力矩与转动静力学

AP 物理 C：力学· AP 物理 C：力学课程与考试说明（CED）—— 转动· 14 分钟阅读

1. 力矩的定义与计算★★☆☆☆⏱ 4 min

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📘 定义

力矩

$τ$

衡量力使物体绕给定支点产生转动趋势的矢量，是线性力学中力的转动等价量。

例:

在竖直杆顶部侧向拉拽的力会对杆底部产生力矩。

力矩的通用定义来自位置矢量 $r$ （从支点到力作用点）和作用力 $F$ 的叉乘：

vec{tau} = vec{r} times vec{F}

力矩的大小为 $τ = r F sin θ$ ，其中 $θ$ 是 $r$ 和 $F$ 尾对尾放置时的夹角。利用力臂（力矩臂） $d = r sin θ$ （从支点到力作用线的垂直距离）可得到等价公式，将静力学问题简化为 $τ = F d$ 。AP考试的标准符号约定为：逆时针（CCW）力矩为正，顺时针（CW）力矩为负，与叉乘的右手定则一致。

📐 例题

一根高2.0 m的竖直电线杆底部固定（作为支点），一根缆绳拉动杆顶，拉力大小为500 N，缆绳从杆顶向下延伸到地面，与竖直杆夹角为30°。计算缆绳对杆底部支点的力矩大小和符号。

1
确定位置矢量 $r$ ：从底部（支点）沿杆向上指向杆顶，大小为 $r = 2.0$ m。力矢量 $F$ 沿缆绳向下指向地面，与杆夹角为30°。
2
$r$ 与 $F$ 的夹角为 $18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ ，且 $sin (15 0^{\circ}) = sin (3 0^{\circ}) = 0.5$ 。
3
使用两种方法计算力矩大小进行验证：
$tau = rF\sin\theta = (2.0\ \text{m})(500\ \text{N})(0.5) = 500\ \text{N·m}$
4
使用力臂法计算： $d = r sin (3 0^{\circ}) = 1.0$ m，因此 $τ = F d = 500 N \cdotp m$ ，与第一种结果一致。
5
缆绳使杆绕底部顺时针转动，因此力矩为负：
$tau = -500\ \text{N·m}$

2. 转动静力学的平衡条件★★☆☆☆⏱ 3 min

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刚体完全静止（无任何形式的加速度）时，必须满足两个条件：平动平衡和转动平衡。来自线性静力学的平动平衡要求所有方向的合外力为零：

sum vec{F} = 0 implies sum F_x = 0, quad sum F_y = 0

转动静力学新增的核心条件是：绕任意支点的合外力矩为零：

sum tau = 0

一个关键的解题简化技巧：如果系统处于平动平衡，那么绕任意支点的合外力矩都是相等的。你可以任意选择支点简化计算，最具策略性的选择几乎总是将支点选在未知力的作用点，因为该力的 $r = 0$ ，因此力矩为零，可以直接消去这个未知量。

📐 例题

一根质量为10 kg、长4.0 m的均匀梁左端铰支，右端由一根与水平方向成30°向上拉的绳子拉住保持水平。求绳子的张力。

1
绘制受力图：作用力包括右端的张力 $T$ 、作用在均匀梁中心（距离支点2.0 m）的重力 $m g$ ，以及左端未知的支点作用力。
2
选择左端为支点，因此未知支点作用力的力矩为零，直接将其从计算中消去。
3
标注符号：重力产生顺时针（负）力矩，张力产生逆时针（正）力矩。计算力矩：
$tau_{mg} = -(2.0\ \text{m})(mg)\sin(90^\circ) = -196\ \text{N·m}, quad tau_T = (4.0\ \text{m})(T)\sin(30^\circ) = 2T$
4
令合外力矩为零，求解 $T$ ：
$2T - 196 = 0 implies T = 98\ \text{N}$

3. 复杂静力学系统：斜靠梯子★★★☆☆⏱ 4 min

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AP物理C的转动静力学自由回答题大多涉及含多个未知量的多力系统，需要同时结合力平衡和力矩平衡求解。最常见的例子就是均匀梯子斜靠在无摩擦竖直墙、底部放在粗糙水平地面的问题。

