万有引力

AP 物理 C：力学· AP Physics C: Mechanics CED — 万有引力· 14 分钟阅读

1. 牛顿万有引力定律★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

牛顿万有引力定律

$F_{g} = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

描述两个质点或球对称连续质量之间万有引力的大小。万有引力始终为吸引力，且作用于连接两个质量中心的连线上。

例:

将两个质量的中心间距加倍，万有引力会减小到原来的1/4。

万有引力始终为吸引力（经典力学中不存在负质量，这一点和静电电荷不同）。根据牛顿第三定律，质量1对质量2的力与质量2对质量1的力大小相等、方向相反。该公式仅直接适用于质点和球对称连续质量；对于非球形质量，我们需要使用叠加原理和积分。

📐 例题

一个10kg的实心铅球和一个50kg的实心铅球，外表面相距10cm，每个球的半径都是7.5cm，求它们之间万有引力的大小是多少？

1
首先将两个半径加上表面间距，计算中心间距 $r$ ：
2
$r = 7.5 \text{cm} + 7.5 \text{cm} + 10 \text{cm} = 25 \text{cm} = 0.25 \text{m}$
3
整理已知量： $m_{1} = 10 kg$ ， $m_{2} = 50 kg$ ， $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdotp m^{2} / kg^{2}$ 。
4
代入牛顿万有引力定律：
5
$F_g = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(10)(50)}{(0.25)^2} = (6.67 \times 10^{-11})(8000)$
6
计算最终大小：
7
$F_g \approx 5.3 \times 10^{-7} \text{N}$
8
根据牛顿第三定律，两个球对彼此的力大小都等于这个值。

Exam tip:

做选择题时，利用比例推理（ $F_{g} \propto m_{1} m_{2} / r^{2}$ ）排除错误选项比完整数值计算快得多。

2. 万有引力的叠加★★★☆☆⏱ 4 min

万有引力是矢量，因此当试探质量与多个场源质量相互作用时，试探质量受到的合万有引力是每个场源产生的单个力的矢量和。对于AP考题，这个过程遵循四个步骤：

用牛顿万有引力定律计算每个单个力的大小
建立坐标系，将每个力分解为 $x$ 分量和 $y$ 分量
将对应分量相加得到合力分量
如果需要，计算合力的大小和方向

📐 例题

三个质点排列在x轴上： $m_{A} = 2 kg$ 在 $x = 0$ 处， $m_{B} = 4 kg$ 在 $x = 3 m$ 处，1kg的试探质量 $m$ 在 $x = 1 m$ 处。求试探质量受到的合万有引力。

1
设x正方向向右。万有引力始终为吸引力，因此 $m_{A}$ 将 $m$ 向左拉（负方向）， $m_{B}$ 将 $m$ 向右拉（正方向）。
2
计算间距： $r_{A} = 1 m$ （ $m_{A}$ 到 $m$ 的距离）， $r_{B} = 2 m$ （ $m_{B}$ 到 $m$ 的距离）。
3
计算单个力的大小：
4
$F_A = G \frac{m_A m}{r_A^2} = G \frac{(2)(1)}{1^2} = 2G, \quad F_B = G \frac{m_B m}{r_B^2} = G \frac{(4)(1)}{2^2} = G$
5
分量相加得到合力：
6
$F_{net,x} = -F_A + F_B = -2G + G = -G = -6.67 \times 10^{-11} \text{N}$
7
合力大小为 $6.67 \times 1 0^{- 11} N$ ，方向向左指向 $m_{A}$ 。

📐 例题

两个相同的质点 $M$ 固定在x轴的 $(- d, 0)$ 和 $(d, 0)$ 处。第三个质量 $m$ 放在 $(0, d)$ 处。求 $m$ 受到的合万有引力的大小。

1
计算每个 $M$ 到 $m$ 的距离：
2
$r = \sqrt{d^2 + d^2} = d\sqrt{2}, \quad r^2 = 2d^2$
3
每个 $M$ 对 $m$ 的力大小为 $F = \frac{GM m}{2 d ^{2}}$ 。
4
两个力的x分量抵消（大小相等、方向相反），y分量相加。每个力的y分量为 $F cos (4 5^{\circ})$ ：
5
$F_y = \frac{GMm}{2d^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{GMm\sqrt{2}}{4d^2}$
6
将两个y分量相加得到合力：
7
$F_{net} = 2 \cdot \frac{GMm\sqrt{2}}{4d^2} = \frac{\sqrt{2} GMm}{2d^2}$

Exam tip:

叠加分量前一定要画出坐标系并确认每个力的方向；AP出题人会故意设置质量位置来考察吸引力的符号错误。

3. 由引力场计算万有引力★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

引力场

$g = \frac{F _{g}}{m}$

定义为空间中某点处单位质量所受万有引力的矢量场。当合场已知时，这种形式可以简化力的计算。

例:

地球表面附近的引力场近似均匀，大小为 $g \approx 9.8 m/s^{2}$ 。

整理定义可得万有引力和引力场的通用关系： $F_{g} = m g$ ，其中 $m$ 是试探物体的质量。我们熟悉的地球近表面重力公式 $F_{g} = m g$ 只是牛顿万有引力定律的近似，仅在靠近表面的点成立。对于球形质量 $M$ 外部的任意点，引力场大小为 $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ 。

📐 例题

空间中某点的合引力场为 $g = (- 1.8 \hat{i} + 4.2 \hat{j}) m/s^{2}$ 。将一个15kg的质量放在该点，求它受到的万有引力以及力的大小。

