# 质心

> AP 物理 C：力学 · 质点系与线性动量
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-center-of-mass/

本子主题涵盖 AP 物理 C：力学考试中质心（COM）的核心定义、离散质点系和连续物体的计算方法、对称性/负质量捷径，以及质心运动相关内容。

**先修:** 矢量位置坐标; 基础单变量积分; 单个物体的牛顿第二定律

## 学习目标

- 定义离散系统和连续系统的质心
- 计算离散系统、连续物体和带空洞形状的质心位置
- 应用质心运动的牛顿第二定律解决问题
- 利用对称性和负质量捷径简化计算

## 质心的核心定义

质心（COM，在均匀重力场中常称为重心，是AP考试中常见的同义词）是质点系中一个特殊点，分析平动时可将系统的总质量看作全部集中在该点。根据AP物理C：力学CED，该主题占考试分值的1-4%，会同时出现在选择题和自由解答题部分，几乎总是作为动量、转动或平衡问题的基础步骤。

质心的核心直观含义是，它是粒子位置按质量加权的平均值：质量更大的粒子会将质心拉得离自己更近，而低质量粒子影响很小。和几何中心（仅均匀密度物体的质心才与几何中心重合）不同，质心会考虑系统内不均匀的质量分布。考试中，你通常要么需要计算给定系统的质心位置，要么利用质心运动的性质求解系统部件的未知速度或位移。

## 离散质点系的质心

**质心（离散系统）** — 对于$N$个独立质点，质心位置矢量是所有粒子位置按质量加权的平均值：$\vec{r}_{CM} = \frac{\sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i}{M}$, 其中$M = \sum_{i=1}^N m_i$是系统总质量。在直角坐标系中，可分解为$x_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{M}, y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{M}, z_{CM} = \frac{\sum m_i z_i}{M}$。

*记法:* $\vec{r}_{CM}, m_i, \vec{r}_i, M$

*例:* 对于相距$d$的两个等质量质点，质心位于它们的中点。

简化计算的一个关键策略是，始终选择能消去尽可能多项的坐标系，例如将原点放在其中一个质点上。

**例题:** 三个质点排列在xy平面上：2 kg 位于(0, 0)，1 kg 位于(3, 0)，1 kg 位于(0, 4)。质心到原点的距离是多少？

1. 计算系统总质量：
2. $$M = 2 + 1 + 1 = 4 \text{ kg}$$
3. 计算质心的x坐标：
4. $$x_{CM} = \frac{(2 \cdot 0) + (1 \cdot 3) + (1 \cdot 0)}{4} = 0.75 \text{ m}$$
5. 计算质心的y坐标：
6. $$y_{CM} = \frac{(2 \cdot 0) + (1 \cdot 0) + (1 \cdot 4)}{4} = 1 \text{ m}$$
7. 计算到原点的距离：
8. $$d = \sqrt{x_{CM}^2 + y_{CM}^2} = \sqrt{0.75^2 + 1^2} = 1.25 \text{ m}$$

> **考试提示:** 如果可能，始终将坐标原点放在其中一个质点上，从而消去求和中的项，减少计时选择题部分常见的计算错误。

## 连续延展物体的质心

对于由连续物质组成的延展物体，我们将对离散粒子的求和替换为对无穷小质量元$dm$的积分，每个质量元的位置为$\vec{r}$。通用公式变为：

$$\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$$

对于二维问题，直角坐标系下形式为：

$$x_{CM} = \frac{1}{M} \int x dm, \quad y_{CM} = \frac{1}{M} \int y dm$$

对于均匀密度物体，密度$\rho = dm/dV$为常数，因此$\rho$会被消去，质心仅由几何形状决定。均匀物体最有用的捷径是对称性：如果物体存在对称轴，质心一定位于该轴上。对于复合物体或带空洞的物体，你可以重复使用离散质心公式：将每个部分看作位于自身质心的质点，或者对空洞使用负质量法（将空洞看作添加到原完整物体上的负质量）。

**例题:** 一个半径为2R的均匀圆形板，切去一个半径为R的圆形空洞，空洞与原圆形板的边缘相切。以原圆形板的中心为原点，求切去后剩余板的质心x坐标是多少？

1. 使用负质量法：原完整板的质量与面积$(2R)^2 = 4R^2$成正比，质心位于$x=0$。切去的空洞质量与$R^2$成正比，因此我们将其看作质量为$-M_{full}/4$的负质量，质心位于$x = R$（空洞中心距离原点R，因为它与原板在$x=2R$处的边缘相切）。
2. 计算切去后板的总质量：
3. $$M = M_{full} - \frac{M_{full}}{4} = \frac{3M_{full}}{4}$$
4. 代入离散质心公式：
5. $$x_{CM} = \frac{M_{full} \cdot 0 + (-M_{full}/4) \cdot R}{3M_{full}/4} = -\frac{R}{3}$$
6. 负号表示质心位于原点另一侧，距离原点$\frac{R}{3}$，方向与空洞相反。

**概念自测**

测试你对对称性和负质量法的理解：

1. 一个密度均匀的甜甜圈（圆环）外半径为$R$，内空洞半径为$R/2$，中心在xy平面原点。甜甜圈的质心到原点的距离是多少？

   - $0$
   - $\frac{R}{2}$
   - $\frac{3R}{4}$
   - $\frac{2R}{3}$

   *解析:* 甜甜圈均匀且关于过原点的所有轴对称，因此质心一定位于原点。用负质量法也可以验证：切去的空洞中心也在原点，因此加权求和得到$x_{CM}=0$。

> **考试提示:** 对于任何涉及空洞或复合物体的问题，使用负质量法或复合质心法代替从零开始积分，可以在自由解答题中节省2-3分钟，留出更多时间解答更难的多部分问题。

