布，我们结合叠加原理和积分：将扩展质量分割为无穷小的质量元，求出每个质量元产生的力，然后对整个分布积分得到合力。这是AP物理C力学自由作答题中常见的考点。
Common Pitfalls
Why: 学生将物体之间可见的间隙与质点近似要求的间距混淆。
Why: 学生将力的大小和产生的加速度混淆，错误认为质量越大产生的力越大。
Why: 学生将万有引力和静电力混淆（静电力可以是排斥力），导致符号相反。
Why: 学生记住了球形质量可以当作质点处理，因此错误地将这个结论推广到所有形状。
Why: 当所有力都沿同一直线时，带符号相加大小是可行的，因此学生错误地将这个方法推广到二维问题。
Quick Reference Cheatsheet