一维运动学

AP 物理 C：力学· AP Physics C: Mechanics CED — 运动学· 14 分钟阅读

1. 一维运动学核心定义★☆☆☆☆⏱ 3 min

运动学是力学的分支，它在不涉及引发运动的力的前提下描述物体的运动。一维运动学将所有运动限制在一条直线上，因此所有运动物理量只有大小和符号（正负号表示沿直线的方向）。

📘 定义

位移 vs 路程

位移 ( $Δ x$ ) 是位置的净变化量： $Δ x = x_{f} - x_{i}$ ，是带符号的物理量。路程是运动轨迹的总长度，始终为非负数。

例:

一个被向上抛出、在抛出点被接住的球位移为0，但路程不为零

📘 定义

平均速度 vs 平均速率

平均速度是位移除以时间间隔，是带符号的物理量。平均速率是总路程除以时间，始终为非负数。

例:

上述抛接的球平均速度为0，但平均速率不为零

2. 运动物理量的微积分关系★★☆☆☆⏱ 4 min

所有运动物理量都由位置、时间、速度和加速度之间的关系定义。平均物理量是在有限时间间隔 $Δ t = t_{f} - t_{i}$ 上定义的：

ar{v} = rac{ riangle x}{ riangle t} = rac{x_f - x_i}{t_f - t_i}, \quad ar{a} = rac{ riangle v}{ riangle t} = rac{v_f - v_i}{t_f - t_i}

瞬时物理量是平均物理量作为 $Δ t$ 趋近于0时的极限，由此得到AP物理C核心的导数定义：

v(t) = rac{dx}{dt}, \quad a(t) = rac{dv}{dt} = rac{d^2x}{dt^2}

要反转这个关系（从加速度得速度，从速度得位置），使用积分，积分常数由初始条件确定：

v(t) = v_0 + \\int_0^t a(\tau) d\tau, \quad x(t) = x_0 + \\int_0^t v(\tau) d\tau

📐 例题

沿直线轨道运动的玩具车位置由 $x (t) = 2 t^{3} - 12 t^{2} + 10 t + 4$ 给出，其中 $x$ 单位为米， $t$ 单位为秒， $t \geq 0$ 。求(a) $t = 2$ s时的瞬时速度，以及(b) $t = 1$ s到 $t = 3$ s之间的平均速度。

1
求瞬时速度，使用导数定义：
2
$latex: v(t) = \frac{dx}{dt} = 6t^2 - 24t + 10$
3
代入 $t = 2$ s：
4
$latex: v(2) = 6(2^2) - 24(2) + 10 = -14 \, \text{m/s}$
5
负号表示速度沿x轴负方向。求平均速度，先计算区间端点的位置：
6
$latex: x(1) = 4 \, \text{m}, \quad x(3) = -20 \, \text{m}$
7
计算平均速度：
8
$latex: \bar{v} = \frac{x(3) - x(1)}{3 - 1} = \frac{-20 - 4}{2} = -12 \, \text{m/s}$

3. 匀加速度运动学★★☆☆☆⏱ 4 min

当加速度恒定（对所有 $t$ 都有 $a (t) = a$ ）时，通用积分规则简化为三组广泛使用的运动学公式。这些公式对自由下落、匀减速刹车这类问题非常有用，但仅在加速度恒定时有效。

\begin{aligned} v(t) &= v_0 + at \\ x(t) &= x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \\ v^2 &= v_0^2 + 2a(x - x_0) \end{aligned}

📐 例题

一个球从地面竖直向上抛出，初速率为24 m/s，重力加速度向下，大小为9.8 m/s²。求球开始下落前能达到的最大高度。

1
建立坐标系：原点在地面( $x_{0} = 0$ )，x轴正方向向上。加速度向下，因此：
2
$latex: a = -9.8 \, \text{m/s}^2$
3
在最大高度处，球在反向前停止向上运动，因此此时瞬时速度为 $v = 0$ 。
4
我们已知初速度、末速度和加速度，因此使用与时间无关的运动学公式，避免先求解时间：
5
$latex: v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
6
代入数值求解最大高度 $h$ ：
7
$latex: 0^2 = (24)^2 + 2(-9.8)(h - 0) \implies h = \frac{576}{19.6} \approx 29.4 \, \text{m}$

4. 一维运动的图像分析★★★☆☆⏱ 3 min

AP物理C非常考察解读三种常见运动图像的能力，它们的关系直接来自微积分定义：

在 $x - t$ 图像上：任意点的斜率 = 瞬时速度；两点之间的平均斜率 = 平均速度。
在 $v - t$ 图像上：任意点的斜率 = 瞬时加速度；两个时刻之间图像下的净面积 = 位移 $Δ x$ 。
在 $a - t$ 图像上：两个时刻之间图像下的面积 = 速度变化量 $Δ v$ 。

📐 例题

一辆从静止开始沿直公路加速的汽车，速度满足： $0 \leq t \leq 10$ s时 $v (t) = 2 t$ ， $10 < t \leq 20$ s时 $v (t) = 40 - 2 t$ ， $v$ 单位为m/s。求 $t = 0$ 到 $t = 20$ s之间汽车的总位移。

1
根据定义，位移等于两个时刻之间 $v (t)$ 曲线下的净面积。
2
$v (t)$ 曲线构成一个底为20 s、最大高度为20 m/s的三角形，直接计算面积：
3
$latex: \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \, \text{m}$
4
积分验证了这个结果：
5
$latex: \triangle x = \\int_0^{10} 2t dt + \\int_{10}^{20} (40-2t) dt = 100 + 100 = 200 \, \text{m}$

