# 电感

> AP 物理 C：电磁学 · 电磁学第 5 单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-inductance/

本模块涵盖 AP 物理 C：电磁学的核心电感概念，包括自感、互感、RL 电路行为、电感器储能和磁能密度，完全符合大学理事会课程大纲要求。

**先修:** [法拉第定律和楞次定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u4-faraday-law/); [基尔霍夫电路定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u1-circuit-rules/); [RC 电路和微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u2-rc-circuits/)

## 学习目标

- 根据磁通量定义自感和互感
- 计算螺线管的自感和共轴线圈的互感
- 分析充放电 RL 电路中的电流行为
- 计算电感器存储的能量和磁能密度
- 分析电感器在稳态和 t=0 时的极限行为

## 电感的核心定义

电感是任何载流电路阻碍电流变化的固有性质，直接由法拉第电磁感应定律得出。当导体中的电流变化时，导体自身（或附近导体）的磁通量也会发生变化，根据楞次定律会产生一个阻碍电流变化的感应电动势。这种效应通常被称为"电惯性"：就像力学中质量阻碍速度变化一样，电感阻碍电流变化。

**电感** — 载流系统阻碍电流变化的性质，单位为亨利（H），其中 $1\ \text{H} = 1\ \text{Wb/A} = 1\ \text{V·s/A}$。

*记法:* $L$ (self-inductance), $M$ (mutual inductance)

*例:* 相同长度下，盘绕导线的电感大于直导线的电感。

> **info**
>
> 电感内容占 AP 物理 C：电磁学考试总分的 10-15%，在选择题和自由问答题中均会出现，通常结合电路分析和能量概念考查。

## 自感

自感发生在当线圈或导体中的变化电流在*同一导体*中感应出电动势时。定义关系直接来自法拉第定律，比例常数就是自感 $L$：

$$\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$$

根据定义，$L$ 也等于总磁链与电流的比值：

$$L = \frac{N\Phi_B}{I}$$

其中 $N$ 是线圈的匝数，$\Phi_B$ 是单匝线圈的磁通量。对于长直螺线管（考试中最常见的几何结构），我们可以推导出 $L$ 的显式公式：对于长度为 $l$、总匝数为 $N$、横截面积为 $A$ 的螺线管，内部磁场为 $B = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N I}{l}$，因此单匝磁通量为 $\Phi_B = BA = \mu_0 \frac{N A I}{l}$。代入 $L$ 的定义可得：

$$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$$

直观理解：电感与匝数的平方成正比，因为匝数越多磁链越大，且每匝都会给其他匝贡献磁通量。

**例题:** 一个长 15 cm 的螺线管有 500 匝，半径为 2.0 cm。求 (1) 它的自感，和 (2) 当螺线管中电流以 120 A/s 的速率增加时，感应电动势的大小。

1. 将所有单位转换为国际单位制：
2. $$l = 0.15\ \text{m}, \ r = 0.02\ \text{m}, \ A = \pi r^2 \approx 1.257 \times 10^{-3}\ \text{m}^2$$
3. 代入螺线管电感公式，使用 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{T·m/A}$：
4. $$L = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(500)^2(1.257 \times 10^{-3})}{0.15} \approx 1.3 \times 10^{-3}\ \text{H} = 1.3\ \text{mH}$$
5. 计算感应电动势的大小：
6. $$|\varepsilon| = L \left|\frac{dI}{dt}\right| = (1.3 \times 10^{-3}\ \text{H})(120\ \text{A/s}) \approx 0.16\ \text{V}$$

> **考试提示:** 计算电感前一定要将长度单位转换为米；如果忘记转换，厘米单位会得到偏差 100 倍的错误结果，这是选择题中常见的干扰项设置。

## 互感

互感描述一个线圈中的变化电流在附近的第二个线圈中感应出电动势的效应。这是变压器和无线功率传输的工作原理，二者都是 AP 考试的常见考点。根据定义，两个线圈之间的互感 $M$ 为：

$$M = \frac{N_2 \Phi_{12}}{I_1} = \frac{N_1 \Phi_{21}}{I_2}$$

其中 $\Phi_{12}$ 是线圈 1 中的电流 $I_1$ 在线圈 2 单匝中产生的磁通量。一个关键性质是 $M_{12} = M_{21} = M$，无论哪个线圈承载电流，互感都是对称的。线圈 2 中产生的感应电动势为：

$$\varepsilon_2 = -M \frac{dI_1}{dt}$$

$M$ 强烈依赖于几何位置：如果线圈对齐且距离很近，第一个线圈的所有磁通量都会穿过第二个线圈，因此 $M$ 很大；如果它们相互垂直或者距离很远，$M$ 接近零。对于两个共轴线圈（一个紧密套在另一个内部，横截面积相同），$M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{l}$。