📐 例题

一根质量15 kg、长5.0 m的均匀梯子斜靠在无摩擦竖直墙上，底部距离墙3.0 m，放在粗糙水平地面上。求防止梯子滑动所需的梯子与地面之间的最小静摩擦系数。

1
用勾股定理计算梯子顶端的高度：
$h = sqrt{5^2 - 3^2} = 4.0\ \text{m}$
2
列出所有作用力： $N_{w}$ （墙的法向力，在顶端水平向右）， $N_{f}$ （地面的法向力，在底端竖直向上）， $f_{s}$ （静摩擦力，在底端水平向左）， $m g$ （重力，竖直向下作用在梯子中心，距离底端沿梯子2.5 m）。
3
选择梯子底端为支点，因此 $N_{f}$ 和 $f_{s}$ 的力矩都为零，消去两个未知量。
4
计算力矩（逆时针为正）：
$tau_{N_w} = +N_w h = 4N_w, quad tau_{mg} = -mg (1.5\ \text{m}) = -15(9.8)(1.5) = -220.5\ \text{N·m}$
5
令合外力矩为零，再用力平衡求解剩余未知量：
$4N_w - 220.5 = 0 implies N_w = 55.125\ \text{N} \\ sum F_x = f_s - N_w = 0 implies f_s = 55.125\ \text{N} \\ sum F_y = N_f - mg = 0 implies N_f = 147\ \text{N}$
6
计算最小静摩擦系数：
$mu_s = f_s / N_f = 55.125 / 147 approx 0.38$

4. 练习题范例★★★☆☆⏱ 3 min

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📐 例题

一根长4.0 m的均匀跷跷板中心铰支。一个30 kg的小孩坐在支点左侧1.5 m处，另一个40 kg的小孩坐在支点右侧某处使跷跷板平衡。第二个小孩必须坐在距离支点多远处才能让系统平衡？ (A) 1.125 m (B) 1.25 m (C) 1.5 m (D) 1.875 m

1
跷跷板是均匀的，因此其重力作用在支点，力矩为零。设 $m_{1} = 30 kg$ ， $d_{1} = 1.5 m$ ， $m_{2} = 40 kg$ ， $d_{2}$ 为未知距离。
2
平衡时令合外力矩为零：
$m_1 g d_1 - m_2 g d_2 = 0$
3
两边消去 $g$ ，求解 $d_{2}$ ：
$d_2 = frac{m_1 d_1}{m_2} = frac{30 times 1.5}{40} = 1.125\ \text{m}$
4
正确答案是 (A)。

📐 例题

一根非均匀梁总长3.0 m，总质量12 kg，用两根竖直绳子水平悬挂：一根系在梁左端，另一根系在距离右端0.5 m处。测得左绳张力为50 N。(a) 右绳的张力是多少？(b) 梁的质心距离左端多远？(c) 如果剪断右绳，剪断后瞬间对左端的瞬时力矩是多少？

1
问题(a)：利用竖直方向平动平衡求解 $T_{R}$ ：
$sum F_y = T_L + T_R - mg = 0 \\ T_R = (12 times 9.8) - 50 = 67.6\ \text{N}$
2
问题(b)：选左端为支点，因此 $T_{L}$ 的力矩为零。右绳距离左端 $2.5 m$ ，设 $x$ 为质心到左端的距离。令合外力矩为零：
$T_R (2.5) - mg x = 0 \\ x = frac{67.6 times 2.5}{12 times 9.8} approx 1.44\ \text{m}$
3
问题(c)：剪断后，只有重力对左端产生力矩（支点处张力的力矩为零）：
$tau = -mg x approx -169\ \text{N·m} (169\ \text{N·m clockwise})$

📐 例题

一名建筑工人想要抬起一根长3.6 m的均匀钢制工字钢，梁重1200 N，一端在地面铰支。工人最大拉力为400 N，在自由端垂直于梁拉拽。工人能让梁保持静平衡的最大仰角（与水平方向夹角）是多少？

