牛顿第二定律

AP 物理 C：力学· AP 物理 C：力学 CED — 牛顿运动定律· 14 分钟阅读

1. 牛顿第二定律的核心定义★★☆☆☆⏱ 3 min

牛顿第二定律是合外力、质量与加速度之间的基础关系，是几乎所有经典力学的核心基础，占AP 物理 C：力学考试总分的12-18%。它是连接运动学（第1单元）和运动动力学分析的桥梁，在选择题和自由作答题部分都会考查。

📘 定义

牛顿第二定律

\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt}, \quad \vec{F}_{net} = m\vec{a} \text{ (constant mass)}

作用在物体上的合外力等于物体线动量对时间的变化率。对于恒质量系统，该式可简化为合外力等于物体质心的质量乘以加速度。力产生的是加速度（速度的变化），而非速度本身。

例:

恒定合外力产生的是恒定加速度，而非恒定速度。

2. 矢量分解与惯性参考系★★☆☆☆⏱ 4 min

牛顿第二定律的矢量性允许我们将 $F_{n e t}$ 和 $a$ 分解到任意正交坐标系的坐标轴上，对每个轴得到独立方程： $F_{n e t, x} = m a_{x}$ ， $F_{n e t, y} = m a_{y}$ 。牛顿第二定律仅在惯性参考系（非加速参考系）中成立；对于所有AP考题，地球表面都是有效的近似惯性参考系。

📐 例题

一个质量为10 kg的箱子沿倾角为30°的斜面下滑，动摩擦因数为0.2，求箱子沿斜面的加速度。

1
选择与斜面对齐的坐标系： $+ x$ 沿斜面向下， $+ y$ 垂直于斜面向上。这样仅x轴方向存在非零加速度。
2
将重力 $m g$ 分解为分量：
3
$mg_x = mg\sin\theta, \quad mg_y = -mg\cos\theta$
4
支持力 $N$ 沿 $+ y$ 方向，动摩擦力 $f_{k} = μ_{k} N$ 沿 $- x$ 方向（阻碍运动）。对y轴应用牛顿第二定律（加速度 $a_{y} = 0$ ）：
5
$F_{net,y} = N - mg\cos\theta = 0 \implies N = mg\cos\theta$
6
对x轴应用牛顿第二定律，代入 $N$ ：
7
$F_{net,x} = mg\sin\theta - \mu_k N = ma \\ a = g\left(\sin\theta - \mu_k \cos\theta\right)$
8
代入 $g = 9.8 m/s^{2}$ 和三角函数值：
9
$a = 9.8\left(0.5 - 0.2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 3.2\ \text{m/s}^2$

Exam tip:

始终将坐标系的一个轴与加速度方向对齐；这样可以消除一个非零加速度分量，减少你需要求解的方程数量。

3. 连接物体：系统法与质点法★★★☆☆⏱ 4 min

对于多个连接物体，你可以使用两种有效的方法：(1) 将每个物体视为单独的质点，或(2) 将所有连接物体视为一个整体系统。使用系统法时，只有外力对合外力有贡献；内力（张力、接触力）根据牛顿第三定律相互抵消，因此你可以忽略它们。用系统法快速求加速度，用质点法求张力这类内力。

📐 例题

质量分别为 $m_{1} = 2 kg$ 和 $m_{2} = 3 kg$ 的两个物块通过无质量细绳连接，跨过无质量、无摩擦的滑轮。 $m_{1}$ 放在无摩擦的水平桌面上， $m_{2}$ 竖直悬挂。求连接两个物块的细绳的张力。

1
先用系统法求整个系统的加速度。只有 $m_{2}$ 的重力是产生加速度的外力：
2
$F_{net} = m_2 g = (m_1 + m_2)a \\ a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} = \frac{3(9.8)}{5} = 5.88\ \text{m/s}^2$
3
张力是系统的内力，因此切换到对 $m_{1}$ 的质点法，此时张力是唯一的水平外力。
4
对 $m_{1}$ 应用牛顿第二定律求解 $T$ ：
5
$T = m_1 a = \frac{m_1 m_2 g}{m_1 + m_2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 9.8}{5} = 11.76\ \text{N} \approx 11.8\ \text{N}$
6
通过对 $m_{2}$ 应用牛顿第二定律验证，得到相同结果：
7
$m_2 g - T = m_2 a \implies T = 3(9.8 - 5.88) = 11.76\ \text{N}$

Exam tip:

如果题目要求求两个连接物体之间的张力或接触力这类内力，请在用系统法求出加速度后，始终对该力直接作用的物体应用牛顿第二定律，避免符号错误。

4. 变加速度下的牛顿第二定律★★★★☆⏱ 3 min

AP 物理 C：力学经常考查变力下的牛顿第二定律，这需要用到微积分。一般形式 $F_{n e t} = \frac{d p}{d t}$ 可以整理积分，当力随时间、位置或速度变化时，求解速度或位移。

📐 例题

一个质量为2 kg沿x轴运动的物体受到随时间变化的力 $F (t) = 4 t - 2 t^{2}$ （单位为牛顿， $t \geq 0$ ）。t=0时，物体初速度为 $v_{0} = 3 m/s$ 。求t=2 s时物体的速度。

