# 自由体受力图

> AP 物理 C：力学 · 牛顿运动定律
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-free-body-diagrams/

本模块讲解AP物理C力学中绘制与解读自由体受力图（FBD）的核心技能，包括力的分类、系统隔离、连接体与斜面的绘制规范，以及针对AP考试的最佳实践。

**先修:** 矢量加法与分解; 牛顿三大运动定律; 坐标系的建立

## 学习目标

- 区分确定系统中的接触力与非接触力
- 正确隔离系统，区分内力与外力
- 按照AP考试规范绘制标注正确的自由体受力图
- 对斜面、连接体等常见系统进行力的分解
- 避免绘制和解读FBD时的常见考试错误

## 核心定义与AP考试规范

自由体受力图（缩写为FBD）是一种简化矢量图，它将单个物体或确定的物体系统隔离出来，只显示作用在系统上的合外力，省略内力和周围环境。FBD是AP考试中所有牛顿定律问题的基础技能：虽然它直接占总分的2-4%，但近30%的考试总分都需要用到FBD才能得分。在自由问答题（FRQ）中，即使你的最终数值答案正确，错误的FBD也会扣分。

**自由体受力图（FBD）** — 隔离系统的标准化简化矢量图，仅显示作用于系统的外力，省略所有内力和周围物体。

*记法:* FBD

> **tip**
>
> 根据AP考试规范：将物体表示为其质心处的一个点，所有力矢量都从该点出发，每个力都用标准符号清晰标注（例如，用$n$表示法向力，$T$表示张力，$f_s$表示静摩擦力）。

## 力的分类与系统隔离

绘制正确FBD的第一步是确定系统边界，然后将所有力分为外力（来自系统外部）和内力（来自系统内部）。根据牛顿第三定律，内力的合力为零，因此FBD中始终省略内力。接下来，将力分为接触力和非接触力两类：

1. **非接触力**：超距作用；在AP物理C力学中，只有重力（$mg$）属于非接触力，且重力始终竖直向下指向地心。
2. **接触力**：需要与其他物体发生物理接触；包括法向力、张力、摩擦力、阻力和施加的推力/拉力。系统与其他物体的每个接触点都会产生至少一个接触力。

避免漏画或多画力的可靠步骤是：1) 先画重力，2) 沿着系统轮廓走，每有一个与其他物体的接触点就添加一个接触力。

**例题:** 一个质量为2 kg的物块被连接在上边缘的绳子拉着沿粗糙斜面向上运动。画出该物块标注正确的FBD。

1. 根据AP规范，将系统定义为隔离的物块，把物块表示为质心处的一个点。
2. 添加唯一的非接触力：重力$\vec{W}$竖直向下（不是垂直于斜面），大小为$W = mg = 19.6 \text{ N}$。
3. 确定所有接触点：物块底边与斜面接触，顶部边缘与绳子接触，因此存在两组接触力。
4. 斜面接触产生的力：画法向力$\vec{n}$垂直于斜面指向物块，动摩擦力$\vec{f}_k$平行于斜面，指向与运动方向相反（物块向上运动，所以摩擦力沿斜面向下）。
5. 绳子接触产生的力：沿着绳子画张力$\vec{T}$，方向背离物块（沿斜面向上）。没有其他力了，FBD绘制完成。

> **考试提示:** 在AP自由问答题中，若题目明确要求你绘制FBD，绝不要画出合力或加速度矢量。FBD中只包含作用在系统上的各个实际力。

## 连接系统的内力与外力

分析多个连接物体（例如滑轮两侧用绳子连接的两个物块）时，你可以为每个物体单独画FBD，也可以为整个组合系统画一个FBD。核心规则是：内力（系统边界内物体之间的作用力）会相互抵消，因此组合系统的FBD中会省略内力，只包含外力（来自系统外物体的力）。

