# 冲量与动量

> AP 物理 C：力学 · 质点系统与线动量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-impulse-and-momentum/

本子主题涵盖质点线动量的定义、冲量动量定理、平均力与变力的冲量计算，以及力-时间图像的解读，是AP考试中碰撞问题的基础。

**先修:** 质点的牛顿第二定律; 函数对时间的定积分; 力-时间图像的解读

## 学习目标

- 定义质点的线动量与冲量
- 陈述并应用冲量动量定理
- 从F-t图像、平均力以及变力函数计算冲量
- 已知冲量，求解单个质点系统的速度变化

## 动量与冲量的核心定义

冲量与线动量是质点和系统运动的核心概念，本子主题约占AP物理C：力学第4单元内容的三分之一，而第4单元占考试总分的14-18%。它在选择题和自由作答题部分都经常出现。

**线动量** — 描述运动质点运动惯性的矢量，方向与物体速度方向一致。

*记法:* $\vec{p}$

*例:* 一个质量2kg、以3 m/s向右运动的物体，动量为 $p = +6 \text{ kg·m/s}$。

冲量（记为$\vec{J}$）是合外力在有限时间间隔内作用产生的动量变化。它描述了力随时间累积改变物体运动的效应。与功（功将力随位移的累积和动能变化关联）不同，冲量将力随时间的累积和动量变化关联，因此非常适合分析碰撞这类短时间相互作用——这类相互作用中力变化快，难以用匀加速运动学建模。动量和冲量的单位都是$\text{kg·m/s}$，等价于$\text{N·s}$。

## 单个质点的冲量动量定理

**推导:** 从牛顿第二定律推导冲量动量定理

*起点:* 动量形式的牛顿第二定律：$\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

1. 整理方程分离变量：
2. $$d\vec{p} = \vec{F}_{net} dt$$
3. 对两边从初始时间$t_i$到末时间$t_f$积分：
4. $$\int_{p_i}^{p_f} d\vec{p} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}_{net} dt$$
5. 左侧化简为总动量变化，右侧被定义为总冲量。

*结论:* 核心冲量动量定理为：$\vec{J} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$

对于变力，冲量等于相互作用起止时间之间$F(t)-t$图像下的带符号面积。由于冲量和动量都是矢量，方向始终重要：与运动方向相反的力会减小动量，与运动方向相同的力会增大动量。

**例题:** 一个质量为2.0kg的物体沿x轴运动，初速度为$v_i = +3.0 \text{ m/s}$。合外力随时间变化分为三个阶段：t=0到t=2 s之间从0 N线性增加到4 N，t=2 s到t=3 s之间恒为4 N，t=3 s到t=5 s之间从4 N线性减小回0 N。求物体的末速度。

1. 1. 总冲量等于$F(t)$图像下的带符号面积；本题中所有力均为正，因此将各段面积相加即可。
2. 2. 计算各段面积：第一段（0–2 s，三角形）：
3. $$A_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \text{ N·s}$$
4. 第二段（2–3 s，矩形）：
5. $$A_2 = 1 \times 4 = 4 \text{ N·s}$$
6. 第三段（3–5 s，三角形）：
7. $$A_3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \text{ N·s}$$
8. 3. 总冲量为各面积之和：$J = 4 + 4 + 4 = 12 \text{ N·s}$。根据冲量动量定理，$J = \Delta p = m(v_f - v_i)$。
9. 4. 求解末速度：
10. $$v_f = v_i + \frac{J}{m} = 3.0 + \frac{12}{2.0} = 9.0 \text{ m/s}$$

> **考试提示:** 计算面积前，一定要在F-t图像上标记力的符号；时间轴下方的任何段都贡献负冲量，会从总动量变化中扣除。

## 平均力与冲量

对于碰撞这类短时间相互作用，我们通常不需要力随时间的完整变化关系，而是使用平均力：即相同时间间隔$\Delta t$内，产生和实际变力相同总冲量（因此也产生相同动量变化）的恒力。

$$\vec{J} = \vec{F}_{avg} \Delta t = \Delta \vec{p}$$

整理后得到碰撞问题中常用的形式：$\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$。这符合牛顿第三定律：对于两个碰撞物体，物体2对物体1的平均力和物体1对物体2的平均力大小相等方向相反，因此它们的冲量也大小相等方向相反。

**例题:** 一个质量0.15kg的棒球水平飞向球棒，速度为35 m/s。被击打后，它沿原直线以45 m/s远离球棒运动。若碰撞持续时间为0.002 s，求球棒对球施加的平均力的大小。

1. 1. 建立坐标系，x轴正方向为远离球棒方向。初速度$v_i = -35 \text{ m/s}$，末速度$v_f = +45 \text{ m/s}$。
2. 2. 计算初动量和末动量：
3. $$p_i = m v_i = (0.15)(-35) = -5.25 \text{ kg·m/s}, \quad p_f = m v_f = (0.15)(45) = 6.75 \text{ kg·m/s}$$
4. 3. 计算动量变化：
5. $$\Delta p = p_f - p_i = 6.75 - (-5.25) = 12 \text{ kg·m/s}$$
6. 4. 求解平均力：
7. $$F_{avg} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{12}{0.002} = 6000 \text{ N}$$

