# 线动量守恒与碰撞

> AP 物理 C：力学 · 第4单元：线动量守恒与碰撞
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-conservation-of-linear-momentum-and/

本子主题为准备AP物理C：力学考试，讲解了线动量守恒的条件、质心运动、一维/二维碰撞分析以及反冲问题的求解方法。

**先修:** [牛顿第三运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-newtons-laws/); [矢量分量合成](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u1-vectors-kinematics/); [质点系统的质心定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-center-of-mass/)

## 学习目标

- 判断系统的线动量何时守恒
- 将碰撞分类为弹性、非弹性和完全非弹性碰撞
- 求解AP物理C中的一维和二维碰撞问题
- 分析孤立系统的质心运动
- 求解反冲和爆炸问题

## 核心原理：线动量守恒

线动量守恒是支配孤立系统中物体间相互作用的基本原理，也是分析碰撞事件的核心工具。该主题在AP物理C力学考试中占总分的14-18%，会在选择题和自由问答题中出现，通常与能量或运动学概念结合考察。

**线动量守恒定律** — 孤立系统（合外力为零）的总线动量不随时间变化，即使内力会改变系统内单个组分的动量。

*记法:* $\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$, $\vec{p}_i = m_i \vec{v}_i$

*例:* 在无摩擦桌面上两个台球的碰撞过程中，动量守恒。

动量守恒的正式条件来自系统形式的牛顿第二定律：

$$\frac{d\vec{P}_{total}}{dt} = \vec{F}_{net,ext}$$

如果 $\vec{F}_{net,ext} = 0$，则总动量恒定，因为根据牛顿第三定律，内力成对出现、大小相等方向相反，相互抵消。一个重要结论是：孤立系统的质心速度始终保持恒定。

**例题:** 一枚质量1000kg的火箭以50m/s的速度水平运动，爆炸后分裂为两块碎片。其中一块400kg的碎片在爆炸后立刻停止。求第二块碎片的速度，以及爆炸后系统质心的速度。

1. 将两块火箭碎片视为研究系统。短时间爆炸过程中水平方向合外力为零，因此水平方向动量守恒。
2. 计算初始总动量：

   $$P_i = M v_i = (1000\ \text{kg})(50\ \text{m/s}) = 50000\ \text{kg·m/s}$$
3. 令末动量等于初动量，求解 $v_2$：

   $$P_f = m_1 v_1 + m_2 v_2 = (400\ \text{kg})(0) + (600\ \text{kg})v_2 = 50000 \\ v_2 = \frac{50000}{600} \approx 83.3\ \text{m/s}$$
4. 根据总末动量计算质心速度：

   $$v_{cm} = \frac{P_f}{M_{total}} = \frac{50000}{1000} = 50\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 写动量守恒方程前一定要明确界定你的系统——这能帮你发现未考虑的合外力，还能在自由问答题中拿到推理分。

## 一维碰撞

一维碰撞（所有运动都沿同一直线）根据碰撞过程中动能是否守恒分类：

- **完全非弹性碰撞**：碰撞后物体粘在一起，以共同的末速度运动。动能转化为热量、形变能或声能损失。
- **非弹性碰撞**：动能损失，但碰撞后物体仍保持分离。
- **弹性碰撞**：动量和动能都守恒（这是理想模型，台球或原子碰撞近似符合）。

对于完全非弹性碰撞，动量守恒方程为：

$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2) v_f$$

对于一维弹性碰撞，两个守恒方程可以整理得到一个简便的相对速度关系，避免解二次方程，在考试中节省时间：

$$v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{1f}$$

**例题:** 一个质量2kg的木块以6m/s向右运动，与一个质量1kg以3m/s向左运动的木块发生正弹性碰撞。求两个木块碰撞后的末速度。

1. 设向右为正方向，因此 $v_{1i} = +6\ \text{m/s}$, $v_{2i} = -3\ \text{m/s}$, $m_1=2\ \text{kg}$, $m_2=1\ \text{kg}$。
2. 写出动量守恒方程：

   $$2(6) + 1(-3) = 2v_{1f} + 1v_{2f} \implies 9 = 2v_{1f} + v_{2f}$$
3. 应用弹性碰撞相对速度关系：

   $$v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{1f} \implies 6 - (-3) = v_{2f} - v_{1f} \implies 9 = v_{2f} - v_{1f}$$
4. 解方程组得到末速度：

   $$0 = 3v_{1f} \implies v_{1f} = 0\ \text{m/s}, \quad v_{2f} = 9\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 记住一维弹性碰撞的相对速度关系——它能帮你节省2-3分钟的代数运算，还能避免解二次方程出错。

