# 角动量及其守恒定律

> AP 物理 C：力学 · 第5单元 转动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-angular-momentum-and-its-conservation/

本模块讲解AP物理C力学中点粒子和刚体的角动量、力矩与角动量的关系、角冲量、角动量守恒定律，包括其在碰撞问题和转动惯量变化问题中的应用。

**先修:** 转动刚体的力矩; 转动惯量; 线动量及其守恒定律

## 学习目标

- 计算点粒子和转动刚体绕给定转轴的角动量
- 建立合外力矩与总角动量变化率的关系
- 应用角动量定理求解问题
- 运用角动量守恒定律求解碰撞问题和转动惯量变化的问题
- 区分角动量、线动量和动能分别在何时守恒

## 角动量的定义与计算

角动量是线动量的转动对应量，它量化了系统相对于特定转轴保持转动运动的趋势。与线动量不同，角动量的大小取决于你选择的转轴位置。

**角动量（点粒子）** — 对于质量为$m$、速度为$\vec{v}$、相对于转轴位置为$\vec{r}$的点粒子，角动量是叉乘$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$。大小为$L = rmv\sin\theta = r_\perp mv$，其中$r_\perp$是转轴到粒子运动轨迹的垂直距离。

*记法:* \vec{L}

**角动量（刚体）** — 对于绕固定轴转动的刚体，总角动量可简化为$L = I\omega$，其中$I$是转动轴的转动惯量，$\omega$是角速度。对于偏离质心的转轴，请使用平行轴定理$I = I_{CM} + Md^2$。

*记法:* L

**例题:** 一个质量为2.0 kg的粒子以3.0 m/s的速度沿水平线$y = 4.0$ m向$x$正方向运动。求该粒子相对于原点的角动量大小。

1. 对于直线运动，原点到粒子运动轨迹的垂直距离等于轨迹的恒定y坐标，因此$r_\perp = 4.0$ m。
2. 使用点粒子角动量的大小公式：
3. $$L = r_\perp mv$$
4. 代入数值：
5. $$L = (4.0\ \text{m})(2.0\ \text{kg})(3.0\ \text{m/s}) = 24\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$
6. 用叉乘规则验证得到相同结果：$L = rmv\sin\theta = r mv (y/r) = y mv$，与我们的计算结果一致。

> **考试提示:** 计算直线运动粒子的角动量时，始终使用转轴到运动轨迹的垂直距离，而非位置矢量$\vec{r}$的完整模长。

## 力矩-角动量关系与角冲量

转动版牛顿第二定律的一般形式将合外力矩与总角动量的变化率联系起来。这个关系比$\tau = I\alpha$更具通用性，后者仅适用于转动惯量恒定的情况。

**推导:** 推导一般形式的力矩-角动量关系

*起点:* 角动量的定义$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$

1. 对$\vec{L}$求时间导数：
2. $$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times m\vec{v} + \vec{r} \times \frac{d(m\vec{v})}{dt}$$
3. 第一项化简为零，因为矢量与自身的叉乘为零：$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$，因此$\vec{v} \times m\vec{v} = 0$。
4. 第二项利用牛顿第二定律化简：$d(m\vec{v})/dt = \vec{F}_{net}$，因此：
5. $$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}_{net} = \vec{\tau}_{net,ext}$$

*结论:* 关系$\vec{\tau}_{net,ext} = d\vec{L}/dt$适用于所有系统，包括转动惯量变化的系统。

对两边关于时间积分得到角动量定理，该定理指出角动量的总变化量等于总角冲量（合外力矩对时间的积分）：

$$\Delta L = \int_{t_1}^{t_2} \tau_{net,ext} dt$$

**例题:** 从$t=0$到$t=4$ s，一个静止转台受到合外力矩$\tau(t) = 12t - 3t^2$（单位：力矩为N·m，时间为s）。求转台最终的角动量。

1. 根据角动量定理，角动量的变化量等于总角冲量。初始角动量为零，因此最终$L$等于$\tau(t)$从0到4的积分。
2. 逐项积分：
3. $$\int (12t - 3t^2) dt = 6t^2 - t^3 + C$$
4. 计算0到4的定积分：
5. $$L = \left[6(4)^2 - (4)^3\right] - 0 = 96 - 64 = 32\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$
6. 验证单位：N·m·s = (kg·m/s²)·m·s = kg·m²/s，与角动量的单位一致。