5. 额外练习经典例题★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 快速检测

测试你对平均加速度的理解：

沿x轴运动的物体位置由 $x (t) = t^{3} - 3 t^{2}$ 给出， $x$ 单位为米， $t$ 单位为秒。 $t = 1$ s到 $t = 3$ s之间的平均加速度是多少？
- 0 m/s²
- 3 m/s²
- 6 m/s²
- 12 m/s²
显示答案
6 m/s² —
平均加速度等于 $Δ v /Δ t$ 。求导得 $v (t) = 3 t^{2} - 6 t$ ，因此 $v (1) = - 3$ m/s， $v (3) = 9$ m/s， $Δ v = 12$ m/s， $Δ t = 2$ s，结果为6 m/s²。

📐 例题

一列高速客运列车沿直线轨道以80 m/s行驶，司机发现前方1500 m处铁轨断裂，触发紧急制动。紧急制动给列车恒定的减速度2.5 m/s²。判断列车是否会在到达断裂铁轨前停下，如果停下，求停下时距离断裂铁轨还有多远。

1
原点设在列车触发制动时的位置，x轴正方向指向断裂铁轨。初始条件： $x_{0} = 0$ ， $v_{0} = 80$ m/s， $a = - 2.5$ m/s²。停下时 $v = 0$ 。
2
使用与时间无关的匀加速度公式：
3
$latex: v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0) \implies 0 = 80^2 + 2(-2.5)x \implies x = 1280 \, \text{m}$
4
计算距离断裂铁轨的距离：
5
$latex: 1500 - 1280 = 220 \, \text{m}$
6
列车在断裂铁轨前220 m停下，避免了碰撞。

6. 常见陷阱

错误做法:

在加速度不恒定时使用匀加速度运动学公式。

原因:

即使题目给出加速度是时间或位置的函数，学生仍默认使用记熟的简单公式。

正确做法:

使用这些公式前始终检查加速度是否恒定；如果不恒定，对 $a (t)$ 积分求解 $v (t)$ 和 $x (t)$ 。

错误做法:

计算平均速率时代替总路程使用位移。

原因:

学生混淆位移（位置的净变化）和路程（总路径长度）。

正确做法:

始终用总路程除以时间计算平均速率，绝不要用位移除以时间。

错误做法:

积分加速度/速度时忘记加上初速度/初位置。

原因:

学生忘记积分常数由初始条件确定，默认不是零。

正确做法:

写出运动学积分结果时，始终加上初始条件。

错误做法:

混淆运动图像的斜率和面积，例如把位置-时间图像下的面积当作位移。

原因:

学生混淆位置、速度、加速度之间的求导顺序。

正确做法:

记住：下层的斜率 = 上层量（x→v→a，因此x的斜率是v，v的斜率是a），上层的面积 = 下层量（a的面积是Δv，v的面积是Δx）。

错误做法:

不管坐标系方向如何，都默认重力始终为正。

原因:

学生记住重力是9.8 m/s²，忘记根据坐标系调整符号。

正确做法:

代入公式前，始终根据加速度相对于你定义的正轴的方向确定符号。

7. 速查表

类别	公式	注释
平均速度	$\overset{v}{ˉ} = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x _{f} - x _{i}}{t _{f} - t _{i}}$	位移除以时间，与方向有关
平均加速度	$\overset{a}{ˉ} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v _{f} - v _{i}}{t _{f} - t _{i}}$	速度变化量除以时间
瞬时速度	$v (t) = \frac{d x}{d t}$	位置对时间的导数
瞬时加速度	$a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$	速度的导数，位置的二阶导数
由加速度得到的通用速度公式	$v (t) = v_{0} + \int_{0}^{t} a (τ) d τ$	适用于任何加速度，恒定或非恒定
由速度得到的通用位置公式	$x (t) = x_{0} + \int_{0}^{t} v (τ) d τ$	适用于任何速度，恒定或非恒定
匀加速度：速度公式	$v = v_{0} + a t$	仅适用于恒定 $a$
匀加速度：位置公式	$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$	仅适用于恒定 $a$
匀加速度：与时间无关公式	$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0})$	仅适用于恒定 $a$
运动图像规律	斜率 = 导数，面积 = 积分	Slope of $x$ - $t$ = $v$ , slope of $v$ - $t$ = $a$ ; area of $a$ - $t$ = $Δ v$ , area of $v$ - $t$ = $Δ x$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
平均速度 vs 瞬时速度
2022 · FRQ
变加速度运动学

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一维运动学是AP物理C：力学所有后续内容的基础。接下来你会把这些基于微积分的位置、速度、加速度定义扩展到二维，求解抛体运动和相对运动问题。如果不掌握这里学到的符号约定、导数/积分关系和匀加速度规律，多维运动学和所有后续涉及运动的内容都会难很多。本主题也直接为牛顿第二定律做铺垫，你会在那里把加速度和合力联系起来，之后还会在能量和动量中用到，积分加速度和速度来求解功和冲量。

1. 一维运动学核心定义★☆☆☆☆⏱ 3 min

位移 vs 路程

平均速度 vs 平均速率

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5. 额外练习 经典例题★★★☆☆⏱ 4 min

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