# 能量守恒

> AP 物理 C：力学 · 第3单元：功、能量和功率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-conservation-of-energy/

本指南讲解AP物理C力学中的能量守恒定律，内容包括保守力/非保守力、能量守恒方程、能量图、平衡分类以及AP考试中考察的解题技巧。

**先修:** [恒力与变力做的功](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-work/); [动能与势能的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-kinetic-potential-energy/); [动能定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-work-energy-theorem/)

## 学习目标

- 区分保守力与非保守力
- 运用通用形式和孤立系统形式的能量守恒定律解决运动问题
- 解读能量图并对平衡点进行分类
- 规避求解能量守恒问题时的常见考试陷阱

## 保守力与非保守力

保守力的核心性质是路径无关性：它在两点间移动物体时做的功只与起点和终点位置有关，与经过的路径无关。等价地说，保守力沿任意闭合路径做的功为零。这个性质允许我们为任意保守力定义唯一的势能函数$U$。

**保守力** — 做功只与两个端点有关，与路径无关，因此可以定义势能函数的力。

*记法:* $W_c = -\Delta U$

*例:* 重力、弹性弹簧力、万有引力

**非保守力** — 做功与路径有关，因此无法定义势能函数的力。大多数非保守力会将机械能耗散为内能（热量）。

*例:* 动摩擦、空气阻力、外力施加的力

**例题:** 一个质量为2kg的物块沿30°斜面上的两条不同路径从A点滑到B点：路径1是长5m的直线路径，路径2是连接相同两个端点、长12m的曲线路径。物块与斜面间的动摩擦因数均为0.2。分别计算重力和摩擦力沿两条路径做的功，并验证两种力的分类。

1. 首先，A和B之间的竖直高度差对两条路径是相同的，计算得：

   $$\Delta h = 5 \sin 30^\circ = 2.5 \text{ m}$$
2. 重力（保守力）做功只和高度变化有关，因此两条路径的重力做功相同：

   $$W_g = mg\Delta h = (2 \text{ kg})(9.8 \text{ m/s}^2)(2.5 \text{ m}) = 49 \text{ J}$$
3. 摩擦力做功与路径长度有关，且因为摩擦力与运动方向相反，做功始终为负。斜面上的支持力为$N = mg \cos 30^\circ \approx 17 \text{ N}$，因此：

   $$W_f = -\mu_k N d = -\mu_k mg \cos 30^\circ d$$
4. 对于路径1（$d=5$ m）：

   $$W_f = -0.2(17 \text{ N})(5 \text{ m}) = -17 \text{ J}$$
5. 对于路径2（$d=12$ m）：

   $$W_f = -0.2(17 \text{ N})(12 \text{ m}) = -40.8 \text{ J}$$
6. 摩擦力在更长路径上做更多功，这验证了它是非保守力，符合我们的定义。

> **tip**
>
> 写下能量方程前，一定要先将系统中所有力分为保守力和非保守力——这会立刻告诉你哪些力归入势能项，哪些力需要计入$W_{nc}$。

## 通用能量守恒方程

能量守恒方程直接由动能定理推导而来，动能定理指出：系统的总功等于动能的变化量：$W_{total} = \Delta K$。我们将总功拆分为保守力做功和非保守力做功：$W_c + W_{nc} = \Delta K$。代入$W_c = -\Delta U$（来自势能的定义），就得到适用于任意系统的通用方程：

$$W_{nc} = \Delta K + \Delta U = (K_f + U_f) - (K_i + U_i) = \Delta E_{mech}$$

这是AP问题中最常用的形式：所有非保守力做的总功等于系统总机械能的变化量（$E_{mech} = K + U$）。对于没有非保守力做功的孤立（封闭）系统，$W_{nc} = 0$，因此机械能守恒：

$$K_i + U_i = K_f + U_f$$

当存在摩擦这类耗散力时，$W_{nc}$为负，因此$\Delta E_{mech}$为负。机械能转化为内能（热量），但总能量（包括内能）仍然守恒：$K + U + E_{int} = \text{constant}$。

**例题:** 一个质量为0.5kg的物块被压在水平弹簧上，弹簧劲度系数$k=400 N/m$，被从平衡位置压缩了0.1m。物块由静止释放，沿水平表面滑动，动摩擦因数为$\mu_k = 0.3$。求物块从弹簧平衡位置（释放点）到静止前滑动的距离。

