弹簧-质量系统与单摆

AP 物理 C：力学· AP 物理 C：力学 CED — 振动· 14 分钟阅读

1. 振动系统核心概述★☆☆☆☆⏱ 2 min

弹簧-质量系统和单摆是做简谐运动（SHM）的两个核心物理实例，也是AP 物理 C：力学 CED第6单元振动的核心内容。该子主题约占AP考试总分的6-8%，经常出现在选择题（MCQ）和自由解答题（FRQ）中，通常结合能量、力或微分方程问题考察。

📘 定义

弹簧-质量系统

由振动质量连接理想无质量弹簧构成的系统，其回复力正比于偏离平衡位置的位移，服从胡克定律。

📘 定义

单摆

由质点连接一端固定的无质量不可伸长细线构成的系统，其重力提供的回复力在小位移下近似服从胡克定律。

掌握此处的核心关系是进一步学习AP 物理 C：力学中所有振动内容的基础。

2. 弹簧振子的角频率与周期★★☆☆☆⏱ 4 min

要求弹簧振子的周期，我们从偏离平衡位置位移的牛顿第二定律出发。任意弹簧-质量系统的回复力都服从胡克定律：

-kx = ma \implies a = -\left(\frac{k}{m}\right)x

根据定义，简谐运动的加速度形式为 $a = - ω^{2} x$ ，其中 $ω$ 是角频率。对比系数可得 $ω = \frac{k}{m}$ ，因此周期：

T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

一个常见的误区是重力对竖直或斜面上弹簧-质量系统的影响：重力给质量施加了一个恒力，它只会改变系统的平衡位置。当我们从这个新的平衡位置开始测量位移时，重力会从回复力中消去，因此无论取向如何， $ω$ 和 $T$ 的公式都保持不变。

📐 例题

一个质量为200g的物块连接在劲度系数 $k = 5.0 N/m$ 的竖直弹簧上。物块静止悬挂时，弹簧从原长伸长39.2cm后达到平衡。求物块小振幅振动的周期是多少？

1
认识到重力仅改变竖直弹簧的平衡位置，不会改变回复力的劲度系数或周期。题目给出的平衡伸长量是计算中的干扰项。
2
将质量转换为国际单位：
$m = 200 \ \text{g} = 0.200 \ \text{kg}$
3
使用弹簧振子周期的标准公式：
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
4
代入数值求解：
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.200}{5.0}} = 2\pi \sqrt{0.04} = 0.4\pi \approx 1.3 \ \text{s}$

Exam tip:

如果题目给出竖直弹簧的平衡伸长量，同时给出质量和劲度系数，那么伸长量几乎一定是周期计算中的干扰项，你只需要 $m$ 和 $k$ 就能求出 $T$ 。

3. 单摆与小角度近似★★★☆☆⏱ 4 min

单摆由固定在一端、长度为 $L$ 的无质量不可伸长细线悬挂质点 $m$ 构成。回复力沿单摆运动轨迹的切线方向，表达式为：

F = -mg\sin\theta

简谐运动要求回复力正比于位移。对于小角度（通常小于约10°），近似式 $sin θ \approx θ$ （ $θ$ 单位为弧度）成立，因此回复力可简化为：

F \approx -mg\theta

偏离平衡位置的弧长位移为 $s = L θ$ ，因此 $θ = \frac{s}{L}$ ，代入后可得：

F = -\left(\frac{mg}{L}\right)s

这符合胡克定律的形式，等效劲度系数为 $k_{eff} = \frac{m g}{L}$ 。使用简谐运动角频率公式 $ω = \frac{k _{eff}}{m}$ 可得 $ω = \frac{g}{L}$ ，因此周期：

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

注意质量在此处消去，因此单摆的周期与摆球质量无关，且（小角度下）与振幅无关。

📐 例题

地球上的单摆（ $g = 9.81 m/s^{2}$ ）测得小振动周期为 $2.0 s$ 。同一单摆在火星表面做小振动，火星重力加速度是地球 $g$ 的38%，求近似周期是多少？

1
写出两个位置小角度单摆的周期公式：
$T_E = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_E}} \quad \text{and} \quad T_M = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_M}}$
2
将 $T_{M}$ 除以 $T_{E}$ 消去常数：
$\frac{T_M}{T_E} = \sqrt{\frac{g_E}{g_M}} = \frac{1}{\sqrt{g_M/g_E}} = \frac{1}{\sqrt{0.38}} \approx 1.62$
3
代入 $T_{E} = 2.0 s$ 得到最终结果：
$T_M = 1.62 \times 2.0 \approx 3.2 \ \text{s}$

Exam tip:

使用 $T = 2 π L / g$ 之前，务必确认题目要求的是小角度振动的周期。对于大角位移，实际周期总是大于小角度近似的预测值。

4. 无阻尼振动系统的能量守恒★★★☆☆⏱ 4 min

对于无阻尼（无摩擦）简谐运动，总机械能守恒。这个关系常用于求解给定位移下的速度，比积分简谐运动微分方程更快。对于弹簧-质量系统，总能量是动能和弹性势能之和：

E = KE + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{constant}

在最大位移处（转向点）， $x = A$ （振幅）且 $v = 0$ ，因此所有能量都是势能： $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ ，由此得到能量守恒关系：

