# 牛顿第二定律

> AP 物理 C：力学 · 第2单元：牛顿运动定律
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-newton-s-second-law/

本指南涵盖牛顿第二定律的矢量形式、惯性参考系、连接物体的系统法与质点法，以及变加速度的微积分应用，内容符合AP 物理 C：力学考试要求。

**先修:** 多维运动的矢量分解; 牛顿第一定律中力和惯性的定义; 位移、速度和加速度之间的基本运动学关系

## 学习目标

- 表述牛顿第二定律的一般形式和恒质量形式
- 应用矢量分解求解二维力问题
- 区分连接物体的系统法和质点法
- 使用微积分求解变力产生的变加速度问题
- 规避牛顿第二定律问题中常见的考试陷阱

## 牛顿第二定律的核心定义

牛顿第二定律是合外力、质量与加速度之间的基础关系，是几乎所有经典力学的核心基础，占AP 物理 C：力学考试总分的12-18%。它是连接运动学（第1单元）和运动动力学分析的桥梁，在选择题和自由作答题部分都会考查。

**牛顿第二定律** — 作用在物体上的合外力等于物体线动量对时间的变化率。对于恒质量系统，该式可简化为合外力等于物体质心的质量乘以加速度。力产生的是加速度（速度的变化），而非速度本身。

*记法:* \vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt}, \quad \vec{F}_{net} = m\vec{a} \text{ (constant mass)}

*例:* 恒定合外力产生的是恒定加速度，而非恒定速度。

## 矢量分解与惯性参考系

牛顿第二定律的矢量性允许我们将$\vec{F}_{net}$和$\vec{a}$分解到任意正交坐标系的坐标轴上，对每个轴得到独立方程：$F_{net,x} = ma_x$，$F_{net,y} = ma_y$。牛顿第二定律仅在惯性参考系（非加速参考系）中成立；对于所有AP考题，地球表面都是有效的近似惯性参考系。

**例题:** 一个质量为10 kg的箱子沿倾角为30°的斜面下滑，动摩擦因数为0.2，求箱子沿斜面的加速度。

1. 选择与斜面对齐的坐标系：$+x$沿斜面向下，$+y$垂直于斜面向上。这样仅x轴方向存在非零加速度。
2. 将重力$mg$分解为分量：
3. $$mg_x = mg\sin\theta, \quad mg_y = -mg\cos\theta$$
4. 支持力$N$沿$+y$方向，动摩擦力$f_k = \mu_k N$沿$-x$方向（阻碍运动）。对y轴应用牛顿第二定律（加速度$a_y = 0$）：
5. $$F_{net,y} = N - mg\cos\theta = 0 \implies N = mg\cos\theta$$
6. 对x轴应用牛顿第二定律，代入$N$：
7. $$F_{net,x} = mg\sin\theta - \mu_k N = ma \\ a = g\left(\sin\theta - \mu_k \cos\theta\right)$$
8. 代入$g=9.8\ \text{m/s}^2$和三角函数值：
9. $$a = 9.8\left(0.5 - 0.2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 3.2\ \text{m/s}^2$$

> **考试提示:** 始终将坐标系的一个轴与加速度方向对齐；这样可以消除一个非零加速度分量，减少你需要求解的方程数量。

## 连接物体：系统法与质点法

对于多个连接物体，你可以使用两种有效的方法：(1) 将每个物体视为单独的质点，或(2) 将所有连接物体视为一个整体系统。使用系统法时，只有外力对合外力有贡献；内力（张力、接触力）根据牛顿第三定律相互抵消，因此你可以忽略它们。用系统法快速求加速度，用质点法求张力这类内力。

**例题:** 质量分别为$m_1 = 2\ \text{kg}$和$m_2 = 3\ \text{kg}$的两个物块通过无质量细绳连接，跨过无质量、无摩擦的滑轮。$m_1$放在无摩擦的水平桌面上，$m_2$竖直悬挂。求连接两个物块的细绳的张力。

1. 先用系统法求整个系统的加速度。只有$m_2$的重力是产生加速度的外力：
2. $$F_{net} = m_2 g = (m_1 + m_2)a \\ a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} = \frac{3(9.8)}{5} = 5.88\ \text{m/s}^2$$
3. 张力是系统的内力，因此切换到对$m_1$的质点法，此时张力是唯一的水平外力。
4. 对$m_1$应用牛顿第二定律求解$T$：
5. $$T = m_1 a = \frac{m_1 m_2 g}{m_1 + m_2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 9.8}{5} = 11.76\ \text{N} \approx 11.8\ \text{N}$$
6. 通过对$m_2$应用牛顿第二定律验证，得到相同结果：
7. $$m_2 g - T = m_2 a \implies T = 3(9.8 - 5.88) = 11.76\ \text{N}$$

> **考试提示:** 如果题目要求求两个连接物体之间的张力或接触力这类内力，请在用系统法求出加速度后，始终对该力直接作用的物体应用牛顿第二定律，避免符号错误。

## 变加速度下的牛顿第二定律

AP 物理 C：力学经常考查变力下的牛顿第二定律，这需要用到微积分。一般形式$\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt}$可以整理积分，当力随时间、位置或速度变化时，求解速度或位移。

