# 功与功能定理

> AP 物理 C：力学 · 第3单元：功、能与功率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-work-and-the-work-energy/

本模块内容包括恒力和变力做功、功的点积定义、功能定理的推导，以及其在求解刚体速率和动能变化中的应用。

**先修:** [矢量与点积运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u1-vectors/); [牛顿第二运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-newtons-second-law/); 平动动能的定义

## 学习目标

- 计算恒力和变力做的功
- 应用功的点积定义
- 从牛顿第二定律推导功能定理
- 使用功能定理求解动能和速率的变化
- 识别关于功和总功的常见误区

## 力做的功（恒力与变力）

**功** — 功是力在位移上作用引起的能量转移的量度。功的符号表示能量是被加到物体上（正功）还是从物体中移出（负功）。

*记法:* $W$

*例:* 匀速圆周运动中向心力不做功，因为它与位移方向垂直。

对于作用在发生位移 $\Delta\vec{r}$ 的物体上的恒力 $\vec{F}$，功定义为点积：

$$W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = F\Delta r \cos\theta$$

其中 $\theta$ 是力矢量与位移矢量之间的夹角。如果 $\theta < 90^\circ$，功为正（能量增加）；如果 $\theta > 90^\circ$，功为负（能量减少）；如果 $\theta = 90^\circ$，功为零（无能量转移）。

对于随位置变化的变力，我们通过对无穷小位移积分扩展定义。对于沿x轴的一维运动：

$$W = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$$

从几何角度看，该积分等于力-位置曲线与x轴之间的净面积，这是AP考试中常见的考点。

**例题:** 一个质量为5kg的箱子被绳子沿$30^\circ$的斜面向上拉了3m，绳子的拉力为40N，平行于斜面。箱子与斜面之间的动摩擦系数为0.2。求所有力对箱子做的总功。

1. 确定作用在箱子上的所有力：拉力、重力、支持力和动摩擦力。
2. 支持力与位移垂直，因此：
3. $$W_N = 0$$
4. 拉力与位移平行（$\theta=0^\circ$），因此：
5. $$W_T = (40\ \text{N})(3\ \text{m})\cos 0^\circ = 120\ \text{J}$$
6. 重力与位移的夹角为$120^\circ$。动摩擦力大小 $f_k = \mu_k mg\cos 30^\circ \approx 8.49\ \text{N}$，方向与位移相反：
7. $$W_g = mgd\cos 120^\circ = (5)(9.8)(3)(-0.5) = -73.5\ \text{J}$$
8. $$W_f = -f_k d \approx -25.5\ \text{J}$$
9. 将各个力做的功相加得到总功：
10. $$W_{\text{net}} = 120 - 73.5 - 25.5 = 21.0\ \text{J}$$

> **考试提示:** 始终要确认力与位移之间的夹角，而不是题目几何中不相关的角度。沿固定表面运动的物体受到的支持力永远不做功，因此你可以直接将其功记为零。

## 功能定理：推导与表述

功能定理直接由牛顿第二定律推导而来，它给出了物体所受总功与动能变化之间的基本关系。它的优势在于可以用于变力问题，不需要对加速度关于时间积分。

**推导:** 从牛顿第二定律推导一维功能定理

*起点:* 牛顿第二定律: $F_{\text{net}} = ma$

1. 用链式法则改写加速度：
2. $$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx}$$
3. 代入牛顿第二定律：
4. $$F_{\text{net}} = mv\frac{dv}{dx}$$
5. 对两边从初始位置 $x_1$（速度 $v_1$）到末位置 $x_2$（速度 $v_2$）积分：
6. $$\int_{x_1}^{x_2} F_{\text{net}} dx = \int_{v_1}^{v_2} mv\ dv$$

*结论:* 左侧是总功 $W_{\text{net}}$，右侧化简后得到动能变化，因此得到通用定理：

$$W_{\text{net}} = \Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

一个关键点：只有总功（作用在物体上所有力做功的和）等于动能变化。除非只有一个力作用，否则单个力做的功不等于$\Delta KE$。

**例题:** 一个质量为2kg的物块沿x轴运动，受到的总力为 $F(x) = (4x - x^2)\ \text{N}$，其中x单位为米。物块在x=0处由静止开始运动，求它在x=3m处的速率？

1. 应用功能定理：$W_{\text{net}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$。初速度为零，因此 $KE_i = 0$。
2. 通过对变力积分计算总功：
3. $$W_{\text{net}} = \int_0^3 (4x - x^2) dx = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 2(9) - \frac{27}{3} = 9\ \text{J}$$
4. 令其等于末动能，求解$v$：
5. $$9\ \text{J} = \frac{1}{2}(2\ \text{kg})v^2 \implies v^2 = 9 \implies v = 3\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 如果题目要求一个力做功后的速率变化，在令总功等于$\Delta KE$之前，不要忘了加上其他所有力做的功（比如重力或摩擦力）。