**例题:** 一个 100 匝的接收线圈紧密缠绕在上一道例题中 500 匝螺线管的中心，二者横截面积相同。求 (1) 两个线圈之间的互感，和 (2) 当螺线管中电流以 80 A/s 的速率减小时，接收线圈中感应电动势的大小。

1. 使用对齐共轴线圈的互感公式：$M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{l}$，其中 $N_1 = 500$（螺线管），$N_2 = 100$（接收线圈）。
2. 代入数值，使用上一道例题中相同的 $A = 1.257 \times 10^{-3}\ \text{m}^2$ 和 $l = 0.15\ \text{m}$：
3. $$M = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(500)(100)(1.257 \times 10^{-3})}{0.15} \approx 2.6 \times 10^{-4}\ \text{H} = 260\ \mu\text{H}$$
4. 计算感应电动势的大小。负号表示根据楞次定律，电动势阻碍电流的减小：
5. $$|\varepsilon_2| = M \left|\frac{dI_1}{dt}\right| = (2.6 \times 10^{-4}\ \text{H})(80\ \text{A/s}) = 0.021\ \text{V} = 21\ \text{mV}$$

> **考试提示:** $M$ 始终是对称的，因此你可以通过任意一个线圈计算磁通量得到。永远选择计算更简单的方式（通常是大线圈到小线圈的磁通量，避免复杂几何计算）。

## RL 电路

RL 电路是包含电阻 $R$、电感器 $L$ 和电压源的串联电路。我们像分析 RC 电路一样使用基尔霍夫环路定律分析 RL 电路，电感器贡献的电势降为 $L dI/dt$。

对于*充电 RL 电路*（$t=0$ 时接入电池，初始电流 $I(0) = 0$），环路定律给出：

$$V - IR - L \frac{dI}{dt} = 0$$

求解这个一阶微分方程，得到电流随时间的变化关系：

$$I(t) = I_{\text{max}} \left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad I_{\text{max}} = \frac{V}{R}, \quad \tau = \frac{L}{R}$$

其中 $\tau = L/R$ 是 RL 电路的时间常数，即电流上升到最大值约 63% 所需的时间。对于*放电 RL 电路*（$t=0$ 时移除电池，RL 组合短路，初始电流 $I(0) = I_0$），解为 $I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$。

> **tip**
>
> 需要记住两个关键极限情况：在 $t=0$（开关刚闭合时），电流为零，因此电感器相当于开路。经过很长时间后，电流恒定（$dI/dt = 0$），因此电感器相当于短路（电势降为零）。

**例题:** 一个 12 V 电池与 200 Ω 电阻和 4.0 H 电感器串联。求 (a) 长时间后的最大电流，(b) 一个时间常数后的电流，(c) $t=0$ 时电流的变化率 $dI/dt$。

1. 长时间后，$dI/dt = 0$，因此电感器相当于短路。最大电流为：
2. $$I_{\text{max}} = \frac{V}{R} = \frac{12\ \text{V}}{200\ \Omega} = 0.060\ \text{A} = 60\ \text{mA}$$
3. 在 $t = \tau$，代入充电公式：
4. $$I(\tau) = I_{\text{max}} (1 - e^{-1}) \approx 0.060 (1 - 0.368) \approx 0.038\ \text{A} = 38\ \text{mA}$$
5. 在 $t=0$，$I = 0$，因此代入环路定律求解 $dI/dt$：
6. $$V = L \frac{dI}{dt} \implies \frac{dI}{dt} = \frac{V}{L} = \frac{12\ \text{V}}{4.0\ \text{H}} = 3.0\ \text{A/s}$$

> **考试提示:** 一定要用两个极限情况验证你的答案：如果在 $t=0$ 得到非零电流，或无穷长时间后电流未达到最大值，说明你混淆了充电和放电公式。

## 电感器中的储能

要在电感器中建立电流，必须克服感应电动势做功，这些功以磁能的形式存储在电感器的磁场中。从功率出发：输入电感器的功率为 $P = \varepsilon I = L I dI/dt = dU/dt$。从 $I=0$ 到最终电流 $I$ 积分得到总存储能量：

$$U = \frac{1}{2} L I^2$$

这是电流为 $I$ 时电感器中存储的总磁能，类似于电容器中存储的能量 $U = \frac{1}{2} C V^2$。我们还可以推导出任意磁场的磁能密度（单位体积的能量），对于均匀 $B$：

$$u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$$

这和电能密度 $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ 的形式对应，是理解电磁能量的核心关系。