**例题:** 一个质量为2 kg沿x轴运动的物体受到随时间变化的力$F(t) = 4t - 2t^2$（单位为牛顿，$t \geq 0$）。t=0时，物体初速度为$v_0 = 3\ \text{m/s}$。求t=2 s时物体的速度。

1. 从恒质量的一般形式开始：
2. $$F(t) = m \frac{dv}{dt}$$
3. 整理后分离变量，对速度和时间带界积分：
4. $$\int_{v_0}^{v(2)} dv = \frac{1}{m} \int_0^2 (4t - 2t^2) dt$$
5. 计算积分：左侧等于$v(2) - v_0$。化简右侧：
6. $$\frac{1}{2} \left[ 2t^2 - \frac{2}{3}t^3 \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left(8 - \frac{16}{3}\right) = \frac{4}{3} \approx 1.33\ \text{m/s}$$
7. 求解末速度：
8. $$v(2) = v_0 + \frac{4}{3} \approx 4.33\ \text{m/s}$$

> **考试提示:** 记住合外力对时间的积分等于动量的变化量（冲量动量定理），这正是牛顿第二定律的积分形式。你可以用这个捷径避免为每个变力问题重新推导积分。

## 考试风格概念检查

**概念自测**

用这些AP风格的练习题测试你的理解：

1. 一个5 kg的物块在水平无摩擦表面被一个大小为10 N、与水平方向成37°角向上的力拉动。求平面对物块的支持力大小？（使用$\sin 37^\circ = 0.6$, $\cos 37^\circ = 0.8$, $g=9.8\ \text{m/s}^2$）

   - 49 N
   - 43 N
   - 55 N
   - 39 N

   *解析:* 对竖直方向力求和（竖直加速度= 0）：$N + F\sin\theta - mg = 0 \implies N = 49 - 6 = 43$ N。如果你忽略了拉力的竖直分量就会得到49 N，这是常见错误。

2. 阿特伍德机的两个物块通过无质量细绳连接在无质量无摩擦滑轮上：物块1质量为$M$，物块2质量为$2M$。求绳子的张力$T$用$M$和$g$表示？

   - $\frac{1}{3}Mg$
   - $Mg$
   - $\frac{4}{3}Mg$
   - $2Mg$

   *解析:* 对两个物块的牛顿第二定律方程相加得到$a = \frac{g}{3}$。回代得到$T = Mg + Ma = \frac{4}{3}Mg$。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算连接物体系统的合外力时计入内力，例如计算整个系统的加速度时包含两个物块之间的张力。
  - 原因: 初学系统法时，学生容易混淆内力和外力，经常重复计算力。
  - 正确做法: 计算系统的$F_{net}$时，仅包含系统外物体施加的力；将系统边界内部物体之间的所有力划掉。
- **错误做法:** 斜面问题中分解支持力而非重力，导致支持力的表达式错误。
  - 原因: 学生习惯性地分解非重力的力，即使这会带来额外的三角计算和错误。
  - 正确做法: 始终将重力矢量分解为平行于斜面和垂直于斜面的分量，让支持力与垂直坐标轴对齐。
- **错误做法:** 求解加速度时，忘记牛顿第二定律用的是合外力而非单个力，例如说有空气阻力的下落物体加速度是$g$而不是$g - F_d/m$。
  - 原因: 学生看到第一个力就匆忙用$F=ma$，而不是先对所有力求和。
  - 正确做法: 始终先画出完整的受力图，对每个轴的所有力求和，再让和等于$ma$。
- **错误做法:** 积分变力求速度时，忘记给积分结果加上初速度。
  - 原因: 学生把加速度的积分当成速度，而不是速度的变化量，跳过了积分常数。
  - 正确做法: 始终写出带初末速度界的定积分，或者明确给加速度对时间的积分加上初速度。
- **错误做法:** 认为水平面上斜向拉力的竖直分量不影响支持力大小。
  - 原因: 计算支持力时，学生经常只考虑力的水平分量，导致结果错误。
  - 正确做法: 即使一个轴加速度为零，也要始终对两个轴应用牛顿第二定律，才能得到正确的支持力。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 恒质量一般形式 | $\vec{F}_{net} = m\vec{a}$ | 适用于惯性参考系中任何恒质量物体/系统；$\vec{F}_{net}$是所有外力的矢量和 |
| 一般动量形式 | $\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ | 牛顿第二定律的完整定义，用于变质量或变加速度问题 |
| 分解分量形式 | $F_{net,x} = ma_x, \quad F_{net,y} = ma_y$ | 分解到正交坐标轴简化二维问题求解 |
| 连接物体系统 | $F_{net,ext} = M_{total} a_{cm}$ | 内力根据牛顿第三定律抵消；只有外力对加速度有贡献 |
| 积分形式（时变力） | $\Delta v = \frac{1}{m} \int_{t_1}^{t_2} F(t) dt$ | 直接由牛顿第二定律推导，用于求时变力的速度变化量 |
| 斜面支持力 | $N = mg\cos\theta$ | 仅当加速度仅平行于斜面且没有其他力有垂直分量时成立 |
| 电梯张力 | $T = m(g + a)$ (向上$a$), $T = m(g - a)$ (向下$a$) | 常见实际应用；加速度为零时张力等于重力 |

## 下一步

牛顿第二定律是AP 物理 C：力学所有动力学分析的基础，因此掌握这里的方法对所有后续主题来说必不可少。接下来你会将牛顿第二定律应用到圆周运动，此时加速度是向心加速度，合外力指向圆心。如果没有扎实掌握本主题的矢量分解和合外力计算，求解圆周运动和所有后续问题会非常困难。之后，$F_{net}=ma$是功和能、转动动力学、简谐运动的起点——本主题之后每个主要单元都建立在这个核心关系之上。它也是你后续学习的动量和冲量概念的基础，因为牛顿第二定律的动量形式是冲量动量定理的基础。

- [简谐运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u6-simple-harmonic-motion/)
- [自由体受力图](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-free-body-diagrams/)
- [牛顿第三定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-newton-s-third-law/)

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