## 多个力的总功

当多个力作用在物体上时，有两种等效方法计算总功：你可以分别计算每个力做的功再求和，或者先计算合力再求合力做的功。从数学上，这个等价关系可以写成：

$$W_{\text{net}} = \sum W_i = \left(\sum \vec{F}_i\right) \cdot \Delta\vec{r} = W_{\vec{F}_{\text{net}}}$$

AP考试常考的特殊情况：滑动物体受到的动摩擦力做功永远为负（摩擦力与位移方向相反），任何与位移垂直的力做功永远为零，且如果物体匀速运动，合力为零，因此总功为零。

**例题:** 一个人以恒定速度将一个10kg的木箱沿水平地面推动了4m。推力大小为50N，平行于地面。求摩擦力做的功，以及木箱受到的总功。

1. 匀速意味着加速度为零，因此根据牛顿第二定律，木箱受到的合力为零。
2. 计算推力做的功；重力和支持力与位移垂直，因此它们做功为零：
3. $$W_{\text{push}} = Fd\cos 0^\circ = (50)(4) = 200\ \text{J}$$
4. $$W_g = W_N = 0$$
5. 根据功能定理，匀速意味着$\Delta KE = 0$，因此总功一定为零：
6. $$W_{\text{net}} = 0$$
7. 通过做功之和求解摩擦力做的功：
8. $$W_{\text{net}} = 200 + W_f = 0 \implies W_f = -200\ \text{J}$$

> **考试提示:** 如果物体匀速运动，你可以根据功能定理直接得出总功为零，这对于求解未知力做功的题目来说是一个极大的捷径。

## 考试风格应用例题

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你的概念理解：

1. 一个物块沿有动摩擦的弯曲斜面滑下。以下哪个选项正确描述了重力做功与重力势能变化的关系，以及总功与动能变化的关系？

   - 重力做功等于重力势能变化，总功等于动能变化
   - 重力做功等于重力势能变化的负值，总功等于动能变化
   - 重力做功等于重力势能变化的负值，总功等于动能变化的负值
   - 重力做功等于重力势能变化，总功等于动能变化的负值

   *答案:* 重力做功等于重力势能变化的负值，总功等于动能变化

   *解析:* 功能定理始终成立：总功等于动能变化。根据定义，$\Delta U_g = -W_g$，因此重力做功等于重力势能变化的负值。

**例题:** 一个质量为0.5kg的玩具车沿水平轨道被变力推动，推力为 $F(x) = 2e^{-0.5x}$ N，其中x是距离起点的位置，单位为米。小车受到恒定动摩擦力0.3N。小车在x=0处由静止开始运动。(a) 求小车到达x=2m时变力做的总功。(b) 使用功能定理求小车在x=2m处的速率。(c) 小车出发后在哪个位置x达到最大速率？解释你的推理。

1. (a)问：变力做的功是$F(x)$对位移的积分：
2. $$W_F = \int_0^2 2e^{-0.5x} dx = 2\left[-2e^{-0.5x}\right]_0^2 = -4\left(e^{-1} - e^0\right) = 4\left(1 - \frac{1}{e}\right) \approx 2.53\ \text{J}$$
3. (b)问：计算摩擦力做的功，求出总功，然后应用功能定理：
4. $$W_f = -f d = -(0.3\ \text{N})(2\ \text{m}) = -0.6\ \text{J}$$
5. $$W_{\text{net}} = 2.53 - 0.6 = 1.93\ \text{J}$$
6. $$W_{\text{net}} = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{\frac{2W_{\text{net}}}{m}} = \sqrt{\frac{2(1.93)}{0.5}} \approx 2.78\ \text{m/s}$$
7. (c)问：速率最大时加速度为零，也就是合力为零。令推力等于摩擦力：
8. $$2e^{-0.5x} = 0.3 \implies e^{-0.5x} = 0.15 \implies -0.5x = \ln(0.15) \approx -1.90 \implies x \approx 3.80\ \text{m}$$
9. 在该位置之前，合力为正，速率增加；在该位置之后，合力为负，速率减小，因此最大速率出现在该位置。

