# 万有引力

> AP 物理 C：力学 · 第7单元：万有引力
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u7-gravitational-forces/

本子主题指南讲解AP物理C力学中万有引力的核心概念，包括牛顿万有引力定律、矢量叠加、引力场关系，以及符合AP考试要求的连续分布质量计算。

**先修:** 多矢量系统的矢量分量相加; 牛顿第二和第三运动定律; 平方反比比例关系

## 学习目标

- 表述并应用牛顿万有引力定律
- 利用矢量叠加计算合万有引力
- 建立万有引力与引力场的联系
- 对连续分布质量产生的万有引力建立并计算积分

## 牛顿万有引力定律

**牛顿万有引力定律** — 描述两个质点或球对称连续质量之间万有引力的大小。万有引力始终为吸引力，且作用于连接两个质量中心的连线上。

*记法:* $F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

*例:* 将两个质量的中心间距加倍，万有引力会减小到原来的1/4。

万有引力始终为吸引力（经典力学中不存在负质量，这一点和静电电荷不同）。根据牛顿第三定律，质量1对质量2的力与质量2对质量1的力大小相等、方向相反。该公式仅直接适用于质点和球对称连续质量；对于非球形质量，我们需要使用叠加原理和积分。

**例题:** 一个10kg的实心铅球和一个50kg的实心铅球，外表面相距10cm，每个球的半径都是7.5cm，求它们之间万有引力的大小是多少？

1. 首先将两个半径加上表面间距，计算中心间距$r$：
2. $$r = 7.5 \text{cm} + 7.5 \text{cm} + 10 \text{cm} = 25 \text{cm} = 0.25 \text{m}$$
3. 整理已知量：$m_1 = 10 \text{kg}$，$m_2 = 50 \text{kg}$，$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{N·m}^2/\text{kg}^2$。
4. 代入牛顿万有引力定律：
5. $$F_g = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(10)(50)}{(0.25)^2} = (6.67 \times 10^{-11})(8000)$$
6. 计算最终大小：
7. $$F_g \approx 5.3 \times 10^{-7} \text{N}$$
8. 根据牛顿第三定律，两个球对彼此的力大小都等于这个值。

> **考试提示:** 做选择题时，利用比例推理（$F_g \propto m_1 m_2 / r^2$）排除错误选项比完整数值计算快得多。

## 万有引力的叠加

万有引力是矢量，因此当试探质量与多个场源质量相互作用时，试探质量受到的合万有引力是每个场源产生的单个力的矢量和。对于AP考题，这个过程遵循四个步骤：

1. 用牛顿万有引力定律计算每个单个力的大小
2. 建立坐标系，将每个力分解为$x$分量和$y$分量
3. 将对应分量相加得到合力分量
4. 如果需要，计算合力的大小和方向

**例题:** 三个质点排列在x轴上：$m_A = 2 \text{kg}$在$x=0$处，$m_B = 4 \text{kg}$在$x=3 \text{m}$处，1kg的试探质量$m$在$x=1 \text{m}$处。求试探质量受到的合万有引力。

1. 设x正方向向右。万有引力始终为吸引力，因此$m_A$将$m$向左拉（负方向），$m_B$将$m$向右拉（正方向）。
2. 计算间距：$r_A = 1 \text{m}$（$m_A$到$m$的距离），$r_B = 2 \text{m}$（$m_B$到$m$的距离）。
3. 计算单个力的大小：
4. $$F_A = G \frac{m_A m}{r_A^2} = G \frac{(2)(1)}{1^2} = 2G, \quad F_B = G \frac{m_B m}{r_B^2} = G \frac{(4)(1)}{2^2} = G$$
5. 分量相加得到合力：
6. $$F_{net,x} = -F_A + F_B = -2G + G = -G = -6.67 \times 10^{-11} \text{N}$$
7. 合力大小为$6.67 \times 10^{-11} \text{N}$，方向向左指向$m_A$。

**例题:** 两个相同的质点$M$固定在x轴的$(-d, 0)$和$(d, 0)$处。第三个质量$m$放在$(0, d)$处。求$m$受到的合万有引力的大小。

1. 计算每个$M$到$m$的距离：
2. $$r = \sqrt{d^2 + d^2} = d\sqrt{2}, \quad r^2 = 2d^2$$
3. 每个$M$对$m$的力大小为$F = \frac{GMm}{2d^2}$。
4. 两个力的x分量抵消（大小相等、方向相反），y分量相加。每个力的y分量为$F \cos(45^\circ)$：
5. $$F_y = \frac{GMm}{2d^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{GMm\sqrt{2}}{4d^2}$$
6. 将两个y分量相加得到合力：
7. $$F_{net} = 2 \cdot \frac{GMm\sqrt{2}}{4d^2} = \frac{\sqrt{2} GMm}{2d^2}$$

> **考试提示:** 叠加分量前一定要画出坐标系并确认每个力的方向；AP出题人会故意设置质量位置来考察吸引力的符号错误。

## 由引力场计算万有引力

**引力场** — 定义为空间中某点处单位质量所受万有引力的矢量场。当合场已知时，这种形式可以简化力的计算。

*记法:* $\vec{g} = \frac{\vec{F}_g}{m}$

*例:* 地球表面附近的引力场近似均匀，大小为$g \approx 9.8 \text{m/s}^2$。

整理定义可得万有引力和引力场的通用关系：$\vec{F}_g = m \vec{g}$，其中$m$是试探物体的质量。我们熟悉的地球近表面重力公式$F_g = mg$只是牛顿万有引力定律的近似，仅在靠近表面的点成立。对于球形质量$M$外部的任意点，引力场大小为$g = \frac{GM}{r^2}$。