1. 将系统定义为物块+弹簧+地球。重力势能恒定，因此可以抵消。初始状态（弹簧压缩，物块静止）：

   $$K_i = 0, \quad U_i = \frac{1}{2}kx^2 = 0.5(400)(0.1)^2 = 2 \text{ J}$$
2. 末状态（物块静止，弹簧回到平衡位置）：

   $$K_f = 0, \quad U_f = 0$$
3. 非保守力摩擦力做的功为负，等于：

   $$W_{nc} = -f_k d = -\mu_k mg d$$
4. 代入通用能量方程：

   $$-\mu_k mg d = (0 + 0) - (0 + 2 \text{ J}) = -2 \text{ J}$$
5. 求解未知距离$d$：

   $$d = \frac{2 \text{ J}}{\mu_k mg} = \frac{2}{(0.3)(0.5)(9.8)} \approx 1.36 \text{ m}$$

> **tip**
>
> 代入方程前一定要明确写出初状态和末状态——这可以避免很多常见错误，比如忘记计入末状态的势能，或者重复计算重力做功。

## 能量图与平衡分类

对于一维运动中势能函数$U(x)$已知、总能量恒定的孤立系统物体，能量图以位置$x$为横轴绘制$U(x)$，并用水平线标出恒定的总能量$E_{tot}$。你可以不用解微分方程就能分析运动。力和势能的关系为：

$$F(x) = -\frac{dU}{dx}$$

物体受到的力等于$U(x)$图像斜率的负值。平衡发生在$F(x) = 0$时，因此$U(x)$的斜率为零（$\frac{dU}{dx} = 0$）。平衡根据$U(x)$的曲率（二阶导数）分类：

- **稳定平衡**：$U(x)$的局部最小值，$\frac{d^2U}{dx^2} > 0$。位移后会产生回复力，将物体拉回平衡点。
- **不稳定平衡**：$U(x)$的局部最大值，$\frac{d^2U}{dx^2} < 0$。位移后会产生力将物体推得离平衡点更远。
- **随遇平衡**：$U(x)$为水平直线，$\frac{d^2U}{dx^2} = 0$。物体位移后不受力。

运动的转折点出现在$E_{tot} = U(x)$处，因为动能$K = E_{tot} - U(x) = 0$，物体在此处停止并反向运动。任何$U(x) > E_{tot}$的区域都是不可到达的，因为动能不可能为负。

**例题:** 一个沿x轴运动的1kg物体的势能为$U(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，其中$U$单位为焦耳，$x$单位为米。物体总能量为2J。找出所有平衡位置，对它们的稳定性分类，并求出运动的转折点。

1. 令$F = -\frac{dU}{dx} = 0$，即$\frac{dU}{dx} = 0$，即可求出平衡位置：

   $$\frac{dU}{dx} = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) = 0$$
2. 平衡位置为$x=0 \text{ m}$和$x=2 \text{ m}$。用二阶导数对稳定性分类：

   $$\frac{d^2U}{dx^2} = 6x - 6$$
3. 在$x=0$处：$\frac{d^2U}{dx^2} = -6 < 0$，因此是局部最大值→不稳定平衡。在$x=2$处：$\frac{d^2U}{dx^2} = 6 > 0$，因此是局部最小值→稳定平衡。
4. 求转折点，即满足$E_{tot} = U(x) = 2 \text{ J}$的位置：

   $$x^3 - 3x^2 + 2 = 2 \rightarrow x^2(x-3) = 0$$
5. 转折点出现在$x=0 \text{ m}$和$x=3 \text{ m}$。在$0 < x < 3$区间，$U(x) < 2 \text{ J}$，因此$K>0$，说明运动被限制在两个转折点之间。

> **tip**
>
> 如果题目要求物体的最大速度，记住最大速度出现在势能最小的位置（因为$K = E_{tot} - U$），该位置永远是稳定平衡点。

## AP风格练习题详解

**例题:** 一辆质量为500kg的过山车车厢从40m高的山顶由静止开始滑下，沿山坡向下后进入半径为15m的竖直环形轨道。整个运动过程中，车厢受到大小恒定的动摩擦力100N，从山顶到环形轨道顶端的总路程为100m。求车厢在环形轨道顶端的近似速度。（为简化计算取$g=10 \text{ m/s}^2$）

1. 使用通用能量守恒方程$W_{nc} = (K_f + U_f) - (K_i + U_i)$。初始状态（车厢静止）：$K_i=0$，初始势能：

   $$U_i = mgh_i = 500 \cdot 10 \cdot 40 = 200000 \text{ J}$$
2. 末状态（车厢在环形顶端，高度$2r = 30 \text{ m}$）：$U_f = 150000 \text{ J}$，$K_f = \frac{1}{2}mv^2 = 250v^2$。摩擦力做功：

   $$W_{nc} = -100 \cdot 100 = -10000 \text{ J}$$
3. 代入并求解$v$：

   $$-10000 = (250v^2 + 150000) - 200000 \\ 250v^2 = 40000 \\ v \approx 12.6 \text{ m/s}$$
4. 结果最接近13 m/s，这就是正确答案。

