磁场与磁力

AP 物理 C：电磁学· AP 物理 C：电磁学课程与考试描述（CED）—— 磁场· 14 分钟阅读

1. 磁场核心概念★★☆☆☆⏱ 3 min

磁场（ $B$ ）是仅对运动电荷施加力的矢量场。与电场不同，磁力永远不对电荷做功，因为磁力始终垂直于电荷的位移。磁场的国际单位是特斯拉（T），其中 $1 T = 1 N / (A \cdotp m)$ 。

AP考试中磁力主要在三个核心场景考察：单个运动点电荷受力、宏观载流导线受力、载流线圈受力矩。本主题也是涉及带电粒子轨迹的质谱分析问题的基础。

2. 洛伦兹力定律★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

洛伦兹力定律

\vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}\right)

描述带电粒子在复合电场和磁场中运动时受到的总作用力，是所有磁力计算的出发点。

如果不存在电场，定律可简化为 $F = q v \times B$ 。磁力的大小为 $F = q v B sin θ$ ，其中 $θ$ 是 $v$ 和 $B$ 之间的夹角。

方向遵循叉乘的右手定则：对于正电荷 $q$ ，将右手手指沿 $v$ 方向张开，向 $B$ 方向弯曲手指，拇指指向就是力的方向。对于负电荷 $q$ ，力的方向与上述方向完全相反。一个关键性质：磁力始终垂直于速度，因此它只改变运动方向，不改变速度大小，因此永远不做功。

📐 例题

一个质子带电量 $q = 1.6 \times 1 0^{- 19}$ C，以 $v = 2.0 \times 1 0^{6}$ m/s 沿+x轴运动，穿过磁感应强度为 $B = 0.50$ T $\hat{k}$ （垂直纸面向外）的匀强磁场。求质子受到的磁力的大小和方向。

1
确定已知矢量：
$\vec{v} = 2.0 \times 10^6 \hat{i} \text{ m/s}, \vec{B} = 0.50 \hat{k} \text{ T}, q>0$
2
计算叉乘：
$\vec{v} \times \vec{B} = (2.0 \times 10^6 \hat{i}) \times (0.50 \hat{k}) = 1.0 \times 10^6 (\hat{i} \times \hat{k}) = -1.0 \times 10^6 \hat{j} \text{ m·T/s}$
3
乘以电荷得到力：
$\vec{F} = (1.6 \times 10^{-19})(-1.0 \times 10^6 \hat{j}) = -1.6 \times 10^{-13} \hat{j} \text{ N}$
4
最终结果：大小 $1.6 \times 1 0^{- 13}$ N，方向沿y轴负方向。

Exam tip:

写出最终方向前，一定要明确检查电荷的正负。AP选择题几乎总会设置一个大小正确但方向错误（针对负电荷）的选项来捕捉这个常见错误。

3. 载流导线受到的磁力★★★☆☆⏱ 3 min

导线中的电流是连续的运动电荷流，因此导线受到的力可以直接从洛伦兹力定律推导得出。对于长度为 $d l$ 的无穷小段导线， $d l$ 的方向为惯例电流方向，该段受到的力为 $d F = I d l \times B$ ，其中 $I$ 是电流。

对于匀强磁场，对导线全长积分可得：

\vec{F} = I \left(\int d\vec{l}\right) \times \vec{B}

对于总长为 $L$ 的直导线，公式简化为 $F = I L \times B$ ，大小为 $F = I L B sin θ$ ，其中 $θ$ 是 $L$ （电流方向）和 $B$ 之间的夹角。一个重要结论：匀强磁场中任意闭合载流回路受到的合力为零，因为闭合回路的 $d l$ 积分等于零。

📐 例题

一根长30cm的直导线沿+y轴通有2.0A电流，处于 $B = 1.2$ T $\hat{i} + 0.8$ T $\hat{k}$ 的匀强磁场中。求导线受到的总磁力大小。

