# 磁场与磁力

> AP 物理 C：电磁学 · 第4单元：磁场
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u4-magnetic-fields-and-magnetic-forces/

本核心子主题涵盖AP物理C电磁学中的磁场定义、洛伦兹力、导线受力、带电粒子运动和载流线圈力矩，占考试总分的10–15%，在选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）中均有考察。

**先修:** 矢量叉乘数学知识; 匀速圆周运动运动学; 电流是运动电荷的流动

## 学习目标

- 定义磁场和磁力矢量
- 对运动电荷应用洛伦兹力定律
- 计算载流导线受到的磁力
- 分析带电粒子在匀强磁场中的运动
- 计算磁场中载流线圈受到的力矩

## 磁场核心概念

磁场（$\vec{B}$）是仅对运动电荷施加力的矢量场。与电场不同，磁力永远不对电荷做功，因为磁力始终垂直于电荷的位移。磁场的国际单位是特斯拉（T），其中 $1 \text{ T} = 1 \text{ N}/(\text{A·m})$。

AP考试中磁力主要在三个核心场景考察：单个运动点电荷受力、宏观载流导线受力、载流线圈受力矩。本主题也是涉及带电粒子轨迹的质谱分析问题的基础。

## 洛伦兹力定律

**洛伦兹力定律** — 描述带电粒子在复合电场和磁场中运动时受到的总作用力，是所有磁力计算的出发点。

*记法:* \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}\right)

如果不存在电场，定律可简化为 $\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$。磁力的大小为 $F = qvB\sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{v}$ 和 $\vec{B}$ 之间的夹角。

方向遵循叉乘的右手定则：对于正电荷$q$，将右手手指沿$\vec{v}$方向张开，向$\vec{B}$方向弯曲手指，拇指指向就是力的方向。对于负电荷$q$，力的方向与上述方向完全相反。一个关键性质：磁力始终垂直于速度，因此它只改变运动方向，不改变速度大小，因此永远不做功。

**例题:** 一个质子带电量 $q = 1.6 \times 10^{-19}$ C，以 $v = 2.0 \times 10^6$ m/s 沿+x轴运动，穿过磁感应强度为$\vec{B} = 0.50$ T $\hat{k}$（垂直纸面向外）的匀强磁场。求质子受到的磁力的大小和方向。

1. 确定已知矢量：

   $$\vec{v} = 2.0 \times 10^6 \hat{i} \text{ m/s}, \vec{B} = 0.50 \hat{k} \text{ T}, q>0$$
2. 计算叉乘：

   $$\vec{v} \times \vec{B} = (2.0 \times 10^6 \hat{i}) \times (0.50 \hat{k}) = 1.0 \times 10^6 (\hat{i} \times \hat{k}) = -1.0 \times 10^6 \hat{j} \text{ m·T/s}$$
3. 乘以电荷得到力：

   $$\vec{F} = (1.6 \times 10^{-19})(-1.0 \times 10^6 \hat{j}) = -1.6 \times 10^{-13} \hat{j} \text{ N}$$
4. 最终结果：大小 $1.6 \times 10^{-13}$ N，方向沿y轴负方向。

> **考试提示:** 写出最终方向前，一定要明确检查电荷的正负。AP选择题几乎总会设置一个大小正确但方向错误（针对负电荷）的选项来捕捉这个常见错误。

## 载流导线受到的磁力

导线中的电流是连续的运动电荷流，因此导线受到的力可以直接从洛伦兹力定律推导得出。对于长度为 $d\vec{l}$ 的无穷小段导线，$d\vec{l}$ 的方向为惯例电流方向，该段受到的力为 $d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B}$，其中 $I$ 是电流。

对于匀强磁场，对导线全长积分可得：

$$\vec{F} = I \left(\int d\vec{l}\right) \times \vec{B}$$

对于总长为 $L$ 的直导线，公式简化为 $\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B}$，大小为 $F = ILB\sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{L}$（电流方向）和 $\vec{B}$ 之间的夹角。一个重要结论：匀强磁场中任意闭合载流回路受到的合力为零，因为闭合回路的 $d\vec{l}$ 积分等于零。