> **考试提示:** 当问题涉及转动惯量变化时，始终使用$\tau = dL/dt$而非$\tau = I\alpha$；$\tau = I\alpha$忽略了乘积法则产生的$\omega dI/dt$项，会导致错误结果。

## 角动量守恒定律

根据关系$\tau_{net,ext} = dL/dt$，如果绕给定转轴的合外力矩为零，则$dL/dt = 0$，因此系统的总角动量保持不变。这就是角动量守恒定律，是经典力学三大基本守恒定律之一。

- 守恒仅适用于合外力矩为零的特定转轴。
- 即使线动量不守恒，角动量也可能守恒：对于绕固定转轴的碰撞，转轴会施加外力（因此线动量不守恒），但转轴对自身的力矩为零，因此角动量守恒。
- 角动量守恒不意味着动能守恒：即使角动量恒定，内力也可以对系统做功，改变总动能。

**例题:** 一块质量0.5 kg的粘土以10 m/s的速度水平抛出，粘在一个可绕中心自由转动的静止实心圆盘的外边缘。圆盘质量4.5 kg，半径0.2 m。求碰撞后圆盘的角速度。

1. 圆盘中心的转轴在碰撞过程中施加外力，因此线动量不守恒。转轴的合外力矩为零，因此绕转轴的角动量守恒。
2. 初始角动量仅来自粘土：
3. $$L_i = m v r = (0.5\ \text{kg})(10\ \text{m/s})(0.2\ \text{m}) = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$
4. 计算最终总转动惯量，即圆盘和粘土的转动惯量之和：
5. $$I_{total} = I_{disk} + I_{clay} = \frac{1}{2}MR^2 + mR^2 = 0.5(4.5)(0.2)^2 + 0.5(0.2)^2 = 0.11\ \text{kg·m}^2$$
6. 利用角动量守恒$L_i = I_{total}\omega$，求解$\omega$：
7. $$\omega = \frac{L_i}{I_{total}} = \frac{1}{0.11} \approx 9.1\ \text{rad/s}$$

> **考试提示:** 在解答FRQ中的转动碰撞问题时，务必明确说明绕转轴的合外力矩为零，这样才能在应用角动量守恒时获得全部分数。

## 额外AP风格例题

**例题:** 一位花样滑冰运动员张开手臂，以5 rad/s的角速度旋转，总转动惯量为4 kg·m²。她收回手臂，总转动惯量减小到1 kg·m²。她的转动动能变化了多少倍？

1. 绕滑冰运动员转动轴的合外力矩为零，因此角动量守恒。计算初始角动量：
2. $$L_i = I_1\omega_1 = (4)(5) = 20\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$
3. 角动量守恒给出$L_f = L_i$，因此求解最终角速度：
4. $$\omega_2 = \frac{L_i}{I_2} = \frac{20}{1} = 20\ \text{rad/s}$$
5. 计算初始和最终转动动能：
6. $$KE_i = \frac{1}{2}I_1\omega_1^2 = 0.5(4)(25) = 50\ \text{J}, \quad KE_f = 0.5(1)(20^2) = 200\ \text{J}$$
7. 比值$KE_f/KE_i = 4$，因此动能增加为原来的4倍。

**例题:** 一根质量为$M$、长度为$L$的均匀杆一端铰接，水平静止 held，然后从静止释放。(a) 求杆到达竖直位置时的角速度。(b) 求杆在竖直位置时绕转轴的角动量。(c) 杆在竖直位置时，从转轴端断裂掉1/4长度的片段；断裂过程中没有合外力矩作用。求剩余3/4杆的新角速度。