## 二维碰撞

对于二维碰撞，动量是矢量，因此x方向和y方向各自满足动量守恒。对于二维弹性碰撞，我们增加一个动能守恒方程来求解未知量。AP考试最常见的题型是运动物体与静止靶标的斜碰。

$$\sum p_{x,i} = \sum p_{x,f}, \quad \sum p_{y,i} = \sum p_{y,f}$$

**例题:** 一个质量0.1kg的台球沿x轴以2m/s运动，与另一个质量相同、静止的台球发生弹性碰撞。碰撞后第一个球沿x轴上方 $30^\circ$ 方向运动。求碰撞后两个球的速度大小。

1. 两个球质量相等 ($m_1 = m_2 = m$)，因此可以从所有方程中消去 $m$。初始动量： $p_{x,i} = 2m$, $p_{y,i} = 0$。
2. 对每个分量写出动量守恒：

   $$x: 2 = v_{1f}\cos 30^\circ + v_{2f}\cos\theta_2 \\ y: 0 = v_{1f}\sin 30^\circ - v_{2f}\sin\theta_2$$
3. 应用弹性碰撞的动能守恒：

   $$4 = v_{1f}^2 + v_{2f}^2$$
4. 将动量方程平方后相加，利用 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ 化简：

   $$4 - 2\sqrt{3}v_{1f} + v_{1f}^2 = v_{2f}^2$$
5. 代入动能守恒得到的 $v_{2f}^2 = 4 - v_{1f}^2$ 求解：

   $$v_{1f} = \sqrt{3} \approx 1.73\ \text{m/s}, \quad v_{2f} = 1\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 二维碰撞一定要把动量分解为x和y分量——绝对不要直接相加动量大小，因为动量是矢量。

## AP风格例题练习

**概念自测**

用这道AP风格选择题测试你的基础理解：

1. 一个5kg的保龄球以4m/s向右运动，撞击一个1kg以1m/s向左运动的球瓶。碰撞后保龄球仍以2m/s向右运动。假设动量守恒，求碰撞后瞬间球瓶的速度大小。

   - 4 m/s
   - 9 m/s
   - 11 m/s
   - 21 m/s

   *解析:* 正确。设向右为正方向，动量守恒得 $5(4) + 1(-1) = 5(2) + 1v_f$，解得 $v_f = 9$ m/s。

**例题:** 一个2kg的木块安装在质量0.5kg、静止的弹道摆上。一颗0.05kg的子弹水平射入木块并留在其中。整个系统向上摆动到最大高度0.2m。求：(a)碰撞后瞬间的速度；(b)子弹的初速度；(c)碰撞过程中损失的动能占比。

1. (a) 碰撞后，系统摆动过程中机械能守恒。设总质量 $M = 2.55$ kg：

   $$\frac{1}{2}M v_f^2 = M g h \\ v_f = \sqrt{2(9.8)(0.2)} \approx 1.98\ \text{m/s}$$
2. (b) 碰撞过程动量守恒，因此求解子弹速度：

   $$m_b v_b = M v_f \\ v_b = \frac{(2.55)(1.98)}{0.05} \approx 101\ \text{m/s}$$
3. (c) 计算动能损失的占比：

   $$KE_i \approx 255\ \text{J}, \quad KE_f \approx 5\ \text{J} \\ \text{Fraction lost} = \frac{KE_i - KE_f}{KE_i} \approx 0.98 = 98\%$$