**例题:** 求自感例题中 1.3 mH 螺线管通有 2.0 A 稳定电流时存储的总能量，再计算螺线管内部的磁能密度。

1. 使用总能量公式：
2. $$U = \frac{1}{2} L I^2 = 0.5 (0.0013\ \text{H}) (2.0\ \text{A})^2 = 0.0026\ \text{J} = 2.6\ \text{mJ}$$
3. 计算螺线管内部的磁场：
4. $$B = \frac{\mu_0 N I}{l} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(500)(2.0)}{0.15} \approx 0.0084\ \text{T}$$
5. 使用能量密度公式计算，结果和总能量除以螺线管体积得到的值在舍入误差范围内一致：
6. $$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(0.0084)^2}{2 \cdot 4\pi \times 10^{-7}} \approx 28\ \text{J/m}^3$$

> **考试提示:** 如果题目要求存储的能量但没有给出 $L$，先计算 $B$，再用能量密度求总能量，而不是先求解 $L$；这种方法通常更快。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆 RL 电路时间常数 $\tau = L/R$ 与 RC 电路时间常数 $\tau = RC$，在 RL 问题中使用 $\tau = RC$。
  - 原因: 学生记住了时间常数是 $R$ 和另一个元件的乘积，因此不管电路类型都默认写成 $RC$。
  - 正确做法: 解题开始时就明确写出对应电路的时间常数：$\tau = L/R$ 对应 RL，$\tau = RC$ 对应 RC。
- **错误做法:** 认为电感器总是阻断电流，因此流过电感器的电流始终为零。
  - 原因: 混淆了 $t=0$ 的开路极限和稳态行为。
  - 正确做法: 始终检查电流是否变化：如果电流恒定，$dI/dt = 0$，因此感应电动势为零，电感器相当于理想导线。
- **错误做法:** 将自感公式 $L = \mu_0 N^2 A / l$ 用于互感计算，只对一个线圈的匝数平方，而不是两个线圈匝数相乘。
  - 原因: 记忆的螺线管自感公式和互感公式混淆了。
  - 正确做法: 始终从定义 $M = N_2 \Phi_{12}/I_1$ 出发推导特定情况的公式，不要依赖记忆的结果。
- **错误做法:** 计算存储能量时漏掉因子 $1/2$，写 $U = L I^2$ 而不是 $U = \frac{1}{2} L I^2$。
  - 原因: 混淆了瞬时功率关系 $P = L I dI/dt$ 和积分得到的总能量。
  - 正确做法: 永远记住，电感器和电容器的能量都有因子 $1/2$，这来自从零到最终电流/电压的积分过程。
- **错误做法:** 计算螺线管自感时忘记对匝数平方，写 $L = \mu_0 N A / l$。
  - 原因: 混淆了磁链公式和单匝磁通量公式。
  - 正确做法: 始终确认 $L$ 随 $N^2$ 缩放：从 $L = N\Phi/I = N (\mu_0 N I A / l)/I = \mu_0 N^2 A / l$，$I$ 约去后留下 $N^2$。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 自感定义 | $L = \frac{N \Phi_B}{I}, \quad \varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ | 单位：亨利 (H)。负号遵循楞次定律，阻碍电流变化。 |
| 长螺线管电感 | $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l} = \mu_0 n^2 A l$ | $n = N/l$ = 单位长度匝数。适用于长度远大于直径的螺线管。 |
| 互感定义 | $M = \frac{N_2 \Phi_{12}}{I_1}, \quad \varepsilon_2 = -M \frac{dI_1}{dt}$ | $M_{12} = M_{21}$，两个线圈的互感始终对称。 |
| RL 充电电流 | $I(t) = I_{\text{max}} \left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R}$ | 接入恒压源，$I(0) = 0$，$I_{\text{max}} = V/R$。 |
| RL 放电电流 | $I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ | 移除电源，RL 短路，$I(0) = I_0$。 |
| 电感器总能量 | $U = \frac{1}{2} L I^2$ | 稳定电流 $I$ 下存储的总磁能。 |
| 磁能密度 | $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ | 单位体积能量，适用于任何均匀磁场。 |
| 电感器极限行为 | $t=0$: 开路 ($I=0$), $t\to\infty$: 短路 ($dI/dt=0$) | 用于选择题和自由问答题的快速极限验证。 |

## 下一步

电感是 AP 物理 C：电磁学第 5 单元剩余内容的基础概念。掌握直流电路中电感器的行为和磁场的能量关系，能帮助你准备更高级的考点，比如 LC 振荡和交流电路，这些内容在 AP 考试中占比也很高。电感还连接到更广泛的电磁学概念，包括统一电和磁的麦克斯韦方程组。练习电感问题，尤其是 RL 电路的微分方程建立，能培养你应对考试中所有电路相关自由问答题所需的解题能力。

- [第 5 单元电磁学总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-overview/)
- [麦克斯韦方程组](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-maxwell-s-equations/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-inductance/