计算整个系统的加速度时，组合系统FBD可以节省时间，但如果你需要求两个连接物体之间的作用力（例如连接绳的张力），你必须隔离单个物体，这样该内力就会成为单个物体FBD中的外力，才能求解。

**例题:** 一个1 kg物块和一个3 kg物块用无质量绳子连接，静止在光滑水平桌面上。从左侧对1 kg物块施加一个10 N的水平推力，方向指向3 kg物块。画出两个物块组成的组合系统的系统级FBD，以及3 kg物块的单独FBD。

1. 对于组合系统：将两个物块都包含在系统边界内，因此它们之间的张力是内力，FBD中省略。
2. 添加非接触力：总重力$(m_1 + m_2)g$竖直向下。
3. 添加接触力：桌面提供的总法向力$n_1 + n_2 = (m_1 + m_2)g$竖直向上，10 N的外施推力向右。没有其他外力了，系统FBD绘制完成。
4. 对于单独的3 kg物块：重新将系统定义为仅包含3 kg物块，因此绳子的张力现在是外力。添加重力$m_2 g$向下，法向力$n_2$向上，张力$\vec{T}$向右。这就是完整的单独FBD。

> **考试提示:** 若题目要求计算两个连接物体之间的作用力，绝不能仅用整体系统的FBD求解；必须隔离单个物体分析。

## 斜面FBD的坐标对齐

斜面是AP考试中最常见的FBD应用场景之一。为简化计算，标准规范是将x轴平行于斜面表面，y轴垂直于斜面。这意味着只有重力矢量需要分解为分量，其他所有力（法向力、张力、摩擦力）都已经沿其中一个坐标轴方向。

$$W_x = mg \sin\theta, \quad W_y = mg \cos\theta$$

where $\theta$ is the angle of the incline measured from the horizontal. A quick check to confirm you did not swap sine and cosine is to test the edge case: if $\theta = 0^\circ$ (flat ground), $W_x = 0$ (no parallel component) and $W_y = mg$ (full weight perpendicular to the ground), which is correct. If $\theta = 90^\circ$ (vertical wall), $W_x = mg$ and $W_y = 0$, which is also correct.

**例题:** 一个5 kg的物块静止在倾角为30°的斜面上，由静摩擦力保持静止。画出FBD，并将所有力分解为符合标准斜面坐标系的分量。

1. 将物块画为质心处的一个点，设置x轴平行于斜面（沿斜面向上为正），y轴垂直于斜面（向外为正）。
2. 画出所有原始力矢量：完整重力$mg$竖直向下，法向力$n$沿y轴正方向，静摩擦力$f_s$沿x轴正方向（阻碍物块沿斜面下滑的趋势）。
3. Resolve weight into components: $W_x = - mg \sin\theta = - (5)(9.8)(\sin 30^\circ) = -24.5 \text{ N}$. The negative sign indicates it points down the incline, opposite the positive x direction.
4. $W_y = - mg \cos\theta = - (5)(9.8)(\cos 30^\circ) \approx -42.4 \text{ N}$. The negative sign indicates it points into the incline, opposite the positive y direction.
5. All other forces are already aligned with the axes: $n = +n \hat{y}$, $f_s = +f_s \hat{x}$. For a stationary block, $\sum F_y = n - mg \cos\theta = 0$, which matches our expectation.

> **考试提示:** 如果你忘了哪个三角函数对应哪个分量，用$\theta = 0^\circ$的边界情况验证；这个检查只需要2秒，就能排除这里一半的常见错误。

## AP风格概念检查

**概念自测**

用这道AP风格的选择题测试你对FBD中力大小的理解：

1. 一个10 kg的物块以恒定速度沿倾角30°的粗糙斜面下滑。在正确绘制的FBD中，以下哪个选项正确排序了作用在物块上的力的大小？

   - A) 重力 > 法向力 > 摩擦力
   - B) 重力 = 法向力 + 摩擦力
   - C) 重力 > 法向力 = 摩擦力
   - D) 摩擦力 > 法向力 > 重力

