# 阻力

> AP 物理C：力学 · AP 物理C：力学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-resistive-forces/

本模块涵盖速度相关阻力、线性与二次拖曳区间、终端速度推导，以及拖曳作用下一维运动的运动学求解，完全匹配AP物理C考试要求。

**先修:** [一维运动的牛顿第二定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-newtons-second-law/); [一阶可分离变量微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-math-differential-equations/)

## 学习目标

- 区分运动物体的线性拖曳与二次拖曳区间
- 推导受阻力与重力加速度作用的物体的终端速度表达式
- 求解含速度相关阻力的一维运动学方程
- 将阻力模型应用于AP物理C的自由作答题与选择题

## 阻力区间分类

不同于大小恒定的理想动摩擦力，拖曳阻力直接取决于物体在流体中运动的速度。拖曳力随速度的缩放关系由无量纲雷诺数决定，雷诺数描述了流体流动中惯性力与粘性力的比值。

**雷诺数** — 定义流体流动区间的无量纲量，计算公式为 $Re = \frac{\rho L v}{\mu}$，其中L为物体特征长度，ρ为流体密度，μ为流体动力粘度

*记法:* $Re$

*例:* 直径1mm的雨滴以0.1m/s运动时$Re \approx 10$，处于线性拖曳区间

> **info**
>
> 当$Re < 1$时，拖曳力与速度线性成正比；当$Re > 1000$时，拖曳力与速度二次方成正比。1到1000之间的过渡区间几乎不会在AP考试中考查。

**例题:** 判断下列物体所属的拖曳区间：1）直径10μm的花粉颗粒以0.002m/s的速度在空气中下落，2）宽度1m的跳伞者以50m/s的速度在空气中下落

1. 对于花粉颗粒：小尺寸与极低速度产生的雷诺数约为0.01，因此适用线性拖曳
2. 对于跳伞者：大尺寸与高速度产生的雷诺数约为300000，因此适用二次拖曳

## 线性拖曳与终端速度

处于线性拖曳区间的物体，拖曳力大小可写为$F_d = bv$，其中b为拖曳常数，由物体形状与流体粘度决定。对于下落物体，拖曳力方向向上，与向下的重力方向相反。

**推导:** 推导线性拖曳作用下下落物体的终端速度

*起点:* 竖直方向运动的牛顿第二定律：$F_{net} = mg - bv = ma$

1. 达到终端速度时加速度$a=0$，因此合外力为零
2. $$mg - bv_t = 0$$
3. $$v_t = \frac{mg}{b}$$

*结论:* 线性拖曳下的终端速度与物体质量直接成正比

**例题:** 计算质量为0.0001kg的雨滴的终端速度，已知线性拖曳系数$b = 2 \times 10^{-6} \text{ Ns/m}$

1. 将数值代入线性终端速度公式
2. $$v_t = \frac{(0.0001 \text{ kg})(9.8 \text{ m/s}^2)}{2 \times 10^{-6} \text{ Ns/m}}$$
3. 最终结果：$v_t = 490 \text{ m/s}$？不对，该结果不符合实际，修正质量为0.00001kg得到$v_t = 49 \text{ m/s}$——不对，微小雨滴的实际值约为0.5m/s，因此取$b = 0.002 \text{ Ns/m}$，得到$v_t = 0.049 \text{ m/s}$

> **tip**
>
> AP考试题目几乎都会明确说明应当使用线性拖曳还是二次拖曳，因此你无需计算雷诺数来选择拖曳模型。

## 宏观物体的二次拖曳

所有日常物体以常规速度在空气中运动时，都适用二次拖曳模型。拖曳力取决于物体的横截面积、流体密度以及速度的二次方。

$$F_d = \frac{1}{2} C_d \rho A v^2$$

**例题:** 推导质量80kg、横截面积0.7m²、拖曳系数0.7、空气密度1.2kg/m³的跳伞者的终端速度

1. 终端速度下合外力为零：$mg = \frac{1}{2} C_d \rho A v_t^2$
2. $$v_t^2 = \frac{2mg}{C_d \rho A}$$
3. $$v_t = \sqrt{\frac{2(80)(9.8)}{(0.7)(1.2)(0.7)}} \approx \sqrt{2666} \approx 51.6 \text{ m/s}$$

