# 力矩与转动静力学

> AP 物理 C：力学 · 第5单元：转动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-torque-and-rotational-statics/

本子主题涵盖力矩的定义与计算、符号约定，以及转动静力学的平衡条件。你将学习如何求解AP考试中常见的铰支梁、斜靠梯子和悬挂刚体问题。

**先修:** 牛顿第一定律与平动平衡; 三维矢量的叉乘运算; 刚体质心的基础知识

## 学习目标

- 将力矩定义为力的转动等价量
- 使用叉乘法和力臂法计算力矩
- 应用平衡条件求解刚体静力学问题
- 分析常见静力学系统，如铰支梁和斜靠梯子

## 力矩的定义与计算

**力矩** — 衡量力使物体绕给定支点产生转动趋势的矢量，是线性力学中力的转动等价量。

*记法:* $\vec{\tau}$

*例:* 在竖直杆顶部侧向拉拽的力会对杆底部产生力矩。

力矩的通用定义来自位置矢量$\vec{r}$（从支点到力作用点）和作用力$\vec{F}$的叉乘：

$$vec{tau} = vec{r} times vec{F}$$

力矩的大小为$\tau = rF\sin\theta$，其中$\theta$是$\vec{r}$和$\vec{F}$尾对尾放置时的夹角。利用力臂（力矩臂）$d = r\sin\theta$（从支点到力作用线的垂直距离）可得到等价公式，将静力学问题简化为$\tau = Fd$。AP考试的标准符号约定为：逆时针（CCW）力矩为正，顺时针（CW）力矩为负，与叉乘的右手定则一致。

> **tip**
>
> 计算$\tau$前请务必确认$\theta$的取值：$\theta$是位置矢量和力矢量之间的夹角，不是力和杆之间的夹角。许多学生因误判$\theta$错误地使用了$\cos\theta$而非$\sin\theta$。

**例题:** 一根高2.0 m的竖直电线杆底部固定（作为支点），一根缆绳拉动杆顶，拉力大小为500 N，缆绳从杆顶向下延伸到地面，与竖直杆夹角为30°。计算缆绳对杆底部支点的力矩大小和符号。

1. 确定位置矢量$\vec{r}$：从底部（支点）沿杆向上指向杆顶，大小为$r = 2.0$ m。力矢量$\vec{F}$沿缆绳向下指向地面，与杆夹角为30°。
2. $\vec{r}$与$\vec{F}$的夹角为$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$，且$\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = 0.5$。
3. 使用两种方法计算力矩大小进行验证：

   $$tau = rF\sin\theta = (2.0\ \text{m})(500\ \text{N})(0.5) = 500\ \text{N·m}$$
4. 使用力臂法计算：$d = r\sin(30^\circ) = 1.0$ m，因此$\tau = Fd = 500\ \text{N·m}$，与第一种结果一致。
5. 缆绳使杆绕底部顺时针转动，因此力矩为负：

   $$tau = -500\ \text{N·m}$$

*计算器:* allowed

## 转动静力学的平衡条件

刚体完全静止（无任何形式的加速度）时，必须满足两个条件：平动平衡和转动平衡。来自线性静力学的平动平衡要求所有方向的合外力为零：

$$sum vec{F} = 0 implies sum F_x = 0, quad sum F_y = 0$$

转动静力学新增的核心条件是：绕任意支点的合外力矩为零：

$$sum tau = 0$$

一个关键的解题简化技巧：如果系统处于平动平衡，那么绕任意支点的合外力矩都是相等的。你可以任意选择支点简化计算，最具策略性的选择几乎总是将支点选在未知力的作用点，因为该力的$r=0$，因此力矩为零，可以直接消去这个未知量。

> **tip**
>
> 始终选择支点来消去力矩方程中尽可能多的未知力——这能减少一半工作量，降低代数运算出错的概率。

**例题:** 一根质量为10 kg、长4.0 m的均匀梁左端铰支，右端由一根与水平方向成30°向上拉的绳子拉住保持水平。求绳子的张力。

1. 绘制受力图：作用力包括右端的张力$T$、作用在均匀梁中心（距离支点2.0 m）的重力$mg$，以及左端未知的支点作用力。
2. 选择左端为支点，因此未知支点作用力的力矩为零，直接将其从计算中消去。
3. 标注符号：重力产生顺时针（负）力矩，张力产生逆时针（正）力矩。计算力矩：

   $$tau_{mg} = -(2.0\ \text{m})(mg)\sin(90^\circ) = -196\ \text{N·m}, quad tau_T = (4.0\ \text{m})(T)\sin(30^\circ) = 2T$$
4. 令合外力矩为零，求解$T$：

   $$2T - 196 = 0 implies T = 98\ \text{N}$$

*计算器:* allowed

## 复杂静力学系统：斜靠梯子

AP物理C的转动静力学自由回答题大多涉及含多个未知量的多力系统，需要同时结合力平衡和力矩平衡求解。最常见的例子就是均匀梯子斜靠在无摩擦竖直墙、底部放在粗糙水平地面的问题。