> **tip**
>
> 对于匀强磁场中的任意弯曲导线，合力等于连接曲线两个端点的直导线受到的力。这个捷径能在自由作答题中节省大量时间。

**例题:** 一根长30cm的直导线沿+y轴通有2.0A电流，处于 $\vec{B} = 1.2$ T $\hat{i} + 0.8$ T $\hat{k}$ 的匀强磁场中。求导线受到的总磁力大小。

1. 写出沿电流方向的长度矢量：

   $$\vec{L} = 0.30 \hat{j} \text{ m}$$
2. 计算叉乘：

   $$\vec{L} \times \vec{B} = 0.30 \hat{j} \times (1.2 \hat{i} + 0.8 \hat{k}) = 0.30(-1.2 \hat{k} + 0.8 \hat{i}) = 0.24 \hat{i} - 0.36 \hat{k} \text{ m·T}$$
3. 乘以电流得到力矢量：

   $$\vec{F} = 2.0(0.24 \hat{i} - 0.36 \hat{k}) = 0.48 \hat{i} - 0.72 \hat{k} \text{ N}$$
4. 计算力的大小：

   $$|\vec{F}| = \sqrt{(0.48)^2 + (0.72)^2} = \sqrt{0.7488} \approx 0.87 \text{ N}$$

## 带电粒子在匀强磁场中的运动

当带电粒子垂直射入匀强磁场时，磁力充当维持匀速圆周运动的向心力。将洛伦兹力大小与向心力相等可得：

$$qvB = \frac{mv^2}{r}$$

整理可得圆周运动的半径：

$$r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$$

其中 $p = mv$ 是粒子的动量。回旋加速器的角频率为 $\omega = \frac{qB}{m}$，它与粒子的速度和半径无关，这一性质是回旋粒子加速器的工作原理。如果粒子的速度有平行于 $\vec{B}$ 的分量，该分量不受力，因此粒子会沿螺旋轨迹运动。这一性质是质谱分析的基础，不同质量的粒子会按曲率半径分离。

**例题:** 一台质谱仪使用0.25T的匀强磁场分离单电离（$q = +e$）碳同位素。碳-12的质量为 $1.99 \times 10^{-26}$ kg，以 $1.2 \times 10^5$ m/s 的速度垂直射入磁场。求其圆周轨迹的直径。

1. 回顾垂直入射时的半径公式：$r = \frac{mv}{qB}$
2. 代入已知值：

   $$r = \frac{(1.99 \times 10^{-26} \text{ kg})(1.2 \times 10^5 \text{ m/s})}{(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})(0.25 \text{ T})} \approx 0.060 \text{ m} = 6.0 \text{ cm}$$
3. 题目要求的是直径而非半径：将半径乘以2
4. 最终结果：直径 $d = 2(0.060 \text{ m}) = 0.12$ m = 12 cm

> **考试提示:** AP题目故意更常考察直径（质谱仪实验中测量的物理量），而非半径。写出最终答案前，一定要确认题目要求的物理量是什么。

## 载流线圈受到的力矩

尽管匀强磁场中闭合载流回路受到的合力为零，但存在合力矩，使线圈转动，让其磁偶极矩与磁场对齐。力矩公式为：

$$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$$

其中 $\vec{\mu}$ 是线圈的磁偶极矩，大小为 $\mu = IA$，$I$ 是电流，$A$ 是线圈面积。$\vec{\mu}$ 的方向沿线圈平面的法线方向，可通过右手定则确定：将手指沿电流方向弯曲，拇指指向就是 $\vec{\mu}$ 的方向。力矩的大小为 $\tau = IAB\sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{\mu}$ 和 $\vec{B}$ 之间的夹角。磁偶极子在磁场中的势能为 $U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}$，因此最低能量（平衡）状态是 $\vec{\mu}$ 与 $\vec{B}$ 对齐时。这一关系是电动机和检流计的工作原理。

**例题:** 一个尺寸为 2.0 cm × 3.0 cm 的矩形载流线圈通有5.0A电流，置于0.4T的匀强磁场中。线圈平面与磁场的夹角为60度。求线圈受到的力矩大小。

1. 计算线圈面积：

   $$A = (0.02 \text{ m})(0.03 \text{ m}) = 6.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2$$
2. 求出 $\theta$，即法线（磁偶极矩）与B之间的夹角：$\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$
3. 用大小公式计算力矩：

   $$\tau = IAB\sin\theta = (5.0 A)(6.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2)(0.4 T)(\sin 30^\circ) = 6.0 \times 10^{-4} \text{ N·m}$$

