能量守恒

AP 物理 C：力学· AP Physics C: Mechanics CED — Work, Energy, and Power· 14 分钟阅读

1. 保守力与非保守力★★☆☆☆⏱ 3 min

保守力的核心性质是路径无关性：它在两点间移动物体时做的功只与起点和终点位置有关，与经过的路径无关。等价地说，保守力沿任意闭合路径做的功为零。这个性质允许我们为任意保守力定义唯一的势能函数 $U$ 。

📘 定义

保守力

$W_{c} = - Δ U$

做功只与两个端点有关，与路径无关，因此可以定义势能函数的力。

例:

重力、弹性弹簧力、万有引力

📘 定义

非保守力

做功与路径有关，因此无法定义势能函数的力。大多数非保守力会将机械能耗散为内能（热量）。

例:

动摩擦、空气阻力、外力施加的力

📐 例题

一个质量为2kg的物块沿30°斜面上的两条不同路径从A点滑到B点：路径1是长5m的直线路径，路径2是连接相同两个端点、长12m的曲线路径。物块与斜面间的动摩擦因数均为0.2。分别计算重力和摩擦力沿两条路径做的功，并验证两种力的分类。

1
首先，A和B之间的竖直高度差对两条路径是相同的，计算得：
$\Delta h = 5 \sin 30^\circ = 2.5 \text{ m}$
2
重力（保守力）做功只和高度变化有关，因此两条路径的重力做功相同：
$W_g = mg\Delta h = (2 \text{ kg})(9.8 \text{ m/s}^2)(2.5 \text{ m}) = 49 \text{ J}$
3
摩擦力做功与路径长度有关，且因为摩擦力与运动方向相反，做功始终为负。斜面上的支持力为 $N = m g cos 3 0^{\circ} \approx 17 N$ ，因此：
$W_f = -\mu_k N d = -\mu_k mg \cos 30^\circ d$
4
对于路径1（ $d = 5$ m）：
$W_f = -0.2(17 \text{ N})(5 \text{ m}) = -17 \text{ J}$
5
对于路径2（ $d = 12$ m）：
$W_f = -0.2(17 \text{ N})(12 \text{ m}) = -40.8 \text{ J}$
6
摩擦力在更长路径上做更多功，这验证了它是非保守力，符合我们的定义。

2. 通用能量守恒方程★★☆☆☆⏱ 4 min

能量守恒方程直接由动能定理推导而来，动能定理指出：系统的总功等于动能的变化量： $W_{t o t a l} = Δ K$ 。我们将总功拆分为保守力做功和非保守力做功： $W_{c} + W_{n c} = Δ K$ 。代入 $W_{c} = - Δ U$ （来自势能的定义），就得到适用于任意系统的通用方程：

W_{nc} = \Delta K + \Delta U = (K_f + U_f) - (K_i + U_i) = \Delta E_{mech}

这是AP问题中最常用的形式：所有非保守力做的总功等于系统总机械能的变化量（ $E_{m ec h} = K + U$ ）。对于没有非保守力做功的孤立（封闭）系统， $W_{n c} = 0$ ，因此机械能守恒：

K_i + U_i = K_f + U_f

当存在摩擦这类耗散力时， $W_{n c}$ 为负，因此 $Δ E_{m ec h}$ 为负。机械能转化为内能（热量），但总能量（包括内能）仍然守恒： $K + U + E_{in t} = constant$ 。

📐 例题

一个质量为0.5kg的物块被压在水平弹簧上，弹簧劲度系数 $k = 400 N / m$ ，被从平衡位置压缩了0.1m。物块由静止释放，沿水平表面滑动，动摩擦因数为 $μ_{k} = 0.3$ 。求物块从弹簧平衡位置（释放点）到静止前滑动的距离。

1
将系统定义为物块+弹簧+地球。重力势能恒定，因此可以抵消。初始状态（弹簧压缩，物块静止）：
$K_i = 0, \quad U_i = \frac{1}{2}kx^2 = 0.5(400)(0.1)^2 = 2 \text{ J}$
2
末状态（物块静止，弹簧回到平衡位置）：
$K_f = 0, \quad U_f = 0$
3
非保守力摩擦力做的功为负，等于：
$W_{nc} = -f_k d = -\mu_k mg d$
4
代入通用能量方程：
$-\mu_k mg d = (0 + 0) - (0 + 2 \text{ J}) = -2 \text{ J}$
5
求解未知距离 $d$ ：
$d = \frac{2 \text{ J}}{\mu_k mg} = \frac{2}{(0.3)(0.5)(9.8)} \approx 1.36 \text{ m}$