**考试命令词**

AP物理C针对拖曳类题目使用特定的指令词，明确要求你给出的作答形式：

- **Derive** — 从牛顿第二定律等基础定律出发，展示每一步代数推导过程 *(推导二次拖曳的终端速度表达式)*

- **Show that** — 验证给定表达式的正确性，不得将待推导的目标表达式作为推导起点

## 速度与位置关于时间的函数

由于拖曳问题中加速度与速度相关，你无法使用恒定加速度运动学公式，必须从牛顿第二定律出发求解可分离变量的一阶微分方程。

**推导:** 推导从静止开始下落的物体在线性拖曳作用下的v(t)

*起点:* $mg - bv = m \frac{dv}{dt}$

1. 整理方程分离变量：$\frac{dv}{v_t - v} = \frac{b}{m} dt$
2. 从初始条件t=0时v=0积分到t时刻的速度v
3. $$v(t) = v_t \left(1 - e^{-bt/m}\right)$$

*结论:* 速度随时间逐渐趋近于终端速度

**例题:** 求线性拖曳作用下的物体在$t = \frac{m}{b}$时刻的速度，即释放后经过一个时间常数的速度

1. 将$t = m/b$代入速度表达式
2. $$v\left(\frac{m}{b}\right) = v_t \left(1 - e^{-1}\right) \approx 0.63 v_t$$

**概念自测**

测试你对线性拖曳运动学的理解：

1. 当$t = 3 \tau$且$\tau = m/b$时，物体达到的速度占终端速度的比例为多少？

   - 0.95
   - 0.86
   - 0.99
   - 0.63

   *解析:* $1 - e^{-3} \approx 0.95$，即达到终端速度的95%

## 常见错误

- **错误做法:** 对低速小尺寸物体使用二次拖曳
  - 原因: 拖曳区间由雷诺数定义，不能随意选择，且AP题目会明确指定使用的模型
  - 正确做法: 仅使用考题中明确给出的拖曳模型
- **错误做法:** 忘记终端速度下加速度为零
  - 原因: 学生经常错误地认为物体达到恒定最大速度时仍存在非零合外力
  - 正确做法: 直接令$F_{net}=0$求解$v_t$，无需积分
- **错误做法:** 混淆拖曳力相对于速度的符号
  - 原因: 拖曳力始终阻碍运动，因此物体向上运动和向下运动时拖曳力的符号会反转
  - 正确做法: 每道题开始时都明确定义坐标系
- **错误做法:** 在二次拖曳问题中错误约去质量
  - 原因: 二次拖曳力与面积成正比，因此$v_t$与$\sqrt{m}$成正比，不像线性拖曳中$v_t$与m线性相关
  - 正确做法: 在完全分离出终端速度项之前，保留代数表达式中的质量
- **错误做法:** 对受拖曳的运动使用恒定加速度运动学公式
  - 原因: 加速度与速度相关，因此受拖曳的物体加速度永远不是恒定值
  - 正确做法: 求解从牛顿第二定律推导得到的可分离变量微分方程

## 速查表

| 拖曳区间 | 力的大小 | 终端速度 | v(t)（从静止下落） |
| --- | --- | --- | --- |
| 线性拖曳（低速、小尺寸物体） | $F_d = bv$ | $v_t = \frac{mg}{b}$ | $v(t) = v_t \left(1 - e^{-bt/m}\right)$ |
| 二次拖曳（高速、宏观物体） | $F_d = \frac{1}{2} C_d \rho A v^2$ | $v_t = \sqrt{\frac{2mg}{C_d \rho A}}$ | $v(t) = v_t \tanh\left(\frac{gt}{v_t}\right)$ |

## 下一步

掌握阻力知识是对牛顿第二定律与微分方程内容的直接巩固，该考点在AP物理C力学的自由作答题中占很高分值。该知识点也与后续单元的动量、能量、轨道运动内容相关，在这些内容中摩擦力与非保守力会修正理想运动学的预测结果。你经常会遇到结合实验数据分析的阻力题，要求你根据测得的终端速度计算拖曳系数。为巩固所学内容，请学习后续子主题中的摩擦力、非保守功、变合外力下的圆周运动，全面掌握无摩擦理想教材模型之外的真实世界运动规律。

- [匀速与非匀速圆周运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-circular-motion/)

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