# 弹簧-质量系统与单摆

> AP 物理 C：力学 · CED 第6单元：振动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u6-mass-spring-systems-and-simple/

本教程内容包括：弹簧-质量系统的角频率与周期计算、单摆的小角度近似、无阻尼振动中的能量守恒，以及恒力对平衡位置的影响。

**先修:** 胡克定律与牛顿第二定律; 简谐运动的定义; 三角函数的小角度近似

## 学习目标

- 计算任意取向弹簧-质量系统的角频率和周期
- 应用小角度近似求解单摆的周期
- 利用机械能守恒解决无阻尼简谐运动问题
- 解释重力这类恒力对平衡位置和周期的影响

## 振动系统核心概述

弹簧-质量系统和单摆是做简谐运动（SHM）的两个核心物理实例，也是AP 物理 C：力学 CED第6单元振动的核心内容。该子主题约占AP考试总分的6-8%，经常出现在选择题（MCQ）和自由解答题（FRQ）中，通常结合能量、力或微分方程问题考察。

**弹簧-质量系统** — 由振动质量连接理想无质量弹簧构成的系统，其回复力正比于偏离平衡位置的位移，服从胡克定律。

**单摆** — 由质点连接一端固定的无质量不可伸长细线构成的系统，其重力提供的回复力在小位移下近似服从胡克定律。

掌握此处的核心关系是进一步学习AP 物理 C：力学中所有振动内容的基础。

## 弹簧振子的角频率与周期

要求弹簧振子的周期，我们从偏离平衡位置位移的牛顿第二定律出发。任意弹簧-质量系统的回复力都服从胡克定律：

$$-kx = ma \implies a = -\left(\frac{k}{m}\right)x$$

根据定义，简谐运动的加速度形式为$a = -\omega^2 x$，其中$\omega$是角频率。对比系数可得$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$，因此周期：

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

一个常见的误区是重力对竖直或斜面上弹簧-质量系统的影响：重力给质量施加了一个恒力，它只会改变系统的平衡位置。当我们从这个新的平衡位置开始测量位移时，重力会从回复力中消去，因此无论取向如何，$\omega$和$T$的公式都保持不变。

**例题:** 一个质量为200g的物块连接在劲度系数$k=5.0 \ \text{N/m}$的竖直弹簧上。物块静止悬挂时，弹簧从原长伸长39.2cm后达到平衡。求物块小振幅振动的周期是多少？

1. 认识到重力仅改变竖直弹簧的平衡位置，不会改变回复力的劲度系数或周期。题目给出的平衡伸长量是计算中的干扰项。
2. 将质量转换为国际单位：

   $$m = 200 \ \text{g} = 0.200 \ \text{kg}$$
3. 使用弹簧振子周期的标准公式：

   $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
4. 代入数值求解：

   $$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.200}{5.0}} = 2\pi \sqrt{0.04} = 0.4\pi \approx 1.3 \ \text{s}$$

> **考试提示:** 如果题目给出竖直弹簧的平衡伸长量，同时给出质量和劲度系数，那么伸长量几乎一定是周期计算中的干扰项，你只需要$m$和$k$就能求出$T$。

## 单摆与小角度近似

单摆由固定在一端、长度为$L$的无质量不可伸长细线悬挂质点$m$构成。回复力沿单摆运动轨迹的切线方向，表达式为：

$$F = -mg\sin\theta$$

简谐运动要求回复力正比于位移。对于小角度（通常小于约10°），近似式$\sin\theta \approx \theta$（$\theta$单位为弧度）成立，因此回复力可简化为：

$$F \approx -mg\theta$$

偏离平衡位置的弧长位移为$s = L\theta$，因此$\theta = \frac{s}{L}$，代入后可得：

$$F = -\left(\frac{mg}{L}\right)s$$

这符合胡克定律的形式，等效劲度系数为$k_{\text{eff}} = \frac{mg}{L}$。使用简谐运动角频率公式$\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{m}}$可得$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$，因此周期：

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

注意质量在此处消去，因此单摆的周期与摆球质量无关，且（小角度下）与振幅无关。

**例题:** 地球上的单摆（$g = 9.81 \ \text{m/s}^2$）测得小振动周期为$2.0 \ \text{s}$。同一单摆在火星表面做小振动，火星重力加速度是地球$g$的38%，求近似周期是多少？

1. 写出两个位置小角度单摆的周期公式：

   $$T_E = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_E}} \quad \text{and} \quad T_M = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_M}}$$
2. 将$T_M$除以$T_E$消去常数：

   $$\frac{T_M}{T_E} = \sqrt{\frac{g_E}{g_M}} = \frac{1}{\sqrt{g_M/g_E}} = \frac{1}{\sqrt{0.38}} \approx 1.62$$
3. 代入$T_E = 2.0 \ \text{s}$得到最终结果：

   $$T_M = 1.62 \times 2.0 \approx 3.2 \ \text{s}$$

> **考试提示:** 使用$T = 2\pi \sqrt{L/g}$之前，务必确认题目要求的是小角度振动的周期。对于大角位移，实际周期总是大于小角度近似的预测值。