3. 能量图与平衡分类★★★☆☆⏱ 4 min

对于一维运动中势能函数 $U (x)$ 已知、总能量恒定的孤立系统物体，能量图以位置 $x$ 为横轴绘制 $U (x)$ ，并用水平线标出恒定的总能量 $E_{t o t}$ 。你可以不用解微分方程就能分析运动。力和势能的关系为：

F(x) = -\frac{dU}{dx}

物体受到的力等于 $U (x)$ 图像斜率的负值。平衡发生在 $F (x) = 0$ 时，因此 $U (x)$ 的斜率为零（ $\frac{d U}{d x} = 0$ ）。平衡根据 $U (x)$ 的曲率（二阶导数）分类：

稳定平衡： $U (x)$ 的局部最小值， $\frac{d ^{2} U}{d x ^{2}} > 0$ 。位移后会产生回复力，将物体拉回平衡点。
不稳定平衡： $U (x)$ 的局部最大值， $\frac{d ^{2} U}{d x ^{2}} < 0$ 。位移后会产生力将物体推得离平衡点更远。
随遇平衡： $U (x)$ 为水平直线， $\frac{d ^{2} U}{d x ^{2}} = 0$ 。物体位移后不受力。

运动的转折点出现在 $E_{t o t} = U (x)$ 处，因为动能 $K = E_{t o t} - U (x) = 0$ ，物体在此处停止并反向运动。任何 $U (x) > E_{t o t}$ 的区域都是不可到达的，因为动能不可能为负。

📐 例题

一个沿x轴运动的1kg物体的势能为 $U (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ，其中 $U$ 单位为焦耳， $x$ 单位为米。物体总能量为2J。找出所有平衡位置，对它们的稳定性分类，并求出运动的转折点。

1
令 $F = - \frac{d U}{d x} = 0$ ，即 $\frac{d U}{d x} = 0$ ，即可求出平衡位置：
$\frac{dU}{dx} = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) = 0$
2
平衡位置为 $x = 0 m$ 和 $x = 2 m$ 。用二阶导数对稳定性分类：
$\frac{d^2U}{dx^2} = 6x - 6$
3
在 $x = 0$ 处： $\frac{d ^{2} U}{d x ^{2}} = - 6 < 0$ ，因此是局部最大值→不稳定平衡。在 $x = 2$ 处： $\frac{d ^{2} U}{d x ^{2}} = 6 > 0$ ，因此是局部最小值→稳定平衡。
4
求转折点，即满足 $E_{t o t} = U (x) = 2 J$ 的位置：
$x^3 - 3x^2 + 2 = 2 \rightarrow x^2(x-3) = 0$
5
转折点出现在 $x = 0 m$ 和 $x = 3 m$ 。在 $0 < x < 3$ 区间， $U (x) < 2 J$ ，因此 $K > 0$ ，说明运动被限制在两个转折点之间。

4. AP风格练习题详解★★★☆☆⏱ 3 min

📐 例题

一辆质量为500kg的过山车车厢从40m高的山顶由静止开始滑下，沿山坡向下后进入半径为15m的竖直环形轨道。整个运动过程中，车厢受到大小恒定的动摩擦力100N，从山顶到环形轨道顶端的总路程为100m。求车厢在环形轨道顶端的近似速度。（为简化计算取 $g = 10 m/s^{2}$ ）

1
使用通用能量守恒方程 $W_{n c} = (K_{f} + U_{f}) - (K_{i} + U_{i})$ 。初始状态（车厢静止）： $K_{i} = 0$ ，初始势能：
$U_i = mgh_i = 500 \cdot 10 \cdot 40 = 200000 \text{ J}$
2
末状态（车厢在环形顶端，高度 $2 r = 30 m$ ）： $U_{f} = 150000 J$ ， $K_{f} = \frac{1}{2} m v^{2} = 250 v^{2}$ 。摩擦力做功：
$W_{nc} = -100 \cdot 100 = -10000 \text{ J}$
3
代入并求解 $v$ ：
$-10000 = (250v^2 + 150000) - 200000 \\ 250v^2 = 40000 \\ v \approx 12.6 \text{ m/s}$
4
结果最接近13 m/s，这就是正确答案。