   *解析:* 速度恒定说明合力为零，因此$n = mg\cos 30^\circ \approx 0.866 mg$，$f = mg\sin 30^\circ = 0.5 mg$，因此$mg > n > f$。选项B错误地将力的大小作为标量相加，而没有将力作为矢量处理。

## 常见错误

- **错误做法:** 画出沿运动方向的「运动力」或「惯性力」
  - 原因: 学生将动量/动能与作用在物体上的实际力混淆，尤其是对于不再受推力的运动物体。
  - 正确做法: 只有当物体受到物理相互作用（接触或重力）时才添加力；运动本身不会产生力。
- **错误做法:** 斜面上物体的法向力画成竖直向上
  - 原因: 学生默认法向力方向和水平面一样，忘记法向力始终垂直于接触面。
  - 正确做法: 无论接触面朝向如何，始终将法向力画为垂直于接触面。
- **错误做法:** 将绳子连接物体的张力画为指向绳子的推力
  - 原因: 学生搞反张力方向，画成指向绳子，而不是背离系统。
  - 正确做法: 软绳的张力始终拉物体，因此将张力画为沿绳子方向背离系统。
- **错误做法:** 在组合系统FBD中包含连接物块之间的内力张力
  - 原因: 学生忘记内力会抵消，导致合力计算多了一个力，得到错误的加速度。
  - 正确做法: 绘制多个连接物体的系统级FBD时，省略所有系统边界内物体之间的作用力。
- **错误做法:** 斜面FBD中只画重力分量，不画竖直向下的完整原始重力矢量
  - 原因: 学生将分解后的重力分量与原始实际力矢量混淆。
  - 正确做法: 原始FBD中始终先画出完整重力矢量竖直向下，画出原始完整力之后再添加分量作为单独矢量。
- **错误做法:** 组合系统FBD中同时添加系统总重力和各部分的单个重力
  - 原因: 组合多个物体时，学生对重力重复计数。
  - 正确做法: 对于组合系统，总重力是$Mg$其中$M$是各单个质量之和；不要单独添加各个物体的重力。

## 速查表

| 类别 | 公式 / 规则 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 力的分类 | Contact: $n, T, f, F_{\text{applied}}$; Non-contact: $W = mg$ | AP C力学中只有重力是非接触力；每个接触力都来自一个接触点 |
| 内力规则 | $\sum \vec{F}_{\text{internal}} = 0$ | 所有FBD都省略内力；仅包含来自系统外部的外力 |
| 斜面重力分量（$\theta$为相对于水平面的倾角） | $W_x = mg \sin\theta$, $W_y = mg \cos\theta$ | $W_x$平行于斜面，$W_y$垂直于斜面；用$\theta=0^\circ$验证可确认没有搞反三角函数 |
| 法向力方向 | Always perpendicular to contact surface | 斜面的法向力绝不要画成竖直向上 |
| 软绳的张力方向 | Always pulls away from the system | Ropes cannot push, so tension never points toward the system |
| 连接系统的加速度 | $a = \frac{\sum F_{\text{external, net}}}{M_{\text{total}}}$ | 仅适用于组合系统FBD；仅用这个公式无法求解内力（张力） |
| AP FBD规范 | All force vectors originate at center of mass | FBD上不要画合力或加速度；只画单个作用力 |

## 下一步

自由体受力图是所有涉及牛顿运动定律问题的必备基础，如果不能正确绘制和解读FBD，你就无法正确应用牛顿定律求解动力学问题。这项技能适用于AP物理C力学的所有后续主题，包括圆周运动、功和能、转动动力学和振动。掌握FBD规范、避免常见错误会在整个考试中带来回报，因为几乎每道FRQ都至少需要一个正确绘制的FBD才能拿到满分。

- [牛顿第三定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u2-newton-s-third-law/)
- [功、能量与功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-overview/)
- [功与功能定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-mech-u3-work-and-the-work-energy/)

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