1
选地面端为支点，消去未知的支点作用力。设 $θ$ 为梁与水平方向的最大夹角。
2
拉力 $T = 400 N$ 垂直于梁，因此拉力的力矩为：
$tau_T = +TL = 400 times 3.6 = 1440\ \text{N·m}$
3
重力作用在梁中心（距离支点1.8 m），重力的力臂为 $1.8 cos θ$ ，因此重力的力矩为：
$tau_{mg} = -1200 times 1.8 \cos\theta = -2160 \cos\theta$
4
令合外力矩为零，求解 $θ$ ：
$1440 - 2160 \cos\theta = 0 implies cos\theta = frac{2}{3} implies theta approx 48^\circ$

5. 常见陷阱

错误做法:

在 $τ = r F sin θ$ 中误用 $cos θ$ 代替 $sin θ$ ，原因是你用了力和杆之间的夹角，并且受分力问题的习惯影响默认用了余弦。

原因:

大多数题目会给出力和杆的夹角，因此学生会混淆力矩公式和线性力分力公式。

正确做法:

始终确认 $sin θ$ 对应力的垂直分量（唯一产生力矩的分量），并对 $r$ 和 $F$ 的夹角使用 $sin θ$ 。

错误做法:

默认选择质心作为支点，导致力矩方程中留下多个无法消去的未知力。

原因:

学生会将质心和所有刚体问题绑定，因此不加策略思考就默认选它。

正确做法:

始终将支点选在最多未知力作用的位置，这样这些力的力矩会直接变为零。

错误做法:

将均匀刚体的重力作用点画在一端，而不是质心。

原因:

学生忘记重力均匀分布在整个刚体上。

正确做法:

对于任何均匀刚体，都将重力标注在物体的几何中点，除非题目明确说明质心在其他位置。

错误做法:

只用力矩平衡求解，忘记使用力平衡来求出所有未知量。

原因:

学生专注于新学的转动条件，忘记静力学系统需要同时满足两种平衡。

正确做法:

对于所有完整的静力学问题，始终写下 $\sum F_{x} = 0$ , $\sum F_{y} = 0$ , and $\sum τ = 0$ 三个方程。

错误做法:

混淆力矩符号，导致未知力的大小为负。

原因:

学生不明确写出符号约定，因此在相加力矩时颠倒了方向。

正确做法:

解题开始时就说明你的符号约定（CCW positive, CW negative），在分配符号前检查每个力产生的力矩转动方向。

6. 速查表

类别	公式	说明
一般力矩矢量	$τ = r \times F$	方向由叉乘的右手定则确定
力矩大小	$τ = r F sin θ = F d$	$θ$ = $r$ 与 $F$ 的夹角； $d$ = 力臂（到力作用线的垂直距离）
平动平衡	$\sum F_{x} = 0, \sum F_{y} = 0$	所有刚体静力学问题都要求满足；x、y方向分别适用
转动平衡	$\sum τ = 0$	静力学系统绕任意支点的合外力矩为零；若满足平动平衡，任意支点都有效
标准力矩符号约定	逆时针=正，顺时针=负	符合AP物理C对垂直纸面向外转轴的约定
均匀刚体的重力	作用在几何中心	对于梁、梯子等，质心在长度中点
无摩擦墙的作用力	完全沿法向（垂直墙面）	无竖直分量；所有竖直支撑都来自地面

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
力矩符号和大小计算
2022 · FRQ
斜靠梯子静平衡问题

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official syllabusAP Physics C: Mechanics CED官方第5单元内容大纲

下一步

本子主题为力矩打下了基础，你将直接把它应用到第5单元转动的下一个主要主题：转动动力学。正如牛顿第二定律将合外力与线加速度联系起来，转动的牛顿第二定律将合外力矩与角加速度联系起来。如果没有扎实掌握如何计算合外力矩、判断力矩方向，你就无法正确建立滚动运动、转动刚体、含质量滑轮的滑轮系统的转动动力学方程。除了第5单元，力矩也是角动量的核心概念，角动量依赖合外力矩与角动量变化的关系，将你从牛顿定律中学到的平衡概念扩展到了转动领域。