1
写出沿电流方向的长度矢量：
$\vec{L} = 0.30 \hat{j} \text{ m}$
2
计算叉乘：
$\vec{L} \times \vec{B} = 0.30 \hat{j} \times (1.2 \hat{i} + 0.8 \hat{k}) = 0.30(-1.2 \hat{k} + 0.8 \hat{i}) = 0.24 \hat{i} - 0.36 \hat{k} \text{ m·T}$
3
乘以电流得到力矢量：
$\vec{F} = 2.0(0.24 \hat{i} - 0.36 \hat{k}) = 0.48 \hat{i} - 0.72 \hat{k} \text{ N}$
4
计算力的大小：
$|\vec{F}| = \sqrt{(0.48)^2 + (0.72)^2} = \sqrt{0.7488} \approx 0.87 \text{ N}$

4. 带电粒子在匀强磁场中的运动★★★☆☆⏱ 3 min

当带电粒子垂直射入匀强磁场时，磁力充当维持匀速圆周运动的向心力。将洛伦兹力大小与向心力相等可得：

qvB = \frac{mv^2}{r}

整理可得圆周运动的半径：

r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}

其中 $p = m v$ 是粒子的动量。回旋加速器的角频率为 $ω = \frac{q B}{m}$ ，它与粒子的速度和半径无关，这一性质是回旋粒子加速器的工作原理。如果粒子的速度有平行于 $B$ 的分量，该分量不受力，因此粒子会沿螺旋轨迹运动。这一性质是质谱分析的基础，不同质量的粒子会按曲率半径分离。

📐 例题

一台质谱仪使用0.25T的匀强磁场分离单电离（ $q = + e$ ）碳同位素。碳-12的质量为 $1.99 \times 1 0^{- 26}$ kg，以 $1.2 \times 1 0^{5}$ m/s 的速度垂直射入磁场。求其圆周轨迹的直径。

1
回顾垂直入射时的半径公式： $r = \frac{m v}{q B}$
2
代入已知值：
$r = \frac{(1.99 \times 10^{-26} \text{ kg})(1.2 \times 10^5 \text{ m/s})}{(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})(0.25 \text{ T})} \approx 0.060 \text{ m} = 6.0 \text{ cm}$
3
题目要求的是直径而非半径：将半径乘以2
4
最终结果：直径 $d = 2 (0.060 m) = 0.12$ m = 12 cm

Exam tip:

AP题目故意更常考察直径（质谱仪实验中测量的物理量），而非半径。写出最终答案前，一定要确认题目要求的物理量是什么。

5. 载流线圈受到的力矩★★★★☆⏱ 2 min

尽管匀强磁场中闭合载流回路受到的合力为零，但存在合力矩，使线圈转动，让其磁偶极矩与磁场对齐。力矩公式为：

\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}

其中 $μ$ 是线圈的磁偶极矩，大小为 $μ = I A$ ， $I$ 是电流， $A$ 是线圈面积。 $μ$ 的方向沿线圈平面的法线方向，可通过右手定则确定：将手指沿电流方向弯曲，拇指指向就是 $μ$ 的方向。力矩的大小为 $τ = I A B sin θ$ ，其中 $θ$ 是 $μ$ 和 $B$ 之间的夹角。磁偶极子在磁场中的势能为 $U = - μ \cdot B$ ，因此最低能量（平衡）状态是 $μ$ 与 $B$ 对齐时。这一关系是电动机和检流计的工作原理。

📐 例题

一个尺寸为 2.0 cm × 3.0 cm 的矩形载流线圈通有5.0A电流，置于0.4T的匀强磁场中。线圈平面与磁场的夹角为60度。求线圈受到的力矩大小。

1
计算线圈面积：
$A = (0.02 \text{ m})(0.03 \text{ m}) = 6.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
2
求出 $θ$ ，即法线（磁偶极矩）与B之间的夹角： $θ = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
3
用大小公式计算力矩：
$\tau = IAB\sin\theta = (5.0 A)(6.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2)(0.4 T)(\sin 30^\circ) = 6.0 \times 10^{-4} \text{ N·m}$

Exam tip:

如果题目给出线圈平面与B的夹角，一定要用90度减去该角得到力矩公式中正确的 $θ$ 。

6. 概念检测

✓ 快速检测

用这道AP风格的选择题检测你的理解：

一个电子以速度 $v = 2.0 \times 1 0^{5} \hat{i}$ m/s 进入速度选择区，区域内有正交的匀强电场 $E = 100 \hat{j}$ V/m 和匀强磁场 $B = B \hat{k}$ T。电子受到的合力为零。求B的大小。
- $2.0 \times 1 0^{- 7}$ T
- $5.0 \times 1 0^{- 4}$ T
- $2.0 \times 1 0^{- 3}$ T
- $5.0 \times 1 0^{6}$ T
显示答案
1 —
合力为零时，电场力大小等于磁力大小： $∣ q E ∣ = ∣ q v B ∣$ 。电荷无论正负都会被消去，因此 $B = E / v = 100/ (2.0 \times 1 0^{5}) = 5.0 \times 1 0^{- 4}$ T。

7. 常见陷阱

错误做法:

忘记为负电荷翻转力的方向，得到与相同速度正电荷相同的方向。

原因:

学生记住了正电荷的右手定则，却没有在叉乘中考虑q的符号。

正确做法:

找到右手定则方向后，一定要明确标出q的符号，如果q为负则翻转方向。

错误做法:

题目问粒子圆周轨迹的直径，却算出半径就停止，得到的答案是正确值的一半。

原因:

学生习惯用常用公式输出半径，没有仔细阅读题目要求。

正确做法:

开始计算前，圈出题目标问的物理量（半径、直径、动量、频率），完成后再次检查。

错误做法:

用 $W = F d$ 计算出磁力做的净功不为零。

原因:

学生将磁力与其他恒力混淆，忘记了它关键的方向性质。

正确做法:

如果题目问磁力做的功，直接说功为零，因为磁力始终垂直于位移。

错误做法:

将电流线圈平面与B的夹角直接用作力矩公式中的 $θ$ 。

原因:

题目通常会给出相对于平面的朝向，因此学生混淆了平面夹角和法线夹角。

正确做法:

记住 $θ$ 是B和磁偶极矩（法线）之间的夹角，因此 $θ = 9 0^{\circ} - ϕ$ ，其中 $ϕ$ 是线圈平面与B的夹角。

错误做法:

声称非匀强磁场中闭合载流回路的合力为零。

原因:

学生记住了合力为零的规则，却忘记它仅适用于匀强磁场。

正确做法:

仅对匀强磁场使用合力为零的规则；对于非匀强磁场，需要积分 $d F = I d l \times B$ 来求合力。

8. 速查表

分类	公式	注释
洛伦兹力	$F = q (E + v \times B)$	负电荷方向翻转；因为 $F ⊥ v$ 所以不做功
直导线受力	$F = I L \times B$	$L$ 指向电流方向；仅适用于匀强 $B$
带电粒子圆周半径	$r = \frac{m v}{q B} = \frac{p}{q B}$	仅适用于速度垂直于匀强 $B$ 的情况
回旋角频率	$ω = \frac{q B}{m}$	非相对论速度下与粒子速度/半径无关
磁偶极矩	$μ = I A \overset{n}{^}$	$\overset{n}{^}$ 是线圈法线，沿电流方向用右手定则确定
载流线圈力矩	$τ = μ \times B$	仅当 $B$ 匀强时，线圈合力才为零
偶极子势能	$U = - μ \cdot B$	$μ$ 与 $B$ 对齐时能量最低
弯曲导线受力（匀强B）	$F = I L_{e n d} \times B$	$L_{e n d}$ 是从弯曲导线起点指向终点的直矢量

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
洛伦兹力方向问题
2022 · FRQ
质谱分析半径问题

下一步

本子主题是第4单元（磁场）其余所有主题的基础先修内容，首先就是通过毕奥-萨伐尔定律和安培定律计算电流产生的磁场。要计算两根平行载流导线之间的作用力，你需要用到本章的载流导线受力公式，结合下一章你会推导的第二根导线产生的B场。如果不掌握本章的方向规则和受力公式，你无法正确解决后续单元中涉及螺线管、电动机或电磁感应的问题。本主题也是AP考试FRQ中常见的所有实际电磁设备问题的基础。