> **tip**
>
> 斜靠梯子问题中请记住：无摩擦墙只能提供垂直于墙面的法向力，无法提供任何竖直方向力，因此所有竖直方向的支撑力都来自地面。

**例题:** 一根质量15 kg、长5.0 m的均匀梯子斜靠在无摩擦竖直墙上，底部距离墙3.0 m，放在粗糙水平地面上。求防止梯子滑动所需的梯子与地面之间的最小静摩擦系数。

1. 用勾股定理计算梯子顶端的高度：

   $$h = sqrt{5^2 - 3^2} = 4.0\ \text{m}$$
2. 列出所有作用力：$N_w$（墙的法向力，在顶端水平向右），$N_f$（地面的法向力，在底端竖直向上），$f_s$（静摩擦力，在底端水平向左），$mg$（重力，竖直向下作用在梯子中心，距离底端沿梯子2.5 m）。
3. 选择梯子底端为支点，因此$N_f$和$f_s$的力矩都为零，消去两个未知量。
4. 计算力矩（逆时针为正）：

   $$tau_{N_w} = +N_w h = 4N_w, quad tau_{mg} = -mg (1.5\ \text{m}) = -15(9.8)(1.5) = -220.5\ \text{N·m}$$
5. 令合外力矩为零，再用力平衡求解剩余未知量：

   $$4N_w - 220.5 = 0 implies N_w = 55.125\ \text{N} \\ sum F_x = f_s - N_w = 0 implies f_s = 55.125\ \text{N} \\ sum F_y = N_f - mg = 0 implies N_f = 147\ \text{N}$$
6. 计算最小静摩擦系数：

   $$mu_s = f_s / N_f = 55.125 / 147 approx 0.38$$

*计算器:* allowed

## 练习题范例

**例题:** 一根长4.0 m的均匀跷跷板中心铰支。一个30 kg的小孩坐在支点左侧1.5 m处，另一个40 kg的小孩坐在支点右侧某处使跷跷板平衡。第二个小孩必须坐在距离支点多远处才能让系统平衡？ (A) 1.125 m (B) 1.25 m (C) 1.5 m (D) 1.875 m

1. 跷跷板是均匀的，因此其重力作用在支点，力矩为零。设$m_1 = 30\ \text{kg}$，$d_1 = 1.5\ \text{m}$，$m_2 = 40\ \text{kg}$，$d_2$为未知距离。
2. 平衡时令合外力矩为零：

   $$m_1 g d_1 - m_2 g d_2 = 0$$
3. 两边消去$g$，求解$d_2$：

   $$d_2 = frac{m_1 d_1}{m_2} = frac{30 times 1.5}{40} = 1.125\ \text{m}$$
4. 正确答案是 (A)。

**例题:** 一根非均匀梁总长3.0 m，总质量12 kg，用两根竖直绳子水平悬挂：一根系在梁左端，另一根系在距离右端0.5 m处。测得左绳张力为50 N。(a) 右绳的张力是多少？(b) 梁的质心距离左端多远？(c) 如果剪断右绳，剪断后瞬间对左端的瞬时力矩是多少？

1. 问题(a)：利用竖直方向平动平衡求解$T_R$：

   $$sum F_y = T_L + T_R - mg = 0 \\ T_R = (12 times 9.8) - 50 = 67.6\ \text{N}$$
2. 问题(b)：选左端为支点，因此$T_L$的力矩为零。右绳距离左端$2.5\ \text{m}$，设$x$为质心到左端的距离。令合外力矩为零：

   $$T_R (2.5) - mg x = 0 \\ x = frac{67.6 times 2.5}{12 times 9.8} approx 1.44\ \text{m}$$
3. 问题(c)：剪断后，只有重力对左端产生力矩（支点处张力的力矩为零）：