📐 例题

一个质量为2kg的物块连接在竖直轻质弹簧上，弹簧劲度系数 $k = 200 N / m$ 。物块在 $y = 0 m$ 处时弹簧处于原长，y轴正方向向上。物块在 $y = 0.5 m$ 处由静止释放。求(a)速度关于y的表达式，(b)最大速度及其位置，(c)y=0以下的最大位移。

1
(a) 没有非保守力做功，因此初态总能量等于末态总能量： $K_{i} + U_{i, e l a s t i c} + U_{i, g r a v i t y} = K_{f} + U_{f, e l a s t i c} + U_{f, g r a v i t y}$
$v(y) = \sqrt{\frac{1}{m}\left(k(y_0^2 - y^2) + 2mg(y_0 - y)\right)}$
2
(b) 最大速度出现在合力为零的平衡位置：
$y = -\frac{mg}{k} \approx -0.10 \text{ m}, \quad v_{max} \approx 6.0 \text{ m/s}$
3
(c) 最大位移出现在 $v = 0$ 处。求解非平凡根得：
$y \approx -0.70 \text{ m}$
4
因此y=0以下的最大位移为0.70 m。

5. 常见陷阱

错误做法:

既计算重力做功，又在能量方程中计入重力势能。

原因:

学生混淆了能量问题的两种处理方法；如果将重力作为做功的外力，就不应该再计入势能，反之亦然。

正确做法:

为了避免重复计算，始终将所有保守力归入势能项，只有非保守力计入 $W_{n c}$ 。

错误做法:

用起点和终点之间的直线距离，而不是总路径长度计算摩擦力做功。

原因:

学生错误地将重力的路径无关性推广到摩擦这类非保守力上。

正确做法:

计算任何非保守力做功时，始终使用沿实际路径运动的总路程。

错误做法:

因为斜率为零，就把 $U (x)$ 的局部最大值称为稳定平衡。

原因:

学生分析能量图时混淆了斜率（平衡条件）和曲率（稳定性分类）。

正确做法:

始终用曲率分类：上凹（二阶导数为正）= 稳定，下凹（二阶导数为负）= 不稳定。

错误做法:

对于地心距离变化很大的轨道运动问题，仍然使用近地引力势能公式 $U = m g h$ 。

原因:

学生过度套用更简单的近地公式，用在了重力随高度变化显著的问题中。

正确做法:

对于物体离地球表面移动超过几公里的任何问题，都使用万有引力势能 $U (r) = - GM m / r$ 。

错误做法:

从动能求解速率时保留负根。

原因:

学生混淆了速度方向（可以为负）和速率（始终是正的大小）。

正确做法:

题目要求速率时始终取正平方根；只有题目要求速度分量时才保留负根。

错误做法:

忘记摩擦力做负功，因此会降低系统的总机械能。

原因:

学生计算动摩擦力对应的 $W_{n c}$ 时经常遗漏负号。

正确做法:

写能量方程时，明确给动摩擦力做功加上负号。

6. 速查表

类别	公式	说明
保守力做功关系	$W_{c} = - Δ U$	适用于所有保守力；做功等于势能变化量的负值
通用能量守恒	$W_{n c} = Δ K + Δ U = Δ E_{m ec h}$	适用于所有系统； $W_{n c}$ = 非保守力做的总功
孤立系统机械能守恒	$K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}$	适用于 $W_{n c} = 0$ ，即系统没有非保守力做功的情况
一维势能求力	$F (x) = - \frac{d U}{d x}$	力等于 $U (x)$ 能量图斜率的负值
平衡条件	$\frac{d U}{d x} = 0$	平衡出现在势能产生的合力为零的位置
稳定平衡	$\frac{d ^{2} U}{d x ^{2}} > 0$	出现在 $U (x)$ 的局部最小值；位移产生回复力
不稳定平衡	$\frac{d ^{2} U}{d x ^{2}} < 0$	出现在 $U (x)$ 的局部最大值；位移会将物体推离
转折点条件	$E_{t o t} = U (x)$	转折点处动能 $K = 0$ ；物体反向运动
含内能的总能量	$K + U + E_{in t} = constant$	计入耗散非保守力损失的热能

真题中的出现

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能量守恒是AP物理C力学中最强大的解题工具之一，它会在后续的转动运动、振动和轨道力学等主题中反复用到。掌握能量守恒能让你比直接应用牛顿定律更快地解决复杂运动问题，尤其是当力是变力，或者你只需要初末态信息而不需要加速度关于时间的函数时。接下来，你将在此基础上学习功率（即能量转移的速率），然后将能量守恒应用到转动系统和简谐运动中。