1
用关系 $F_{g} = m g$ 求力矢量。
2
将每个分量乘以质量 $m = 15 kg$ ：
3
$\vec{F}_g = 15(-1.8 \hat{i} + 4.2 \hat{j}) = (-27 \hat{i} + 63 \hat{j}) \text{N}$
4
用勾股定理计算大小：
5
$|F_g| = \sqrt{(-27)^2 + (63)^2} = \sqrt{4698} \approx 68.5 \text{N}$

Exam tip:

如果题目要求计算行星表面上方较高高度处的力，一定要用 $g = GM / r^{2}$ 计算，不要使用近表面的9.8 m/s²。

4. 连续分布扩展质量★★★★☆⏱ 4 min

对于非球形的连续质量分布，我们结合叠加原理和积分：将扩展质量分割为无穷小的质量元，求出每个质量元产生的力，然后对整个分布积分得到合力。这是AP物理C力学自由作答题中常见的考点。

📐 例题

一根总质量为 $M$ 、长度为 $L$ 的均匀细杆沿x轴放置，范围从 $x = 0$ 到 $x = L$ 。一个质点 $m$ 放在x轴的 $x = L + a$ 处， $a > 0$ 。计算 $m$ 受到的合万有引力，并证明当 $a ≫ L$ 时结果退化为质点形式。

1
均匀细杆的线密度为 $λ = \frac{M}{L}$ 。在位置 $x$ 处取一个无穷小段，质量为 $d m = λ d x = \frac{M}{L} d x$ 。
2
该小段到 $m$ 的距离为 $(L + a - x)$ ，因此无穷小力为：
3
$dF = \frac{G m dm}{(L+a - x)^2} = \frac{GMm dx}{L(L+a - x)^2}$
4
对细杆全长积分，然后换元 $u = L + a - x$ ， $d u = - d x$ ：
5
$F = \frac{GMm}{L} \int_{a}^{L+a} \frac{du}{u^2} = \frac{GMm}{L} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{L+a} \right) = \frac{GMm}{a(L+a)}$
6
当 $a ≫ L$ 时， $L + a \approx a$ ，因此 $F \approx \frac{GM m}{a ^{2}}$ ，和质点结果一致。

5. 常见陷阱

错误做法:

在牛顿万有引力定律中使用两个球的表面间距，而非中心间距。

原因:

学生将物体之间可见的间隙与质点近似要求的间距混淆。

正确做法:

一定要将两个球的半径加到表面间隙上，得到公式所需的总 $r$ 。

错误做法:

认为大质量对小质量的万有引力比小质量对大质量的更大。

原因:

学生将力的大小和产生的加速度混淆，错误认为质量越大产生的力越大。

正确做法:

始终遵循牛顿第三定律：无论两个质量大小如何，它们之间相互作用力的大小相等。

错误做法:

给矢量分量分配符号时忘记万有引力始终是吸引力。

原因:

学生将万有引力和静电力混淆（静电力可以是排斥力），导致符号相反。

正确做法:

对于场源质量产生的任意万有引力，试探质量受到的力始终指向场源质量；根据这个规则建立坐标系并分配符号。

错误做法:

不对非球形扩展质量积分，直接应用牛顿质点公式。

原因:

学生记住了球形质量可以当作质点处理，因此错误地将这个结论推广到所有形状。

正确做法:

仅对质点或球对称质量使用质点公式；对于其他形状，使用叠加原理或积分求合力。

错误做法:

在二维叠加问题中直接相加万有引力的大小，而非相加矢量分量。

原因:

当所有力都沿同一直线时，带符号相加大小是可行的，因此学生错误地将这个方法推广到二维问题。

正确做法:

一定要将每个力分解为x分量和y分量，分别相加分量，再计算合力大小。

6. 速查表

分类	公式	说明
牛顿万有引力定律	$F_{g} = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$	适用于质点/球形质量； $r$ = 中心间距
由引力场计算万有引力	$F_{g} = m g$	适用于任意质量分布； $m$ = 试探质量
地球近表面重力	$F_{g} = m g$	仅适用于地球表面附近点的近似； $g \approx 9.8 m/s^{2}$
万有引力叠加原理	$F_{n e t} = \sum_{i} F_{i}$	合力为单个力的矢量和
球形质量的引力场	$g = \frac{GM}{r ^{2}}$	适用于球形质量 $M$ 外部的任意点
均匀细杆的线密度	$λ = \frac{M}{L}$	用于对连续质量分布积分
万有引力常量	$G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdotp m^{2} / kg^{2}$	AP公式表会提供；建议记忆
万有引力的牛顿第三定律	$∣ F_{12} ∣ = ∣ F_{21} ∣$	两个相互作用质量的力大小相等

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
3个质点的力的叠加
2022 · FRQ
均匀细杆产生的万有引力

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Official SyllabusAP 物理 C：力学课程与考试说明官方公式表与学习目标

下一步

万有引力是第7单元万有引力所有剩余考点的基础先修内容。接下来，你将应用万有引力分析轨道运动，将万有引力等同于向心力，推导开普勒行星运动定律，计算轨道速率、周期和能量。如果不能正确计算万有引力的大小和方向，你就无法为轨道建立正确的运动方程，会导致几乎所有第7单元自由作答题出错。万有引力还和之前的考点（包括圆周运动、牛顿定律、功和能）相关，如果你继续学习AP物理C：电磁学，万有引力的平方反比定律也为理解电场力提供了模板。

→行星和卫星的轨道