**例题:** 一门1000kg的大炮停在无摩擦的冰面上，水平发射一枚20kg的炮弹，炮弹相对于地面的速度为250m/s。发射后恒定大小100N的摩擦力使大炮停下。大炮在停下前滑动了多远？

1. 初始总动量为零，因此动量守恒得到反冲速度：

   $$0 = m_c v_c + m_s v_s \\ v_c = -\frac{(20)(250)}{1000} = -5\ \text{m/s}$$
2. 用动能定理求滑动距离：

   $$-f d = 0 - \frac{1}{2}m_c v_c^2 \\ d = \frac{(1000)(25)}{2(100)} = 125\ \text{m}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 一维碰撞中，物体反向运动时忘记给速度加负号。
  - 原因: 学生混淆速度（矢量）和速率（标量），把所有速度都当作正值相加，导致总动量计算错误。
  - 正确做法: 一定要先建立坐标系，在写动量方程前给与正方向相反的速度加上负号。
- **错误做法:** 对完全非弹性碰撞应用动能守恒。
  - 原因: 学习弹性碰撞规则后，学生错误地认为所有碰撞都守恒动能。
  - 正确做法: 只有题目明确说明是弹性碰撞时才用动能守恒；其他碰撞只用动量守恒求解未知量。
- **错误做法:** 对相互作用过程中合外冲量很大的系统也宣称动量守恒。
  - 原因: 学生把‘作用时间很短’的近似过度应用到所有问题中。
  - 正确做法: 只有当外冲量 ($F_{ext}\Delta t$) 远小于系统总动量变化时，才可以近似认为动量守恒。
- **错误做法:** 计算弹性碰撞的末动量时，也把碰撞物体的质量合并。
  - 原因: 学生混淆了完全非弹性碰撞（粘在一起）和弹性碰撞（碰撞后分离）。
  - 正确做法: 只有完全非弹性碰撞后物体粘在一起时，才使用 $(m_1 + m_2)v_f$。
- **错误做法:** 计算质心速度时，对各碎片速度做等权平均，不按质量加权。
  - 原因: 学生混淆平均速度和质心速度。
  - 正确做法: 始终用 $v_{cm} = (m_1 v_1 + m_2 v_2)/M_{total}$ 计算质心速度。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 动量守恒条件 | $\frac{d\vec{P}_{total}}{dt} = \vec{F}_{net,ext} = 0 \implies \vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$ | 只要某方向合外力为零，该方向就满足动量守恒，即使其他方向合外力不为零也成立 |
| 孤立系统的质心速度 | $v_{cm} = \frac{P_{total}}{M_{total}} = \text{constant}$ | 碰撞/爆炸前、过程中、爆炸后都成立 |
| 一维完全非弹性碰撞 | $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2)v_f$ | 碰撞后物体粘在一起；动能不守恒 |
| 一维弹性碰撞 | $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \\ v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{1f}$ | 动量和动能都守恒；相对速度关系避免解二次方程 |
| 二维碰撞动量守恒 | $\sum p_{x,i} = \sum p_{x,f}, \quad \sum p_{y,i} = \sum p_{y,f}$ | 每个分量各自守恒；绝对不要直接相加动量大小 |
| 反冲问题（初始静止） | $0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ | 适用于发射/爆炸前初始静止的系统 |
| 碰撞的动能变化 | $\Delta KE = KE_{final} - KE_{initial}$ | $\Delta KE$ 为负表示能量转化为热量或形变能损失 |

## 下一步

线动量守恒是AP物理C力学几乎所有高级主题的先修知识，首先就是转动运动和角动量，它们共享相同的守恒核心逻辑。接下来你会应用系统动量原理分析滚动运动、含转动的碰撞，以及像火箭推进这样的变质量系统，这会把你在这里学到的守恒框架推广到随时间变化质量的系统。如果不掌握本指南中的分量动量守恒和碰撞分类，求解转动碰撞问题或变质量运动将会很困难，因为所有这些主题都依赖相同的逻辑：隔离系统、区分内力和外力。本主题也为理解相互作用系统中的能量转移打下基础，这在考试中几乎所有自由问答题都会考察。

- [第5单元：转动概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-overview/)
- [力矩与转动静力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-torque-and-rotational-statics/)
- [转动运动学与动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-rotational-kinematics-and-dynamics/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-conservation-of-linear-momentum-and/