> **考试提示:** 如果题目给出线圈平面与B的夹角，一定要用90度减去该角得到力矩公式中正确的$\theta$。

## 概念检测

**概念自测**

用这道AP风格的选择题检测你的理解：

1. 一个电子以速度 $\vec{v} = 2.0 \times 10^5 \hat{i}$ m/s 进入速度选择区，区域内有正交的匀强电场 $\vec{E} = 100 \hat{j}$ V/m 和匀强磁场 $\vec{B} = B \hat{k}$ T。电子受到的合力为零。求B的大小。

   - $2.0 \times 10^{-7}$ T
   - $5.0 \times 10^{-4}$ T
   - $2.0 \times 10^{-3}$ T
   - $5.0 \times 10^{6}$ T

   *答案:* $5.0 \times 10^{-4}$ T

   *解析:* 合力为零时，电场力大小等于磁力大小：$|qE| = |qvB|$。电荷无论正负都会被消去，因此 $B = E/v = 100/(2.0 \times 10^5) = 5.0 \times 10^{-4}$ T。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记为负电荷翻转力的方向，得到与相同速度正电荷相同的方向。
  - 原因: 学生记住了正电荷的右手定则，却没有在叉乘中考虑q的符号。
  - 正确做法: 找到右手定则方向后，一定要明确标出q的符号，如果q为负则翻转方向。
- **错误做法:** 题目问粒子圆周轨迹的直径，却算出半径就停止，得到的答案是正确值的一半。
  - 原因: 学生习惯用常用公式输出半径，没有仔细阅读题目要求。
  - 正确做法: 开始计算前，圈出题目标问的物理量（半径、直径、动量、频率），完成后再次检查。
- **错误做法:** 用 $W = Fd$ 计算出磁力做的净功不为零。
  - 原因: 学生将磁力与其他恒力混淆，忘记了它关键的方向性质。
  - 正确做法: 如果题目问磁力做的功，直接说功为零，因为磁力始终垂直于位移。
- **错误做法:** 将电流线圈平面与B的夹角直接用作力矩公式中的$\theta$。
  - 原因: 题目通常会给出相对于平面的朝向，因此学生混淆了平面夹角和法线夹角。
  - 正确做法: 记住$\theta$是B和磁偶极矩（法线）之间的夹角，因此 $\theta = 90^\circ - \phi$，其中$\phi$是线圈平面与B的夹角。
- **错误做法:** 声称非匀强磁场中闭合载流回路的合力为零。
  - 原因: 学生记住了合力为零的规则，却忘记它仅适用于匀强磁场。
  - 正确做法: 仅对匀强磁场使用合力为零的规则；对于非匀强磁场，需要积分 $d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B}$ 来求合力。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 洛伦兹力 | $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ | 负电荷方向翻转；因为 $\vec{F} \perp \vec{v}$ 所以不做功 |
| 直导线受力 | $\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B}$ | $\vec{L}$ 指向电流方向；仅适用于匀强 $\vec{B}$ |
| 带电粒子圆周半径 | $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ | 仅适用于速度垂直于匀强 $\vec{B}$ 的情况 |
| 回旋角频率 | $\omega = \frac{qB}{m}$ | 非相对论速度下与粒子速度/半径无关 |
| 磁偶极矩 | $\vec{\mu} = I A \hat{n}$ | $\hat{n}$ 是线圈法线，沿电流方向用右手定则确定 |
| 载流线圈力矩 | $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ | 仅当 $\vec{B}$ 匀强时，线圈合力才为零 |
| 偶极子势能 | $U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}$ | $\vec{\mu}$ 与 $\vec{B}$ 对齐时能量最低 |
| 弯曲导线受力（匀强B） | $\vec{F} = I \vec{L}_{end} \times \vec{B}$ | $\vec{L}_{end}$ 是从弯曲导线起点指向终点的直矢量 |

## 下一步

本子主题是第4单元（磁场）其余所有主题的基础先修内容，首先就是通过毕奥-萨伐尔定律和安培定律计算电流产生的磁场。要计算两根平行载流导线之间的作用力，你需要用到本章的载流导线受力公式，结合下一章你会推导的第二根导线产生的B场。如果不掌握本章的方向规则和受力公式，你无法正确解决后续单元中涉及螺线管、电动机或电磁感应的问题。本主题也是AP考试FRQ中常见的所有实际电磁设备问题的基础。

- [毕奥-萨伐尔定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u4-biot-savart-law/)
- [安培定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u4-amp-re-s-law/)
- [电磁学概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-overview/)

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