1. (a) 杆的质心下降了$L/2$，因此势能变化为$-MgL/2$。根据机械能守恒：$\Delta KE = MgL/2 = \frac{1}{2}I\omega^2$。一端铰接的杆的转动惯量为$I = \frac{1}{3}ML^2$。代入得：
2. $$Mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}ML^2\right)\omega^2 \implies \omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$$
3. (b) 利用$L = I\omega$计算角动量：
4. $$L = \left(\frac{1}{3}ML^2\right)\sqrt{\frac{3g}{L}} = ML\sqrt{\frac{gL}{3}}$$
5. (c) 没有合外力矩，因此角动量守恒。剩余杆的质量为$M' = 3M/4$，长度为$L' = 3L/4$。计算绕转轴的新转动惯量：
6. $$I_{new} = \frac{1}{3}M'L'^2 = \frac{1}{3}\left(\frac{3M}{4}\right)\left(\frac{3L}{4}\right)^2 = \frac{9ML^2}{64}$$
7. 令初始角动量等于最终角动量，求解$\omega_{new}$：
8. $$\frac{1}{3}ML^2\sqrt{\frac{3g}{L}} = \frac{9ML^2}{64}\omega_{new} \implies \omega_{new} = \frac{64}{27}\sqrt{\frac{3g}{L}} \approx 2.37\sqrt{\frac{3g}{L}}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将直线运动粒子的角动量计算为$L = rmv$而非$L = r_\perp mv$
  - 原因: 学生混淆了位置矢量的模长和转轴到粒子运动轨迹的垂直距离。
  - 正确做法: 始终画出运动轨迹，测量转轴到该直线的垂直距离，并将该值用作$r_\perp$。
- **错误做法:** 声称绕固定转轴碰撞时线动量守恒
  - 原因: 学生认为角动量守恒时所有守恒定律都自动适用，忘记了线动量守恒要求合外力为零。
  - 正确做法: 明确指出转轴施加了外力，因此该场景下只有绕转轴的角动量守恒。
- **错误做法:** 在转动惯量变化的问题中使用$\tau = I\alpha$
  - 原因: 学生先学习了$\tau = I\alpha$，忘记它只是一般式$\tau = dL/dt$的特殊情况，要求$I$恒定。
  - 正确做法: 当转动惯量随时间变化时，始终使用$\tau = dL/dt$或角动量守恒定律。
- **错误做法:** 假设角动量守恒时转动动能也守恒
  - 原因: 学生习惯上将动量守恒和能量守恒关联起来，忘记内力可以做非零功。
  - 正确做法: 在通过角动量守恒求出$\omega$后，始终重新计算最终动能为$\frac{1}{2}I\omega^2$；仅当题目明确说明是弹性碰撞时才假设动能守恒。
- **错误做法:** 用$L = I_{CM}\omega$计算绕偏心轴转动的刚体的角动量
  - 原因: 学生记住了绕质心转动的$L = I\omega$，忘记需要对不同转动轴调整$I$。
  - 正确做法: 计算$L$之前，使用平行轴定理求出实际固定转动轴的$I$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 点粒子角动量（绕某点） | $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}, \quad L = r_\perp mv$ | $r_\perp$ = 转轴到粒子轨迹的垂直距离 |
| 刚体角动量（固定轴） | $L = I\omega$ | $I$ = 实际转动轴的转动惯量，而非仅质心的转动惯量 |
| 一般转动牛顿第二定律 | $\vec{\tau}_{net,ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ | 适用于转动惯量恒定或变化的情况 |
| 角动量定理 | $\Delta L = \int \tau_{net} dt$ | 将总角冲量与角动量变化联系起来 |
| 角动量守恒定律 | $L_{i,total} = L_{f,total}$ | 当且仅当绕转轴的合外力矩为零时适用 |
| 平行轴定理（求I） | $I = I_{CM} + Md^2$ | 用于求不经过质心的转动轴的I |
| 绕固定转轴碰撞 | $L$ is conserved about the pivot | 转轴施加外力，因此线动量不守恒 |

## 下一步

本模块完成了AP物理C力学第5单元核心主题——转动运动的核心概念框架。掌握角动量守恒对于解决AP考试中常作为全部分值FRQ出现的多步碰撞和转动问题至关重要。接下来，你将把这些概念应用到无滑滚动、滚动碰撞和转动简谐运动，这些都是第5单元剩余的主题。除了第5单元，角动量还是一个基础概念，它会在引力轨道运动中再次出现，解释开普勒行星运动第二定律，它也是物理学所有领域的核心守恒定律。

- [振动概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u6-overview/)
- [简谐运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u6-simple-harmonic-motion/)
- [弹簧-质量系统与单摆](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u6-mass-spring-systems-and-simple/)

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