**例题:** 空间中某点的合引力场为$\vec{g} = (-1.8 \hat{i} + 4.2 \hat{j}) \text{m/s}^2$。将一个15kg的质量放在该点，求它受到的万有引力以及力的大小。

1. 用关系$\vec{F}_g = m \vec{g}$求力矢量。
2. 将每个分量乘以质量$m = 15 \text{kg}$：
3. $$\vec{F}_g = 15(-1.8 \hat{i} + 4.2 \hat{j}) = (-27 \hat{i} + 63 \hat{j}) \text{N}$$
4. 用勾股定理计算大小：
5. $$|F_g| = \sqrt{(-27)^2 + (63)^2} = \sqrt{4698} \approx 68.5 \text{N}$$

> **考试提示:** 如果题目要求计算行星表面上方较高高度处的力，一定要用$g = GM/r^2$计算，不要使用近表面的9.8 m/s²。

## 连续分布扩展质量

对于非球形的连续质量分布，我们结合叠加原理和积分：将扩展质量分割为无穷小的质量元，求出每个质量元产生的力，然后对整个分布积分得到合力。这是AP物理C力学自由作答题中常见的考点。

**例题:** 一根总质量为$M$、长度为$L$的均匀细杆沿x轴放置，范围从$x=0$到$x=L$。一个质点$m$放在x轴的$x = L + a$处，$a>0$。计算$m$受到的合万有引力，并证明当$a \gg L$时结果退化为质点形式。

1. 均匀细杆的线密度为$\lambda = \frac{M}{L}$。在位置$x$处取一个无穷小段，质量为$dm = \lambda dx = \frac{M}{L}dx$。
2. 该小段到$m$的距离为$(L+a - x)$，因此无穷小力为：
3. $$dF = \frac{G m dm}{(L+a - x)^2} = \frac{GMm dx}{L(L+a - x)^2}$$
4. 对细杆全长积分，然后换元$u = L+a - x$，$du = -dx$：
5. $$F = \frac{GMm}{L} \int_{a}^{L+a} \frac{du}{u^2} = \frac{GMm}{L} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{L+a} \right) = \frac{GMm}{a(L+a)}$$
6. 当$a \gg L$时，$L+a \approx a$，因此$F \approx \frac{GMm}{a^2}$，和质点结果一致。

## 常见错误

- **错误做法:** 在牛顿万有引力定律中使用两个球的表面间距，而非中心间距。
  - 原因: 学生将物体之间可见的间隙与质点近似要求的间距混淆。
  - 正确做法: 一定要将两个球的半径加到表面间隙上，得到公式所需的总$r$。
- **错误做法:** 认为大质量对小质量的万有引力比小质量对大质量的更大。
  - 原因: 学生将力的大小和产生的加速度混淆，错误认为质量越大产生的力越大。
  - 正确做法: 始终遵循牛顿第三定律：无论两个质量大小如何，它们之间相互作用力的大小相等。
- **错误做法:** 给矢量分量分配符号时忘记万有引力始终是吸引力。
  - 原因: 学生将万有引力和静电力混淆（静电力可以是排斥力），导致符号相反。
  - 正确做法: 对于场源质量产生的任意万有引力，试探质量受到的力始终指向场源质量；根据这个规则建立坐标系并分配符号。
- **错误做法:** 不对非球形扩展质量积分，直接应用牛顿质点公式。
  - 原因: 学生记住了球形质量可以当作质点处理，因此错误地将这个结论推广到所有形状。
  - 正确做法: 仅对质点或球对称质量使用质点公式；对于其他形状，使用叠加原理或积分求合力。
- **错误做法:** 在二维叠加问题中直接相加万有引力的大小，而非相加矢量分量。
  - 原因: 当所有力都沿同一直线时，带符号相加大小是可行的，因此学生错误地将这个方法推广到二维问题。
  - 正确做法: 一定要将每个力分解为x分量和y分量，分别相加分量，再计算合力大小。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 牛顿万有引力定律 | $F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ | 适用于质点/球形质量；$r$ = 中心间距 |
| 由引力场计算万有引力 | $\vec{F}_g = m \vec{g}$ | 适用于任意质量分布；$m$ = 试探质量 |
| 地球近表面重力 | $F_g = mg$ | 仅适用于地球表面附近点的近似；$g \approx 9.8 \text{m/s}^2$ |
| 万有引力叠加原理 | $\vec{F}_{net} = \sum_i \vec{F}_i$ | 合力为单个力的矢量和 |
| 球形质量的引力场 | $g = \frac{GM}{r^2}$ | 适用于球形质量$M$外部的任意点 |
| 均匀细杆的线密度 | $\lambda = \frac{M}{L}$ | 用于对连续质量分布积分 |
| 万有引力常量 | $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ | AP公式表会提供；建议记忆 |
| 万有引力的牛顿第三定律 | $\|\vec{F}_{12}\| = \|\vec{F}_{21}\|$ | 两个相互作用质量的力大小相等 |

## 下一步

万有引力是第7单元万有引力所有剩余考点的基础先修内容。接下来，你将应用万有引力分析轨道运动，将万有引力等同于向心力，推导开普勒行星运动定律，计算轨道速率、周期和能量。如果不能正确计算万有引力的大小和方向，你就无法为轨道建立正确的运动方程，会导致几乎所有第7单元自由作答题出错。万有引力还和之前的考点（包括圆周运动、牛顿定律、功和能）相关，如果你继续学习AP物理C：电磁学，万有引力的平方反比定律也为理解电场力提供了模板。

- [行星和卫星的轨道](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u7-orbits-of-planets-and-satellites/)

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