阻力

AP 物理C：力学· Unit 2: Newton's Laws of Motion, Topic 2.5· 20 分钟阅读

1. 阻力区间分类★★☆☆☆⏱ 5 min

不同于大小恒定的理想动摩擦力，拖曳阻力直接取决于物体在流体中运动的速度。拖曳力随速度的缩放关系由无量纲雷诺数决定，雷诺数描述了流体流动中惯性力与粘性力的比值。

📘 定义

雷诺数

$R e$

定义流体流动区间的无量纲量，计算公式为 $R e = \frac{ρ Lv}{μ}$ ，其中L为物体特征长度，ρ为流体密度，μ为流体动力粘度

例:

直径1mm的雨滴以0.1m/s运动时 $R e \approx 10$ ，处于线性拖曳区间

📐 例题

判断下列物体所属的拖曳区间：1）直径10μm的花粉颗粒以0.002m/s的速度在空气中下落，2）宽度1m的跳伞者以50m/s的速度在空气中下落

1
对于花粉颗粒：小尺寸与极低速度产生的雷诺数约为0.01，因此适用线性拖曳
2
对于跳伞者：大尺寸与高速度产生的雷诺数约为300000，因此适用二次拖曳

2. 线性拖曳与终端速度★★★☆☆⏱ 7 min

处于线性拖曳区间的物体，拖曳力大小可写为 $F_{d} = b v$ ，其中b为拖曳常数，由物体形状与流体粘度决定。对于下落物体，拖曳力方向向上，与向下的重力方向相反。

🔬 推导

目标:

推导线性拖曳作用下下落物体的终端速度

起点:

竖直方向运动的牛顿第二定律： $F_{n e t} = m g - b v = ma$

1
达到终端速度时加速度 $a = 0$ ，因此合外力为零
2
$mg - bv_t = 0$
3
$v_t = \frac{mg}{b}$

结果:

线性拖曳下的终端速度与物体质量直接成正比

📐 例题

计算质量为0.0001kg的雨滴的终端速度，已知线性拖曳系数 $b = 2 \times 1 0^{- 6} Ns/m$

1
将数值代入线性终端速度公式
2
$v_t = \frac{(0.0001 \text{ kg})(9.8 \text{ m/s}^2)}{2 \times 10^{-6} \text{ Ns/m}}$
3
最终结果： $v_{t} = 490 m/s$ ？不对，该结果不符合实际，修正质量为0.00001kg得到 $v_{t} = 49 m/s$ ——不对，微小雨滴的实际值约为0.5m/s，因此取 $b = 0.002 Ns/m$ ，得到 $v_{t} = 0.049 m/s$

3. 宏观物体的二次拖曳★★★★☆⏱ 6 min

所有日常物体以常规速度在空气中运动时，都适用二次拖曳模型。拖曳力取决于物体的横截面积、流体密度以及速度的二次方。

F_d = \frac{1}{2} C_d \rho A v^2

📐 例题

推导质量80kg、横截面积0.7m²、拖曳系数0.7、空气密度1.2kg/m³的跳伞者的终端速度

1
终端速度下合外力为零： $m g = \frac{1}{2} C_{d} ρ A v_{t}^{2}$
2
$v_t^2 = \frac{2mg}{C_d \rho A}$
3
$v_t = \sqrt{\frac{2(80)(9.8)}{(0.7)(1.2)(0.7)}} \approx \sqrt{2666} \approx 51.6 \text{ m/s}$

4. 速度与位置关于时间的函数★★★★★⏱ 7 min

由于拖曳问题中加速度与速度相关，你无法使用恒定加速度运动学公式，必须从牛顿第二定律出发求解可分离变量的一阶微分方程。

🔬 推导

目标:

推导从静止开始下落的物体在线性拖曳作用下的v(t)

起点:

$m g - b v = m \frac{d v}{d t}$

1
整理方程分离变量： $\frac{d v}{v _{t} - v} = \frac{b}{m} d t$
2
从初始条件t=0时v=0积分到t时刻的速度v
3
$v(t) = v_t \left(1 - e^{-bt/m}\right)$

结果:

速度随时间逐渐趋近于终端速度

📐 例题

求线性拖曳作用下的物体在 $t = \frac{m}{b}$ 时刻的速度，即释放后经过一个时间常数的速度

1
将 $t = m / b$ 代入速度表达式
2
$v\left(\frac{m}{b}\right) = v_t \left(1 - e^{-1}\right) \approx 0.63 v_t$

✓ 快速检测

测试你对线性拖曳运动学的理解：

当 $t = 3 τ$ 且 $τ = m / b$ 时，物体达到的速度占终端速度的比例为多少？
- 0.95
- 0.86
- 0.99
- 0.63
显示答案
0.95 —
$1 - e^{- 3} \approx 0.95$ ，即达到终端速度的95%

5. 常见陷阱

错误做法:

对低速小尺寸物体使用二次拖曳

原因:

拖曳区间由雷诺数定义，不能随意选择，且AP题目会明确指定使用的模型

正确做法:

仅使用考题中明确给出的拖曳模型

错误做法:

忘记终端速度下加速度为零

原因:

学生经常错误地认为物体达到恒定最大速度时仍存在非零合外力

正确做法:

直接令 $F_{n e t} = 0$ 求解 $v_{t}$ ，无需积分

错误做法:

混淆拖曳力相对于速度的符号

原因:

拖曳力始终阻碍运动，因此物体向上运动和向下运动时拖曳力的符号会反转

正确做法:

每道题开始时都明确定义坐标系

错误做法:

在二次拖曳问题中错误约去质量

原因:

二次拖曳力与面积成正比，因此 $v_{t}$ 与 $m$ 成正比，不像线性拖曳中 $v_{t}$ 与m线性相关

正确做法:

在完全分离出终端速度项之前，保留代数表达式中的质量

错误做法:

对受拖曳的运动使用恒定加速度运动学公式

原因:

加速度与速度相关，因此受拖曳的物体加速度永远不是恒定值

正确做法:

求解从牛顿第二定律推导得到的可分离变量微分方程

6. 速查表

拖曳区间	力的大小	终端速度	v(t)（从静止下落）
线性拖曳（低速、小尺寸物体）	$F_{d} = b v$	$v_{t} = \frac{m g}{b}$	$v (t) = v_{t} (1 - e^{- b t / m})$
二次拖曳（高速、宏观物体）	$F_{d} = \frac{1}{2} C_{d} ρ A v^{2}$	$v_{t} = \frac{2 m g}{C _{d} ρ A}$	$v (t) = v_{t} tanh (\frac{g t}{v _{t}})$

下一步

掌握阻力知识是对牛顿第二定律与微分方程内容的直接巩固，该考点在AP物理C力学的自由作答题中占很高分值。该知识点也与后续单元的动量、能量、轨道运动内容相关，在这些内容中摩擦力与非保守力会修正理想运动学的预测结果。你经常会遇到结合实验数据分析的阻力题，要求你根据测得的终端速度计算拖曳系数。为巩固所学内容，请学习后续子主题中的摩擦力、非保守功、变合外力下的圆周运动，全面掌握无摩擦理想教材模型之外的真实世界运动规律。

→匀速与非匀速圆周运动