简谐运动

AP 物理 C：力学· AP 物理 C：力学 CED —— 振动· 14 分钟阅读

1. 简谐运动的定义与微分方程★★☆☆☆⏱ 3 min

简谐运动（SHM）是一种周期运动，其回复力与偏离稳定平衡位置的位移成正比，且方向与位移方向相反。简谐运动是最简单的无阻尼振动，占AP 物理 C：力学考试总分的12%-18%，在选择题和自由作答题中均会出现，常与力、能量或转动运动结合考查。

📘 定义

无阻尼简谐运动

$x (t)$ = displacement, $k$ = spring constant, $m$ = mass, $ω$ = angular frequency

具有线性回复力 $F_{net} = - k x$ 的周期运动，振幅保持恒定，无能量损失

例:

水平/竖直弹簧振子系统、小角度单摆

对力的定义应用牛顿第二定律 $F_{net} = ma = m \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$ ，整理后得到标准的简谐运动微分方程：

\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0

对于弹簧振子系统，其中 $ω^{2} = \frac{k}{m}$ 。无论物理系统是什么，任何满足该常微分方程（ODE）的运动都是简谐运动。通解为 $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ ，其中 $A$ 为振幅（最大位移）， $ϕ$ 为相位常数（根据初始条件调整），且 $ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f$ 。

📐 例题

一个质量为2.0 kg的物块放在光滑水平轨道上，连接到劲度系数 $k = 50$ N/m的弹簧上。写出物块运动的微分方程，然后计算 $ω$ 和周期 $T$ 。

1
从净回复力和牛顿第二定律出发：
$F_{\text{net}} = -kx = m \frac{d^2x}{dt^2}$
2
整理为标准简谐运动形式，代入数值：
$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 \implies \frac{d^2x}{dt^2} + 25x = 0$
3
根据定义， $ω^{2} = \frac{k}{m}$ ，因此：
$\omega = \sqrt{25} = 5 \text{ rad/s}$
4
由 $ω$ 计算周期：
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} \approx 1.26 \text{ s}$

Exam tip:

如果题目给出非标准系统（例如两墙之间的物块、漂浮物体），一定要通过牛顿第二定律推导常微分方程来求 $ω$ ，不要靠记忆的标准公式猜测。

2. 简谐运动的运动学与初始条件★★★☆☆⏱ 4 min

得到简谐运动的位置函数后，可通过求导得到速度和加速度。对于标准位置函数 $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ ：

速度（一阶导数）： $v (t) = - A ω sin (ω t + ϕ)$
加速度（二阶导数）： $a (t) = - A ω^{2} cos (ω t + ϕ) = - ω^{2} x (t)$

核心关系：最大速度 $v_{max} = A ω$ ，出现在平衡位置（ $x = 0$ ），此时所有能量都是动能。最大加速度 $a_{max} = A ω^{2}$ ，出现在最大位移处（ $x = \pm A$ ），此时回复力最大。

要得到振幅 $A$ 和相位常数 $ϕ$ ，需使用初始条件（ $x_{0} = x (0), v_{0} = v (0)$ ）。振幅满足 $A^{2} = x_{0}^{2} + (\frac{v _{0}}{ω})^{2}$ ，相位常数满足 $tan ϕ = - \frac{v _{0}}{ω x _{0}}$ 。务必根据 $x_{0}$ 和 $v_{0}$ 的符号检查 $ϕ$ 所在象限。

📐 例题

对于上一题中质量为2.0 kg的物块， $t = 0$ 时的初始条件为 $x_{0} = 0.10$ m， $v_{0} = - 1.0$ m/s， $ω = 5$ rad/s。求 $A$ 和 $ϕ$ ，然后写出完整的位置函数。

1
从初始条件出发： $x_{0} = A cos ϕ = 0.10$ ，且 $v_{0} = - A ω sin ϕ = - 1.0$ ，整理得 $A sin ϕ = 0.20$ 。
2
利用勾股恒等式计算振幅：
$A^2 = (A\cos\phi)^2 + (A\sin\phi)^2 = 0.10^2 + 0.20^2 = 0.05 \implies A \approx 0.22 \text{ m}$
3
计算相位常数： $tan ϕ = 2$ ，两项均为正，因此 $ϕ$ 在第一象限：
$\phi = \arctan(2) \approx 1.11 \text{ rad}$
4
最终位置函数：
$x(t) = 0.22 \cos(5t + 1.11) \text{ m}$