**例题:** 一辆质量为1500kg的电动车在水平路面上从静止加速到25m/s。空气阻力和滚动摩擦的合力在整个300m位移中恒定为400N。求汽车发动机为实现该加速做的总功是多少？

1. 应用功能定理：总功等于动能变化。总功是发动机做功和摩擦力做功之和：
2. $$W_{\text{engine}} + W_{\text{friction}} = \Delta KE$$
3. 计算摩擦力做功和动能变化：
4. $$W_{\text{friction}} = -fd = -(400\ \text{N})(300\ \text{m}) = -120000\ \text{J}$$
5. $$\Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0 = 0.5(1500\ \text{kg})(25\ \text{m/s})^2 = 468750\ \text{J}$$
6. 求解发动机做的功：
7. $$W_{\text{engine}} = \Delta KE - W_{\text{friction}} = 468750 + 120000 = 588750\ \text{J} \approx 589\ \text{kJ}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 当力不与位移平行时，仍用$W = Fd$计算功，忽略了$\cos\theta$项。
  - 原因: 学生记住了平行时的简化形式，忘记了通用的点积定义。
  - 正确做法: 代入数值前，始终明确写出$W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}$，并确定力与位移之间的夹角。
- **错误做法:** 将单个力做的功而不是总功等于$\Delta KE$。
  - 原因: 题目通常会突出一个力（比如拉力或推力），导致学生忘记其他力也对总功有贡献。
  - 正确做法: 应用$W_{net} = \Delta KE$之前，列出物体受到的所有力，确认你包含了每个力做的功。
- **错误做法:** 计算力-时间图像下的面积来求功。
  - 原因: 学生混淆了功（力-位置图像下的面积）和冲量（力-时间图像下的面积）。
  - 正确做法: 计算面积前先确认坐标轴标签；F-x图像下的面积是功，F-t图像下的面积是冲量。
- **错误做法:** 正确算出摩擦力大小后，得出滑动物体受到的动摩擦力做功为正。
  - 原因: 学生忘记摩擦力方向与位移相反。
  - 正确做法: 对于任何滑动位移，动摩擦力做功永远为负，因此算出大小后明确加上负号。
- **错误做法:** 将动能分解为x和y分量来计算$\Delta KE$。
  - 原因: 习惯了对速度分解矢量分量的学生错误地将这个方法推广到动能。
  - 正确做法: 直接计算初速度和末速度的大小，然后直接计算$\frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$；动能是标量，不能分解分量。
- **错误做法:** 对变力关于时间而不是位置积分来求功。
  - 原因: 学生从运动学问题中养成了默认对时间积分的习惯。
  - 正确做法: 功是力对位移的积分，因此计算变力做功时始终建立关于位置的积分。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 恒力做功 | $W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = F\Delta r \cos\theta$ | $\theta$ = 力与位移的夹角；适用于刚体 |
| 一维变力做功 | $W = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$ | 等于力-位置图像下的净面积 |
| 三维变力做功 | $W = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ | 适用于任意路径和任意力的通用形式 |
| 多个力的总功 | $W_{\text{net}} = \sum W_i = W_{F_{\text{net}}}$ | 对每个力做功求和或计算合力做功，结果相同 |
| 功能定理 | $W_{\text{net}} = \Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$ | 适用于平动动能；需要所有力的总功 |
| 支持力做功 | $W_N = 0$ | 对于沿固定表面运动的物体，支持力与位移垂直 |
| 动摩擦力做功 | $W_f = -f_k d$ | $d$ = 运动路程；滑动运动中永远为负 |
| 平均功率 | $P_{\text{avg}} = \frac{W}{\Delta t}$ | 一段时间内做功的平均速率 |

## 下一步

本主题是AP物理C力学中所有基于能量解题的基础框架。接下来，你将把功能关系扩展到区分保守力和非保守力的贡献，进而得到机械能守恒定律，这是本课程中应用最广泛的解题工具之一。如果不能正确理解如何计算总功和应用功能定理，你就无法正确建立和求解包含摩擦力等非保守力做功的能量守恒问题。本主题也为瞬时功率和平均功率的计算，以及后续转动单元中转动功和转动动能的学习奠定了基础。

- [能量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-conservation-of-energy/)
- [力与势能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-forces-and-potential-energy/)
- [功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-power/)

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