**例题:** 一个质量为2kg的物块连接在竖直轻质弹簧上，弹簧劲度系数$k = 200 N/m$。物块在$y = 0 m$处时弹簧处于原长，y轴正方向向上。物块在$y = 0.5 m$处由静止释放。求(a)速度关于y的表达式，(b)最大速度及其位置，(c)y=0以下的最大位移。

1. (a) 没有非保守力做功，因此初态总能量等于末态总能量：$K_i + U_{i,elastic} + U_{i,gravity} = K_f + U_{f,elastic} + U_{f,gravity}$

   $$v(y) = \sqrt{\frac{1}{m}\left(k(y_0^2 - y^2) + 2mg(y_0 - y)\right)}$$
2. (b) 最大速度出现在合力为零的平衡位置：

   $$y = -\frac{mg}{k} \approx -0.10 \text{ m}, \quad v_{max} \approx 6.0 \text{ m/s}$$
3. (c) 最大位移出现在$v=0$处。求解非平凡根得：

   $$y \approx -0.70 \text{ m}$$
4. 因此y=0以下的最大位移为0.70 m。

## 常见错误

- **错误做法:** 既计算重力做功，又在能量方程中计入重力势能。
  - 原因: 学生混淆了能量问题的两种处理方法；如果将重力作为做功的外力，就不应该再计入势能，反之亦然。
  - 正确做法: 为了避免重复计算，始终将所有保守力归入势能项，只有非保守力计入$W_{nc}$。
- **错误做法:** 用起点和终点之间的直线距离，而不是总路径长度计算摩擦力做功。
  - 原因: 学生错误地将重力的路径无关性推广到摩擦这类非保守力上。
  - 正确做法: 计算任何非保守力做功时，始终使用沿实际路径运动的总路程。
- **错误做法:** 因为斜率为零，就把$U(x)$的局部最大值称为稳定平衡。
  - 原因: 学生分析能量图时混淆了斜率（平衡条件）和曲率（稳定性分类）。
  - 正确做法: 始终用曲率分类：上凹（二阶导数为正）= 稳定，下凹（二阶导数为负）= 不稳定。
- **错误做法:** 对于地心距离变化很大的轨道运动问题，仍然使用近地引力势能公式$U=mgh$。
  - 原因: 学生过度套用更简单的近地公式，用在了重力随高度变化显著的问题中。
  - 正确做法: 对于物体离地球表面移动超过几公里的任何问题，都使用万有引力势能$U(r) = -GMm/r$。
- **错误做法:** 从动能求解速率时保留负根。
  - 原因: 学生混淆了速度方向（可以为负）和速率（始终是正的大小）。
  - 正确做法: 题目要求速率时始终取正平方根；只有题目要求速度分量时才保留负根。
- **错误做法:** 忘记摩擦力做负功，因此会降低系统的总机械能。
  - 原因: 学生计算动摩擦力对应的$W_{nc}$时经常遗漏负号。
  - 正确做法: 写能量方程时，明确给动摩擦力做功加上负号。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 保守力做功关系 | $W_c = -\Delta U$ | 适用于所有保守力；做功等于势能变化量的负值 |
| 通用能量守恒 | $W_{nc} = \Delta K + \Delta U = \Delta E_{mech}$ | 适用于所有系统；$W_{nc}$ = 非保守力做的总功 |
| 孤立系统机械能守恒 | $K_i + U_i = K_f + U_f$ | 适用于$W_{nc}=0$，即系统没有非保守力做功的情况 |
| 一维势能求力 | $F(x) = -\frac{dU}{dx}$ | 力等于$U(x)$能量图斜率的负值 |
| 平衡条件 | $\frac{dU}{dx} = 0$ | 平衡出现在势能产生的合力为零的位置 |
| 稳定平衡 | $\frac{d^2U}{dx^2} > 0$ | 出现在$U(x)$的局部最小值；位移产生回复力 |
| 不稳定平衡 | $\frac{d^2U}{dx^2} < 0$ | 出现在$U(x)$的局部最大值；位移会将物体推离 |
| 转折点条件 | $E_{tot} = U(x)$ | 转折点处动能$K=0$；物体反向运动 |
| 含内能的总能量 | $K + U + E_{int} = \text{constant}$ | 计入耗散非保守力损失的热能 |

## 下一步

能量守恒是AP物理C力学中最强大的解题工具之一，它会在后续的转动运动、振动和轨道力学等主题中反复用到。掌握能量守恒能让你比直接应用牛顿定律更快地解决复杂运动问题，尤其是当力是变力，或者你只需要初末态信息而不需要加速度关于时间的函数时。接下来，你将在此基础上学习功率（即能量转移的速率），然后将能量守恒应用到转动系统和简谐运动中。

- [功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-power/)
- [粒子系统与线动量概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-overview/)
- [质心](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u4-center-of-mass/)

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