   $$tau = -mg x approx -169\ \text{N·m} (169\ \text{N·m clockwise})$$

**例题:** 一名建筑工人想要抬起一根长3.6 m的均匀钢制工字钢，梁重1200 N，一端在地面铰支。工人最大拉力为400 N，在自由端垂直于梁拉拽。工人能让梁保持静平衡的最大仰角（与水平方向夹角）是多少？

1. 选地面端为支点，消去未知的支点作用力。设$\theta$为梁与水平方向的最大夹角。
2. 拉力$T = 400\ \text{N}$垂直于梁，因此拉力的力矩为：

   $$tau_T = +TL = 400 times 3.6 = 1440\ \text{N·m}$$
3. 重力作用在梁中心（距离支点1.8 m），重力的力臂为$1.8 \cos\theta$，因此重力的力矩为：

   $$tau_{mg} = -1200 times 1.8 \cos\theta = -2160 \cos\theta$$
4. 令合外力矩为零，求解$\theta$：

   $$1440 - 2160 \cos\theta = 0 implies cos\theta = frac{2}{3} implies theta approx 48^\circ$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在$\tau = rF\sin\theta$中误用$\cos\theta$代替$\sin\theta$，原因是你用了力和杆之间的夹角，并且受分力问题的习惯影响默认用了余弦。
  - 原因: 大多数题目会给出力和杆的夹角，因此学生会混淆力矩公式和线性力分力公式。
  - 正确做法: 始终确认$\sin\theta$对应力的垂直分量（唯一产生力矩的分量），并对$\vec{r}$和$\vec{F}$的夹角使用$\sin\theta$。
- **错误做法:** 默认选择质心作为支点，导致力矩方程中留下多个无法消去的未知力。
  - 原因: 学生会将质心和所有刚体问题绑定，因此不加策略思考就默认选它。
  - 正确做法: 始终将支点选在最多未知力作用的位置，这样这些力的力矩会直接变为零。
- **错误做法:** 将均匀刚体的重力作用点画在一端，而不是质心。
  - 原因: 学生忘记重力均匀分布在整个刚体上。
  - 正确做法: 对于任何均匀刚体，都将重力标注在物体的几何中点，除非题目明确说明质心在其他位置。
- **错误做法:** 只用力矩平衡求解，忘记使用力平衡来求出所有未知量。
  - 原因: 学生专注于新学的转动条件，忘记静力学系统需要同时满足两种平衡。
  - 正确做法: 对于所有完整的静力学问题，始终写下$\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, and $\sum \tau = 0$三个方程。
- **错误做法:** 混淆力矩符号，导致未知力的大小为负。
  - 原因: 学生不明确写出符号约定，因此在相加力矩时颠倒了方向。
  - 正确做法: 解题开始时就说明你的符号约定（CCW positive, CW negative），在分配符号前检查每个力产生的力矩转动方向。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 一般力矩矢量 | $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ | 方向由叉乘的右手定则确定 |
| 力矩大小 | $\tau = rF\sin\theta = Fd$ | $\theta$ = $\vec{r}$与$\vec{F}$的夹角；$d$ = 力臂（到力作用线的垂直距离） |
| 平动平衡 | $\sum F_x = 0, \sum F_y = 0$ | 所有刚体静力学问题都要求满足；x、y方向分别适用 |
| 转动平衡 | $\sum \tau = 0$ | 静力学系统绕任意支点的合外力矩为零；若满足平动平衡，任意支点都有效 |
| 标准力矩符号约定 | 逆时针=正，顺时针=负 | 符合AP物理C对垂直纸面向外转轴的约定 |
| 均匀刚体的重力 | 作用在几何中心 | 对于梁、梯子等，质心在长度中点 |
| 无摩擦墙的作用力 | 完全沿法向（垂直墙面） | 无竖直分量；所有竖直支撑都来自地面 |

## 下一步

本子主题为力矩打下了基础，你将直接把它应用到第5单元转动的下一个主要主题：转动动力学。正如牛顿第二定律将合外力与线加速度联系起来，转动的牛顿第二定律将合外力矩与角加速度联系起来。如果没有扎实掌握如何计算合外力矩、判断力矩方向，你就无法正确建立滚动运动、转动刚体、含质量滑轮的滑轮系统的转动动力学方程。除了第5单元，力矩也是角动量的核心概念，角动量依赖合外力矩与角动量变化的关系，将你从牛顿定律中学到的平衡概念扩展到了转动领域。

- [转动运动学与动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-rotational-kinematics-and-dynamics/)
- [转动惯量与机械能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-rotational-inertia-and-mechanical-energy/)
- [角动量及其守恒定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-angular-momentum-and-its-conservation/)

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