*计算器:* allowed

## 质心的运动

质心分析的一个核心结论是，系统质心的运动等价于：系统全部质量集中在质心，作用在系统上的所有外力都作用在该点。由此得到质心的牛顿第二定律：

$$M \vec{a}_{CM} = \vec{F}_{net, ext}$$

其中$\vec{F}_{net, ext}$是仅外力的矢量和（来自系统边界外物体的力）。对于速度，该关系可写为：

$$M \vec{v}_{CM} = \sum_{i} m_i \vec{v}_i = \vec{P}_{total}$$

系统的总动量始终等于总质量乘以质心速度。如果系统不受合外力，$\vec{a}_{CM} = 0$，因此$\vec{v}_{CM}$是常数。这是孤立系统动量守恒的基础，常用于当一个部件移动时，求解系统其他部件的未知位移。

**例题:** 一个50kg的人站在静止于无摩擦水面上的100kg、长10m的均匀船左端。如果人从船左端走到船右端，船相对于水移动了多远？

1. 系统（人+船）不受合外力，且初始静止，因此系统质心必须保持在初始位置不变。
2. 设定初始坐标：原点在船左端的初始位置。船初始质心在$x=5$ m处，人在$x=0$处。计算初始质心：
3. $$x_{CM,i} = \frac{(50 \cdot 0) + (100 \cdot 5)}{150} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ m}$$
4. 设$d$ = 船相对于水的位移。船质心的末位置为$5 + d$，人的末位置为$10 + d$。
5. 令末质心等于初始质心，求解$d$：
6. $$\frac{50(10 + d) + 100(5 + d)}{150} = \frac{10}{3} \\ d = -\frac{10}{3} \approx -3.33 \text{ m}$$
7. 负号表示船向左移动约3.33 m，与人行走方向相反。

> **考试提示:** 永远记住，质心运动仅取决于外力——内力（比如人和船之间的摩擦力）根据牛顿第三定律会相互抵消，永远不会影响质心加速度。

## 常见错误

- **错误做法:** 对复合物体没有使用统一全局坐标系，而是使用每个部件的局部坐标系，没有平移位置。
  - 原因: 学生经常在每个部件自己的坐标系中单独计算质心，然后对这些位置求平均，没有转换到统一参考系中。
  - 正确做法: 解题开始就定义一个全局坐标系，计算总质心之前，先在该全局系统中找到每个部件质心的位置。
- **错误做法:** 假设非均匀物体的几何中心等于质心。
  - 原因: 学生习惯了均匀物体的质心在几何中心，因此将这个结论推广到所有物体。
  - 正确做法: 只有题目明确说明物体密度均匀时，才能将几何中心当作质心；对于非均匀物体，必须对给定的质量分布进行积分。
- **错误做法:** 根据$F_{net,ext}$计算$a_{CM}$时，包含了内力。
  - 原因: 学生混淆了系统部件之间的内部相互作用和系统外的外力。
  - 正确做法: 总是先画出清晰的系统边界，计算合外力时只包含边界外物体的作用力。
- **错误做法:** 计算质心时，忘记将加权和除以总质量。
  - 原因: 学生赶时间，意外计算了未加权的和，或者除以粒子数量而不是总质量。
  - 正确做法: 总是先计算总质量$M$，在计算的每一步都明确写出除以$M$。
- **错误做法:** 假设质心一定在物体内部。
  - 原因: 大多数例子（棒、球、立方体）的质心都在物体内部，因此学生认为这是普遍规律。
  - 正确做法: 对于空心形状或带空洞的物体（例如甜甜圈、马蹄形）要注意；这些物体的质心位于空白区域，这是选择题中常见的陷阱。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 离散系统质心 | $\displaystyle \vec{r}_{CM} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{M}, \quad M = \sum m_i$ | 适用于任意数量的质点，任意坐标系 |
| 连续物体质心 | $\displaystyle \vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$ | 所有延展物体（均匀或非均匀）的通用公式 |
| 均匀一维棒 | $x_{CM} = L/2$ | 适用于长度为$L$、从$x=0$到$x=L$的均匀棒 |
| 对称性捷径 | 质心位于所有对称轴上 | 仅适用于均匀密度物体 |
| 负质量法 | 将空洞看作添加到完整物体上的负质量 | 比完全积分更节省时间，适合带空洞的问题 |
| 总动量关系 | $\vec{P}_{total} = M \vec{v}_{CM}$ | 对所有系统都成立，与内部运动无关 |
| 质心牛顿第二定律 | $M \vec{a}_{CM} = \vec{F}_{net,ext}$ | 仅外力有贡献；内力相互抵消 |

## 下一步

掌握质心是第4单元（质点系与线性动量）剩余主题以及整个第5单元（转动）的必要先修知识。接下来，你将利用质心性质分析碰撞中的动量守恒，并拓展该概念来求延展转动体的力矩和角动量。如果不能正确找到系统质心，你就无法正确解决涉及多个物体的碰撞问题，也无法分析课程后续的滚动运动或静平衡。质心也是重心概念的基础，而重心是刚体静力学的核心。

- [冲量与动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-impulse-and-momentum/)
- [力矩与转动静力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u5-torque-and-rotational-statics/)
- [线动量守恒与碰撞](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-conservation-of-linear-momentum-and/)

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