> **考试提示:** 当物体反向运动时，不要去掉初速度的负号。不这么做会让你计算出的动量变化（进而平均力）减半，这是考试中非常常见的错误。

## 基于微积分的变力冲量问题

AP物理C：力学经常考察你利用冲量的定积分定义，计算时间显函数形式的力的冲量的能力。一维运动的公式为：

$$J = \int_{t_1}^{t_2} F_{net}(t) dt = \Delta p$$

对于二维运动，冲量动量定理对每个矢量分量独立成立：你需要分别计算$J_x = \Delta p_x$和$J_y = \Delta p_y$，因为x和y方向的运动分量互不干扰。这是核心的微积分应用，几乎每次AP考试都会出现。

**例题:** 变力$F(t) = 10t^2 - 5t$（单位N，t单位s）从t=0 s到t=2.0 s沿x轴作用在一个质量4.0 kg的静止物体上，物体不受其他力。求t=2.0 s时物体的速率。

1. 1. 物体从静止开始运动，因此初动量$p_i = 0$，即$J = \Delta p = p_f = m v_f$，因此$v_f = \frac{J}{m}$。
2. 2. 列出冲量的定积分表达式：
3. $$J = \int_0^2 (10t^2 - 5t) dt$$
4. 3. 计算积分。原函数为$\frac{10}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2$：
5. $$J = \left(\frac{10}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2\right) - 0 = \frac{80}{3} - 10 = \frac{50}{3} \approx 16.67 \text{ N·s}$$
6. 4. 求解末速率：
7. $$v_f = \frac{50/3}{4.0} \approx 4.17 \text{ m/s}$$

**概念自测**

测试你对F-t图像冲量的理解：

1. 一个质量0.50kg的小车以2.0 m/s向右运动。合外力作用在小车上：0-2 s形成一个总面积为+1 N·s的正三角形，2-4 s形成一个总面积为-1 N·s的负三角形。t=4 s时小车的速率是多少？

   - 0 m/s
   - 2.0 m/s
   - 3.0 m/s
   - 4.0 m/s

   *答案:* 2.0 m/s

   *解析:* 总冲量为+1 - 1 = 0，因此动量没有变化，速率保持2.0 m/s。常见错误是将面积的绝对值相加，得到4 m/s。

> **考试提示:** 如果力函数在不同时间边界处形式变化，将积分拆分为对应每个函数的独立区间，再将结果相加得到总冲量。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算反弹物体的动量变化时，将$v_i$和$v_f$都取正大小，代入$\Delta p = m(v_f - v_i)$计算。
  - 原因: 动量是矢量，反向运动会改变速度的符号，这种错误会让算出的动量变化只有正确值的一半。
  - 正确做法: 开始计算前一定要建立坐标系，根据方向给速度赋予正负符号，再用带符号的速度计算$\Delta p = mv_f - mv_i$。
- **错误做法:** 将冲量错误记为力乘以距离，而非力乘以时间。
  - 原因: 学生容易混淆冲量和功，功是力乘以位移。
  - 正确做法: 在试卷上给每个物理量标注单位：冲量单位是$\text{N·s}$，功的单位是$\text{N·m}$，因此单位不匹配可以立刻发现错误。
- **错误做法:** 计算F-t图像下面积时，将负面积（时间轴下方的力）算作正冲量。
  - 原因: 学生不管力的方向，只计算总面积的绝对值，在图像穿过时间轴时尤其容易犯这个错。
  - 正确做法: 将面积拆分为正区域（轴上方）和负区域（轴下方），正面积相加、负面积相减得到总冲量。
- **错误做法:** 当题目要求物体B对物体A的冲量时，使用物体B的动量变化而非物体A的。
  - 原因: 应用牛顿第三定律时，学生容易混淆冲量作用的物体。
  - 正确做法: 明确写下：作用在X上的冲量等于X的动量变化，再将计算对应到正确的物体上。
- **错误做法:** 只使用施加的外力计算冲量，忽略重力、摩擦力等其他力。
  - 原因: 题目通常只提到施加的外力，导致学生忘记冲量动量定理使用的是合外力。
  - 正确做法: 一定要检查物体是否受其他力，计算冲量前将所有力相加得到合外力。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 线动量 | $\vec{p} = m\vec{v}$ | 矢量，方向与速度一致；单位：$\text{kg·m/s} = \text{N·s}$ |
| 冲量（变力） | $\vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}_{net}(t) dt$ | 等于F-t图像下的带符号面积 |
| 冲量（恒力） | $\vec{J} = \vec{F}_{net} \Delta t$ | 仅适用于合外力在区间内恒定的情况 |
| 平均力 | $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$ | 在$\Delta t$内产生和变力相同冲量的恒力 |
| 冲量动量定理 | $\vec{J} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$ | 对单个质点的每个矢量分量独立成立 |
| 冲量（平均力） | $\vec{J} = \vec{F}_{avg} \Delta t$ | 适用于任何力，无论是变力还是恒力 |
| 二维动量分量 | $J_x = \Delta p_x, \quad J_y = \Delta p_y$ | X和y分量分别计算，互不干扰 |

## 下一步

掌握单个质点的冲量和动量是第4单元剩余内容的绝对前提，第4单元从多质点系统的线动量守恒开始。本主题为你证明孤立系统（无合外力）总动量守恒提供了基础，而动量守恒是解决所有碰撞和相互作用问题的核心工具。如果不能正确计算冲量和动量变化，你将无法分析弹性碰撞和非弹性碰撞、质心运动，或是火箭这类变质量系统，所有这些内容在AP考试中都占很大比重。冲量和动量还和能量守恒相关，你会结合动量和能量分析来解决无法单独用力或能量解决的碰撞问题。

- [质心](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-center-of-mass/)
- [线动量守恒与碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-conservation-of-linear-momentum-and/)
- [第5单元：转动概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-overview/)

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