## 无阻尼振动系统的能量守恒

对于无阻尼（无摩擦）简谐运动，总机械能守恒。这个关系常用于求解给定位移下的速度，比积分简谐运动微分方程更快。对于弹簧-质量系统，总能量是动能和弹性势能之和：

$$E = KE + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{constant}$$

在最大位移处（转向点），$x = A$（振幅）且$v=0$，因此所有能量都是势能：$E = \frac{1}{2}kA^2$，由此得到能量守恒关系：

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

对于单摆，总能量是动能和重力势能之和。取平衡位置为势能零点，在最大角位移$\theta_{\text{max}}$处，摆球上升高度$h = L(1-\cos\theta_{\text{max}})$，因此最大势能等于总能量。

**例题:** 水平光滑面上的弹簧-质量系统满足$m = 0.50 \ \text{kg}$，$k = 200 \ \text{N/m}$，振动振幅$A = 0.10 \ \text{m}$。求质量块距离平衡位置0.05m时的速度。

1. 利用无阻尼简谐运动的机械能守恒：任意位移处的总能量等于转向点处的最大势能：

   $$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
2. 所有项消去公共因子$\frac{1}{2}$，整理求解$v$：

   $$v = \sqrt{\frac{k(A^2 - x^2)}{m}}$$
3. 代入数值求解：

   $$A^2 - x^2 = (0.10)^2 - (0.05)^2 = 0.0075 \ \text{m}^2 \\ v = \sqrt{\frac{200 \times 0.0075}{0.50}} = \sqrt{3} \approx 1.7 \ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 当题目要求求解非平衡位置、非转向点位置的速度时，能量守恒几乎总是比直接使用简谐运动位置-速度公式更快，且更不容易出错。

## 常见错误

- **错误做法:** 在竖直弹簧-质量系统的角频率计算中纳入$g$，错误地对重力进行修正
  - 原因: 你可能错误地认为重力会改变回复力，但实际上重力仅改变振子的平衡位置。
  - 正确做法: 从新的平衡位置开始测量所有位移；重力这类恒力会从回复力中消去，因此无论取向如何，都使用$\omega = \sqrt{k/m}$。
- **错误做法:** 照搬弹簧-质量系统的质量依赖关系，认为单摆周期正比于$\sqrt{m}$
  - 原因: 你没有重新推导关系，直接将弹簧-质量系统的质量依赖套用到单摆上。
  - 正确做法: 记住质量会在单摆周期公式中消去，因此摆长固定时，$T$与摆球质量无关。
- **错误做法:** 当$\theta$的单位为角度时，应用小角度近似$\sin\theta \approx \theta$
  - 原因: 小角度近似来自$\sin\theta$的泰勒展开，仅当$\theta$单位为弧度时才成立。
  - 正确做法: 对回复力应用小角度近似前，先将所有角位移转换为弧度。
- **错误做法:** 将能量守恒写为$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2}kA$，遗漏了振幅的平方
  - 原因: 你混淆了胡克力$F=kx$和弹性势能$U=\frac{1}{2}kx^2$。
  - 正确做法: 写出能量项后检查单位：$kA$的单位是力（N），不是能量（J），因此位移必须带平方。
- **错误做法:** 因为周期和振幅无关，所以认为单摆振幅从2°增加到8°会让周期加倍
  - 原因: 你忘记了振幅无关性只是小角度下$\sin\theta \approx \theta$成立时的近似结论。
  - 正确做法: 认识到振幅无关性仅在小角度下成立；小角度范围内的小幅增加对周期的影响可以忽略，不会成比例变化。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 所有弹簧-质量系统角频率 | $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ | 恒力（重力）仅改变平衡位置，不改变$\omega$或周期 |
| 弹簧-质量系统周期 | $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ | 适用于所有取向的弹簧-质量简谐运动 |
| 单摆（小角度）角频率 | $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ | 小角度近似要求$\theta$单位为弧度 |
| 单摆（小角度）周期 | $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ | 与摆球质量、振幅无关（仅小角度$\theta$下成立） |
| 弹簧-质量简谐运动总能量 | $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$ | 无阻尼（无摩擦）简谐运动总能量守恒 |
| 弹簧-质量简谐运动最大速度 | $v_{\text{max}} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}$ | 出现在平衡位置$x=0$处 |
| 单摆简谐运动总能量 | $E = \frac{1}{2}mv^2 + mgL(1-\cos\theta) = mgL(1-\cos\theta_{\text{max}})$ | 势能零点定义在平衡位置 |
| 无阻尼简谐运动最大动能 | $KE_{\text{max}} = U_{\text{max}}$ | 对任意振子类型都成立 |

## 下一步

本主题建立了简单无阻尼振子的核心关系和解题技巧，是整个第6单元振动内容的基础。接下来你将学习阻尼振动和受迫振动，将这些基础关系推广到包含摩擦力和外力驱动的情况，这是AP 物理 C：力学自由解答题的常见考点。如果不掌握此处介绍的弹簧-质量系统和单摆的周期、角频率和能量关系，你就无法正确建立和求解更复杂振动系统的微分方程。本主题还连接了前面单元的力和能量概念，为波动运动做好准备——波动中每个质元都做简谐运动。

- [引力概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u7-overview/)
- [万有引力](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u7-gravitational-forces/)
- [行星和卫星的轨道](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u7-orbits-of-planets-and-satellites/)

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