1
从恒质量的一般形式开始：
2
$F(t) = m \frac{dv}{dt}$
3
整理后分离变量，对速度和时间带界积分：
4
$\int_{v_0}^{v(2)} dv = \frac{1}{m} \int_0^2 (4t - 2t^2) dt$
5
计算积分：左侧等于 $v (2) - v_{0}$ 。化简右侧：
6
$\frac{1}{2} \left[ 2t^2 - \frac{2}{3}t^3 \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left(8 - \frac{16}{3}\right) = \frac{4}{3} \approx 1.33\ \text{m/s}$
7
求解末速度：
8
$v(2) = v_0 + \frac{4}{3} \approx 4.33\ \text{m/s}$

Exam tip:

记住合外力对时间的积分等于动量的变化量（冲量动量定理），这正是牛顿第二定律的积分形式。你可以用这个捷径避免为每个变力问题重新推导积分。

5. 考试风格概念检查★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

用这些AP风格的练习题测试你的理解：

一个5 kg的物块在水平无摩擦表面被一个大小为10 N、与水平方向成37°角向上的力拉动。求平面对物块的支持力大小？（使用 $sin 3 7^{\circ} = 0.6$ , $cos 3 7^{\circ} = 0.8$ , $g = 9.8 m/s^{2}$ ）
- 49 N
- 43 N
- 55 N
- 39 N
显示答案
43 N —
对竖直方向力求和（竖直加速度= 0）： $N + F sin θ - m g = 0 ⟹ N = 49 - 6 = 43$ N。如果你忽略了拉力的竖直分量就会得到49 N，这是常见错误。
阿特伍德机的两个物块通过无质量细绳连接在无质量无摩擦滑轮上：物块1质量为 $M$ ，物块2质量为 $2 M$ 。求绳子的张力 $T$ 用 $M$ 和 $g$ 表示？
- $\frac{1}{3} M g$
- $M g$
- $\frac{4}{3} M g$
- $2 M g$
显示答案
$\frac{4}{3}Mg$ —
对两个物块的牛顿第二定律方程相加得到 $a = \frac{g}{3}$ 。回代得到 $T = M g + M a = \frac{4}{3} M g$ 。

6. 常见陷阱

错误做法:

计算连接物体系统的合外力时计入内力，例如计算整个系统的加速度时包含两个物块之间的张力。

原因:

初学系统法时，学生容易混淆内力和外力，经常重复计算力。

正确做法:

计算系统的 $F_{n e t}$ 时，仅包含系统外物体施加的力；将系统边界内部物体之间的所有力划掉。

错误做法:

斜面问题中分解支持力而非重力，导致支持力的表达式错误。

原因:

学生习惯性地分解非重力的力，即使这会带来额外的三角计算和错误。

正确做法:

始终将重力矢量分解为平行于斜面和垂直于斜面的分量，让支持力与垂直坐标轴对齐。

错误做法:

求解加速度时，忘记牛顿第二定律用的是合外力而非单个力，例如说有空气阻力的下落物体加速度是 $g$ 而不是 $g - F_{d} / m$ 。

原因:

学生看到第一个力就匆忙用 $F = ma$ ，而不是先对所有力求和。

正确做法:

始终先画出完整的受力图，对每个轴的所有力求和，再让和等于 $ma$ 。

错误做法:

积分变力求速度时，忘记给积分结果加上初速度。

原因:

学生把加速度的积分当成速度，而不是速度的变化量，跳过了积分常数。

正确做法:

始终写出带初末速度界的定积分，或者明确给加速度对时间的积分加上初速度。

错误做法:

认为水平面上斜向拉力的竖直分量不影响支持力大小。

原因:

计算支持力时，学生经常只考虑力的水平分量，导致结果错误。

正确做法:

即使一个轴加速度为零，也要始终对两个轴应用牛顿第二定律，才能得到正确的支持力。

7. 速查表

类别	公式	注释
恒质量一般形式	$F_{n e t} = m a$	适用于惯性参考系中任何恒质量物体/系统； $F_{n e t}$ 是所有外力的矢量和
一般动量形式	$F_{n e t} = \frac{d p}{d t}$	牛顿第二定律的完整定义，用于变质量或变加速度问题
分解分量形式	$F_{n e t, x} = m a_{x}, F_{n e t, y} = m a_{y}$	分解到正交坐标轴简化二维问题求解
连接物体系统	$F_{n e t, e x t} = M_{t o t a l} a_{c m}$	内力根据牛顿第三定律抵消；只有外力对加速度有贡献
积分形式（时变力）	$Δ v = \frac{1}{m} \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t$	直接由牛顿第二定律推导，用于求时变力的速度变化量
斜面支持力	$N = m g cos θ$	仅当加速度仅平行于斜面且没有其他力有垂直分量时成立
电梯张力	$T = m (g + a)$ (向上 $a$ ), $T = m (g - a)$ (向下 $a$ )	常见实际应用；加速度为零时张力等于重力

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
连接物体加速度
2022 · FRQ
时变力问题
2021 · MCQ
带摩擦的斜面问题

下一步

牛顿第二定律是AP 物理 C：力学所有动力学分析的基础，因此掌握这里的方法对所有后续主题来说必不可少。接下来你会将牛顿第二定律应用到圆周运动，此时加速度是向心加速度，合外力指向圆心。如果没有扎实掌握本主题的矢量分解和合外力计算，求解圆周运动和所有后续问题会非常困难。之后， $F_{n e t} = ma$ 是功和能、转动动力学、简谐运动的起点——本主题之后每个主要单元都建立在这个核心关系之上。它也是你后续学习的动量和冲量概念的基础，因为牛顿第二定律的动量形式是冲量动量定理的基础。