Exam tip:

计算器只能返回第一/第四象限的反正切值，如果 $ϕ$ 在第二/第三象限，你必须手动调整结果才能得到正确值。

3. 无阻尼简谐运动中的能量★★★☆☆⏱ 3 min

对于无阻尼简谐运动，总机械能守恒，能量在物块的动能和回复力的势能之间转换。对于弹簧振子系统， $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ ， $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ 。

代入简谐运动的位置和速度函数，利用 $ω^{2} = \frac{k}{m}$ ，总机械能化简为：

E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2

总能量恒定，与振幅的平方成正比。能量守恒得到的一个非常实用的结论是任意位移处的速度： $v = ω A^{2} - x^{2}$ ，完全不需要计算相位常数。

📐 例题

一个质量为0.5 kg的弹簧振子做简谐运动，振幅为0.4 m，周期为1.0 s。总机械能是多少？位移为0.2 m时的速度是多少？

1
由周期计算角频率：
$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \text{ rad/s}$
2
计算总机械能：
$E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = 0.5(0.5)(2\pi)^2(0.4)^2 \approx 1.58 \text{ J}$
3
使用由能量推导得到的速度公式：
$v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 2\pi\sqrt{0.4^2 - 0.2^2} \approx 2.18 \text{ m/s}$
4
合理性检验：最大速度 $v_{max} = A ω \approx 2.51$ m/s，比我们得到的结果大，符合偏离平衡位置的预期。

Exam tip:

如果题目要求某一位移处的速度，使用能量守恒几乎总是比对位置求导、计算相位项更快，且更不容易出错。

4. AP 风格例题讲解★★★★☆⏱ 4 min

📐 例题

一个质点做简谐运动，位置函数为 $x (t) = 3 cos (2 t - π /4)$ （单位均为国际单位）。质点最大加速度的大小是多少？

(A) 3 m/s² (B) 6 m/s² (C) 12 m/s² (D) 24 m/s²

1
对于任何简谐运动， $a (t) = - ω^{2} x (t)$ ，因此最大加速度的大小为 $a_{max} = ω^{2} A$ 。
2
从位置函数中可得 $A = 3$ m， $ω = 2$ rad/s。
3
代入数值：
$a_{\text{max}} = (2)^2(3) = 12 \text{ m/s}^2$
4
最常见的错误是忘记对 $ω$ 平方，得到错误答案6 m/s²。正确答案是(C)。

📐 例题

一个质量为1.5 kg的物块连接到两个相同的弹簧上，每个弹簧的劲度系数 $k = 30$ N/m。物块位于两个固定墙之间，两端各连接一个弹簧，当物块在 $x = 0$ 位置时，两个弹簧都处于原长。

(a) 证明物块偏离 $x = 0$ 后做简谐运动，并推导角频率。 (b) $t = 0$ 时，将物块拉到 $x = 0.2$ m处由静止释放，写出完整的位置函数。 (c) 计算 $x = 0.1$ m处的总能量和动能。

1
小问(a)：当向右位移 $x$ 时，左侧弹簧向左拉，力为 $- k x$ ，右侧弹簧向左推，力为 $- k x$ 。合力：
$F_{\text{net}} = -2kx = m \frac{d^2x}{dt^2}$
2
整理为标准简谐运动形式，证明是简谐运动：
$\frac{d^2x}{dt^2} + \left(\frac{2k}{m}\right)x = 0$
3
计算 $ω$ ：
$\omega^2 = \frac{2(30)}{1.5} = 40 \implies \omega \approx 6.32 \text{ rad/s}$
4
小问(b)：初始条件 $x (0) = 0.2$ m， $v (0) = 0$ 。 $v (0) = - A ω sin ϕ = 0$ ，因此 $ϕ = 0$ ， $A = 0.2$ m。最终位置函数：
$x(t) = 0.2 \cos\left(\sqrt{40} t\right) \text{ m}$
5
小问(c)：等效劲度系数 $k_{eq} = 60$ N/m。总能量：
$E = \frac{1}{2}k_{\text{eq}} A^2 = 1.2 \text{ J}$
6
由能量守恒计算动能：
$K = E - \frac{1}{2}k_{\text{eq}}x^2 = 1.2 - 0.3 = 0.9 \text{ J}$

