质心

AP 物理 C：力学· AP 物理 C：力学 CED — 质点系与线性动量· 14 分钟阅读

1. 质心的核心定义★☆☆☆☆⏱ 3 min

质心（COM，在均匀重力场中常称为重心，是AP考试中常见的同义词）是质点系中一个特殊点，分析平动时可将系统的总质量看作全部集中在该点。根据AP物理C：力学CED，该主题占考试分值的1-4%，会同时出现在选择题和自由解答题部分，几乎总是作为动量、转动或平衡问题的基础步骤。

质心的核心直观含义是，它是粒子位置按质量加权的平均值：质量更大的粒子会将质心拉得离自己更近，而低质量粒子影响很小。和几何中心（仅均匀密度物体的质心才与几何中心重合）不同，质心会考虑系统内不均匀的质量分布。考试中，你通常要么需要计算给定系统的质心位置，要么利用质心运动的性质求解系统部件的未知速度或位移。

2. 离散质点系的质心★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

质心（离散系统）

$r_{C M}, m_{i}, r_{i}, M$

对于 $N$ 个独立质点，质心位置矢量是所有粒子位置按质量加权的平均值： $r_{C M} = \frac{\sum _{i = 1}^{N} m _{i} r _{i}}{M}$ , 其中 $M = \sum_{i = 1}^{N} m_{i}$ 是系统总质量。在直角坐标系中，可分解为 $x_{C M} = \frac{\sum m _{i} x _{i}}{M}, y_{C M} = \frac{\sum m _{i} y _{i}}{M}, z_{C M} = \frac{\sum m _{i} z _{i}}{M}$ 。

例:

对于相距 $d$ 的两个等质量质点，质心位于它们的中点。

简化计算的一个关键策略是，始终选择能消去尽可能多项的坐标系，例如将原点放在其中一个质点上。

📐 例题

三个质点排列在xy平面上：2 kg 位于(0, 0)，1 kg 位于(3, 0)，1 kg 位于(0, 4)。质心到原点的距离是多少？

1
计算系统总质量：
2
$M = 2 + 1 + 1 = 4 \text{ kg}$
3
计算质心的x坐标：
4
$x_{CM} = \frac{(2 \cdot 0) + (1 \cdot 3) + (1 \cdot 0)}{4} = 0.75 \text{ m}$
5
计算质心的y坐标：
6
$y_{CM} = \frac{(2 \cdot 0) + (1 \cdot 0) + (1 \cdot 4)}{4} = 1 \text{ m}$
7
计算到原点的距离：
8
$d = \sqrt{x_{CM}^2 + y_{CM}^2} = \sqrt{0.75^2 + 1^2} = 1.25 \text{ m}$

Exam tip:

如果可能，始终将坐标原点放在其中一个质点上，从而消去求和中的项，减少计时选择题部分常见的计算错误。

3. 连续延展物体的质心★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

对于由连续物质组成的延展物体，我们将对离散粒子的求和替换为对无穷小质量元 $d m$ 的积分，每个质量元的位置为 $r$ 。通用公式变为：

\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm

对于二维问题，直角坐标系下形式为：

x_{CM} = \frac{1}{M} \int x dm, \quad y_{CM} = \frac{1}{M} \int y dm

对于均匀密度物体，密度 $ρ = d m / d V$ 为常数，因此 $ρ$ 会被消去，质心仅由几何形状决定。均匀物体最有用的捷径是对称性：如果物体存在对称轴，质心一定位于该轴上。对于复合物体或带空洞的物体，你可以重复使用离散质心公式：将每个部分看作位于自身质心的质点，或者对空洞使用负质量法（将空洞看作添加到原完整物体上的负质量）。

📐 例题

一个半径为2R的均匀圆形板，切去一个半径为R的圆形空洞，空洞与原圆形板的边缘相切。以原圆形板的中心为原点，求切去后剩余板的质心x坐标是多少？

1
使用负质量法：原完整板的质量与面积 $(2 R)^{2} = 4 R^{2}$ 成正比，质心位于 $x = 0$ 。切去的空洞质量与 $R^{2}$ 成正比，因此我们将其看作质量为 $- M_{f u l l} /4$ 的负质量，质心位于 $x = R$ （空洞中心距离原点R，因为它与原板在 $x = 2 R$ 处的边缘相切）。
2
计算切去后板的总质量：
3
$M = M_{full} - \frac{M_{full}}{4} = \frac{3M_{full}}{4}$
4
代入离散质心公式：
5
$x_{CM} = \frac{M_{full} \cdot 0 + (-M_{full}/4) \cdot R}{3M_{full}/4} = -\frac{R}{3}$
6
负号表示质心位于原点另一侧，距离原点 $\frac{R}{3}$ ，方向与空洞相反。

✓ 快速检测

测试你对对称性和负质量法的理解：

一个密度均匀的甜甜圈（圆环）外半径为 $R$ ，内空洞半径为 $R /2$ ，中心在xy平面原点。甜甜圈的质心到原点的距离是多少？
- $0$
- $\frac{R}{2}$
- $\frac{3 R}{4}$
- $\frac{2 R}{3}$
显示答案
$0$ —
甜甜圈均匀且关于过原点的所有轴对称，因此质心一定位于原点。用负质量法也可以验证：切去的空洞中心也在原点，因此加权求和得到 $x_{C M} = 0$ 。

Exam tip:

对于任何涉及空洞或复合物体的问题，使用负质量法或复合质心法代替从零开始积分，可以在自由解答题中节省2-3分钟，留出更多时间解答更难的多部分问题。

4. 质心的运动★★★☆☆⏱ 3 min

质心分析的一个核心结论是，系统质心的运动等价于：系统全部质量集中在质心，作用在系统上的所有外力都作用在该点。由此得到质心的牛顿第二定律：

M \vec{a}_{CM} = \vec{F}_{net, ext}

其中 $F_{n e t, e x t}$ 是仅外力的矢量和（来自系统边界外物体的力）。对于速度，该关系可写为：

M \vec{v}_{CM} = \sum_{i} m_i \vec{v}_i = \vec{P}_{total}

系统的总动量始终等于总质量乘以质心速度。如果系统不受合外力， $a_{C M} = 0$ ，因此 $v_{C M}$ 是常数。这是孤立系统动量守恒的基础，常用于当一个部件移动时，求解系统其他部件的未知位移。

📐 例题

一个50kg的人站在静止于无摩擦水面上的100kg、长10m的均匀船左端。如果人从船左端走到船右端，船相对于水移动了多远？

1
系统（人+船）不受合外力，且初始静止，因此系统质心必须保持在初始位置不变。
2
设定初始坐标：原点在船左端的初始位置。船初始质心在 $x = 5$ m处，人在 $x = 0$ 处。计算初始质心：
3
$x_{CM,i} = \frac{(50 \cdot 0) + (100 \cdot 5)}{150} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ m}$
4
设 $d$ = 船相对于水的位移。船质心的末位置为 $5 + d$ ，人的末位置为 $10 + d$ 。
5
令末质心等于初始质心，求解 $d$ ：
6
$\frac{50(10 + d) + 100(5 + d)}{150} = \frac{10}{3} \\ d = -\frac{10}{3} \approx -3.33 \text{ m}$
7
负号表示船向左移动约3.33 m，与人行走方向相反。

Exam tip:

永远记住，质心运动仅取决于外力——内力（比如人和船之间的摩擦力）根据牛顿第三定律会相互抵消，永远不会影响质心加速度。

5. 常见陷阱

错误做法:

对复合物体没有使用统一全局坐标系，而是使用每个部件的局部坐标系，没有平移位置。

原因:

学生经常在每个部件自己的坐标系中单独计算质心，然后对这些位置求平均，没有转换到统一参考系中。

正确做法:

解题开始就定义一个全局坐标系，计算总质心之前，先在该全局系统中找到每个部件质心的位置。

错误做法:

假设非均匀物体的几何中心等于质心。

原因:

学生习惯了均匀物体的质心在几何中心，因此将这个结论推广到所有物体。

正确做法:

只有题目明确说明物体密度均匀时，才能将几何中心当作质心；对于非均匀物体，必须对给定的质量分布进行积分。

错误做法:

根据 $F_{n e t, e x t}$ 计算 $a_{C M}$ 时，包含了内力。

原因:

学生混淆了系统部件之间的内部相互作用和系统外的外力。

正确做法:

总是先画出清晰的系统边界，计算合外力时只包含边界外物体的作用力。

错误做法:

计算质心时，忘记将加权和除以总质量。

原因:

学生赶时间，意外计算了未加权的和，或者除以粒子数量而不是总质量。

正确做法:

总是先计算总质量 $M$ ，在计算的每一步都明确写出除以 $M$ 。

错误做法:

假设质心一定在物体内部。

原因:

大多数例子（棒、球、立方体）的质心都在物体内部，因此学生认为这是普遍规律。

正确做法:

对于空心形状或带空洞的物体（例如甜甜圈、马蹄形）要注意；这些物体的质心位于空白区域，这是选择题中常见的陷阱。

6. 速查表

类别	公式	说明
离散系统质心	$r_{C M} = \frac{\sum m _{i} r _{i}}{M}, M = \sum m_{i}$	适用于任意数量的质点，任意坐标系
连续物体质心	$r_{C M} = \frac{1}{M} \int r d m$	所有延展物体（均匀或非均匀）的通用公式
均匀一维棒	$x_{C M} = L /2$	适用于长度为 $L$ 、从 $x = 0$ 到 $x = L$ 的均匀棒
对称性捷径	质心位于所有对称轴上	仅适用于均匀密度物体
负质量法	将空洞看作添加到完整物体上的负质量	比完全积分更节省时间，适合带空洞的问题
总动量关系	$P_{t o t a l} = M v_{C M}$	对所有系统都成立，与内部运动无关
质心牛顿第二定律	$M a_{C M} = F_{n e t, e x t}$	仅外力有贡献；内力相互抵消

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
带空洞圆形板的质心
2022 · FRQ
船上人的质心运动
2021 · MCQ
非均匀棒的质心加速度

深入阅读

syllabus官方 AP 物理 C CED大学理事会官方课程文档

下一步

掌握质心是第4单元（质点系与线性动量）剩余主题以及整个第5单元（转动）的必要先修知识。接下来，你将利用质心性质分析碰撞中的动量守恒，并拓展该概念来求延展转动体的力矩和角动量。如果不能正确找到系统质心，你就无法正确解决涉及多个物体的碰撞问题，也无法分析课程后续的滚动运动或静平衡。质心也是重心概念的基础，而重心是刚体静力学的核心。