\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2

对于单摆，总能量是动能和重力势能之和。取平衡位置为势能零点，在最大角位移 $θ_{max}$ 处，摆球上升高度 $h = L (1 - cos θ_{max})$ ，因此最大势能等于总能量。

📐 例题

水平光滑面上的弹簧-质量系统满足 $m = 0.50 kg$ ， $k = 200 N/m$ ，振动振幅 $A = 0.10 m$ 。求质量块距离平衡位置0.05m时的速度。

1
利用无阻尼简谐运动的机械能守恒：任意位移处的总能量等于转向点处的最大势能：
$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2$
2
所有项消去公共因子 $\frac{1}{2}$ ，整理求解 $v$ ：
$v = \sqrt{\frac{k(A^2 - x^2)}{m}}$
3
代入数值求解：
$A^2 - x^2 = (0.10)^2 - (0.05)^2 = 0.0075 \ \text{m}^2 \\ v = \sqrt{\frac{200 \times 0.0075}{0.50}} = \sqrt{3} \approx 1.7 \ \text{m/s}$

Exam tip:

当题目要求求解非平衡位置、非转向点位置的速度时，能量守恒几乎总是比直接使用简谐运动位置-速度公式更快，且更不容易出错。

5. 常见陷阱

错误做法:

在竖直弹簧-质量系统的角频率计算中纳入 $g$ ，错误地对重力进行修正

原因:

你可能错误地认为重力会改变回复力，但实际上重力仅改变振子的平衡位置。

正确做法:

从新的平衡位置开始测量所有位移；重力这类恒力会从回复力中消去，因此无论取向如何，都使用 $ω = k / m$ 。

错误做法:

照搬弹簧-质量系统的质量依赖关系，认为单摆周期正比于 $m$

原因:

你没有重新推导关系，直接将弹簧-质量系统的质量依赖套用到单摆上。

正确做法:

记住质量会在单摆周期公式中消去，因此摆长固定时， $T$ 与摆球质量无关。

错误做法:

当 $θ$ 的单位为角度时，应用小角度近似 $sin θ \approx θ$

原因:

小角度近似来自 $sin θ$ 的泰勒展开，仅当 $θ$ 单位为弧度时才成立。

正确做法:

对回复力应用小角度近似前，先将所有角位移转换为弧度。

错误做法:

将能量守恒写为 $\frac{1}{2} m v_{max}^{2} = \frac{1}{2} k A$ ，遗漏了振幅的平方

原因:

你混淆了胡克力 $F = k x$ 和弹性势能 $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ 。

正确做法:

写出能量项后检查单位： $k A$ 的单位是力（N），不是能量（J），因此位移必须带平方。

错误做法:

因为周期和振幅无关，所以认为单摆振幅从2°增加到8°会让周期加倍

原因:

你忘记了振幅无关性只是小角度下 $sin θ \approx θ$ 成立时的近似结论。

正确做法:

认识到振幅无关性仅在小角度下成立；小角度范围内的小幅增加对周期的影响可以忽略，不会成比例变化。

6. 速查表

类别	公式	说明
所有弹簧-质量系统角频率	$ω = \frac{k}{m}$	恒力（重力）仅改变平衡位置，不改变 $ω$ 或周期
弹簧-质量系统周期	$T = 2 π \frac{m}{k}$	适用于所有取向的弹簧-质量简谐运动
单摆（小角度）角频率	$ω = \frac{g}{L}$	小角度近似要求 $θ$ 单位为弧度
单摆（小角度）周期	$T = 2 π \frac{L}{g}$	与摆球质量、振幅无关（仅小角度 $θ$ 下成立）
弹簧-质量简谐运动总能量	$E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$	无阻尼（无摩擦）简谐运动总能量守恒
弹簧-质量简谐运动最大速度	$v_{max} = A ω = A \frac{k}{m}$	出现在平衡位置 $x = 0$ 处
单摆简谐运动总能量	$E = \frac{1}{2} m v^{2} + m g L (1 - cos θ) = m g L (1 - cos θ_{max})$	势能零点定义在平衡位置
无阻尼简谐运动最大动能	$K E_{max} = U_{max}$	对任意振子类型都成立

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
不同行星上的单摆周期
2022 · FRQ
竖直弹簧-质量系统的能量计算

下一步

本主题建立了简单无阻尼振子的核心关系和解题技巧，是整个第6单元振动内容的基础。接下来你将学习阻尼振动和受迫振动，将这些基础关系推广到包含摩擦力和外力驱动的情况，这是AP 物理 C：力学自由解答题的常见考点。如果不掌握此处介绍的弹簧-质量系统和单摆的周期、角频率和能量关系，你就无法正确建立和求解更复杂振动系统的微分方程。本主题还连接了前面单元的力和能量概念，为波动运动做好准备——波动中每个质元都做简谐运动。