📐 例题

汽车悬架可以建模为弹簧振子简谐运动系统。空车质量1200 kg，经过颠簸后振动的角频率 $ω = 2.0$ rad/s。假设劲度系数 $k$ 不变，承载500 kg货物后新的角频率是多少？解释该结果对乘坐体验的影响。

1
对于弹簧振子简谐运动， $ω = \frac{k}{m}$ 。由空车参数求解 $k$ ：
$k = \omega^2 m = (2.0)^2(1200) = 4800 \text{ N/m}$
2
新的总质量 $m_{new} = 1700$ kg。计算新的 $ω$ ：
$\omega_{\text{new}} = \sqrt{\frac{4800}{1700}} \approx 1.7 \text{ rad/s}$
3
角频率更低意味着振动周期更长，因此载货后汽车振动更慢，乘坐体验比空车更平稳舒适。

5. 常见陷阱

错误做法:

即使 $t = 0$ 初始位置不为零，也默认写为 $x (t) = A sin (ω t)$

原因:

学生只记住了从平衡位置出发这一特定情况的正弦形式，忘记了对其他起始位置进行调整

正确做法:

无论起始位置是什么，都从通式 $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ 开始，再根据初始条件求解 $ϕ$

错误做法:

对偏离平衡位置45度的单摆使用 $ω = g / L$

原因:

单摆的简谐运动结论仅适用于小角度情况，此时 $sin θ \approx θ$ ，这是得到简谐运动微分方程的必要条件

正确做法:

对于大角度单摆运动，使用简谐运动公式前，必须先通过牛顿第二定律推导微分方程，确认它符合简谐运动形式

错误做法:

对 $x (t)$ 求导时忘记链式法则，得到 $v (t) = - A sin (ω t + ϕ)$ （遗漏了 $ω$ 因子）

原因:

学生只关注余弦的导数，忘记对自变量中的内层线性项求导

正确做法:

总是明确写出链式法则步骤： $\frac{d}{d t} f (ω t + ϕ) = ω f^{'} (ω t + ϕ)$

错误做法:

竖直弹簧振子系统中，为了考虑重力改变 $ω$

原因:

学生认为重力会改变回复力，因为它移动了平衡位置

正确做法:

要认识到重力只改变竖直弹簧振子的平衡位置；回复力仍然与偏离新平衡位置的位移成正比，因此 $ω = k / m$ 保持不变

错误做法:

对两个并联弹簧使用 $1/ k_{eq} = 1/ k_{1} + 1/ k_{2}$

原因:

学生将弹簧的组合方式和电阻的组合方式混淆

正确做法:

对于并联弹簧（两个弹簧位移相同）， $k_{eq} = k_{1} + k_{2}$ ；对于串联弹簧（两个弹簧受力相同）， $1/ k_{eq} = 1/ k_{1} + 1/ k_{2}$

6. 速查表

类别	公式	说明
Defining SHM ODE	\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0	任何满足该式的运动都是简谐运动，与系统无关
General position solution	x(t) = A \cos(\omega t + \phi)	$A$ = 振幅， $ϕ$ = 相位常数， $ω$ = 角频率
SHM velocity	v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)	最大速度 $v_{max} = A ω$ ，出现在平衡位置 $x = 0$
SHM acceleration	a(t) = -\omega^2 x(t)	最大加速度 $a_{max} = A ω^{2}$ ，出现在 $x = \pm A$
Period-frequency relation	T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}	$T$ = 周期， $f$ = 频率，单位为赫兹（次每秒）
Mass-spring angular frequency	\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{m}}	水平和竖直系统结论相同；重力仅改变平衡位置
Small-angle simple pendulum	\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}	仅在 $θ < 1 0^{\circ}$ （此时 $sin θ \approx θ$ ）成立
Total energy undamped SHM	E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2	总机械能恒定，与 $A^{2}$ 成正比

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

本小节为你介绍了AP 物理 C：力学中所有振动的基础模型，这里用到的微分方程方法也应用于课程中许多其他动态系统。在第6单元振动的下一部分，你会将简谐运动模型推广到包含能量损失和外部驱动力的阻尼与受迫简谐运动。掌握简谐运动的微分方程、运动学和能量关系是解决阻尼运动更复杂的常微分方程、理解常考的共振主题的基础。简谐运动还直接关联匀速圆周运动和能量守恒，这两个核心概念在整个AP考试中都会出现。