# 安培定律

> AP 物理 C：电磁学 · 第4单元：磁场
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u4-amp-re-s-law/

本指南讲解安培定律和安培-麦克斯韦定律的积分形式、安培环路的对称性分析，以及无限长直导线、螺线管、环形螺线管、同轴电缆的磁场计算，所有内容都是AP物理C电磁学考试的高频考点。

**先修:** 矢量场的线积分; 磁场方向的右手定则; [微元电流的毕奥-萨伐尔定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u4-biot-savart-law/)

## 学习目标

- 表述安培-麦克斯韦定律的积分形式
- 运用对称性分析选择合适的安培环路
- 计算常见对称电流分布的磁场
- 正确应用包围电流的符号规则
- 规避安培定律问题中常见的考试陷阱

## 安培-麦克斯韦定律（积分形式）

安培定律将闭合安培环路周围的磁场线积分与该环路包围的净电流联系起来。它对任意闭合环路都始终成立，但只有对称电流分布才能化简为可解的表达式，避免了复杂的毕奥-萨伐尔积分。

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( I_{\text{enclosed}} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} \right)$$

等式左侧，$\oint$ 是安培环路的闭合线积分，$\vec{B}$ 是磁场矢量，$d\vec{l}$ 是无穷小切向长度矢量。等式右侧，$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T·m/A}$ 是真空磁导率，$I_{\text{enclosed}}$ 是穿过环路的净电流，$\epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ 是对应时变电场的位移电流项。

对于恒定电流，$\frac{d\Phi_E}{dt} = 0$，因此方程简化为原始安培定律：$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$。$I_{\text{enclosed}}$ 的符号遵循右手定则：右手四指沿积分方向弯曲，大拇指指向为正电流方向。

**例题:** 利用安培定律推导距离载流为$I$、垂直纸面向外的无限长直导线$r$处的磁场。

1. 1. 对称性分析：磁场绕导线呈圆周分布，同一半径$r$处所有点的磁场大小恒定。我们选择以导线为中心、半径为$r$的圆形安培环路，沿逆时针方向积分，与右手定则得到的$\vec{B}$方向一致。
2. 2. 计算线积分：$\vec{B}$ 在环路上处处与$d\vec{l}$平行，且大小$B$恒定，因此
3. $$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \oint dl = B(2\pi r)$$
4. 3. 计算包围电流：整个电流$I$都被环路包围，且方向垂直纸面向外符合正方向，因此$I_{\text{enclosed}} = I$。
5. 4. 代入安培定律求解$B$：
6. $$B(2\pi r) = \mu_0 I \implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

> **考试提示:** 选择安培环路前一定要先做对称性分析。如果B无法从积分中提出，安培定律就无法化简得到B的解。

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## 螺线管的磁场

螺线管是缠绕在芯上的长线圈，用于产生均匀磁场，是AP考试最常考察的几何结构之一。对于理想无限长螺线管，对称性分析告诉我们，线圈内部磁场均匀且平行于螺线管轴线，线圈外部磁场为零。

螺线管的标准安培环路是矩形：一条长度为$L$的边在螺线管内部平行于轴线，另一条长度为$L$的边在外部平行于轴线，另外两条短边垂直于轴线。

**例题:** 一个无限长螺线管单位长度有$n$匝，每匝通有电流$I$，求螺线管内部和外部的磁场。

1. 1. 选择标准矩形安培环路，积分方向与螺线管内部$\vec{B}$方向一致。
2. 2. 计算线积分：两条垂直边有$\vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$，外侧边$B=0$，因此只有内侧边有贡献：
3. $$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B L$$
4. 3. 计算包围电流：包围的匝数为$nL$，每匝电流$I$方向为正，因此$I_{\text{enclosed}} = n L I$。
5. 4. 代入安培定律求解：
6. $$B L = \mu_0 n L I \implies B = \mu_0 n I \quad (\text{inside})$$
7. 螺线管外部，净包围电流抵消为零，因此$B = 0$（外部）。

> **考试提示:** $B = \mu_0 n I$ 结果仅适用于无限长螺线管。AP考试经常考察有限长螺线管端点的磁场是中心值的一半这一结论。

*计算器:* forbidden

## 圆柱对称性与同轴电缆

圆柱对称电流分布（实心导线、同轴电缆）是AP自由回答题的常见考点，因为这类问题需要在多个包围电流不同的区域应用安培定律。对于任何沿轴线方向的圆柱对称电流，我们总是选择以轴线为中心的圆形安培环路，所有区域的线积分都可以化简为$B(2\pi r)$。

对于半径为$R$的实心导线中的均匀电流分布，半径$r < R$处的包围电流与包围面积成正比：$I_{\text{enclosed}} = I \frac{r^2}{R^2}$。

**例题:** 同轴电缆的内实心导线半径为$R_1$，通有总电流$I$垂直纸面向外，外薄壁圆柱壳半径为$R_2$，通有总电流$I$垂直纸面向里。求所有$r$处$B$关于$r$的函数。

1. 1. 所有区域中，对称性给出线积分结果为：
2. $$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(2\pi r)$$
3. 2. 区域1：$r < R_1$（内导线内部）：包围电流为$I_{\text{enclosed}} = I \frac{r^2}{R_1^2}$。代入安培定律：
4. $$B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{R_1^2} \implies B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R_1^2}$$
5. $B$在该区域随$r$线性增大。
6. 3. 区域2：$R_1 < r < R_2$（两导体之间）：所有内导线电流都被包围，因此$I_{\text{enclosed}} = I$：
7. $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
8. $B$在该区域随$1/r$减小。
9. 4. 区域3：$r > R_2$（电缆外部）：净包围电流为$I - I = 0$，因此电缆外部$B = 0$。

> **考试提示:** 计算净包围电流时一定要检查电流方向。同轴电缆的外电流几乎总是与内电流方向相反，因此外部磁场为零。

*计算器:* allowed

## 额外的考试风格例题

**例题:** 一个环形螺线管总匝数为200匝，通有2 A电流。环形螺线管内半径为5 cm，外半径为10 cm。横截面中心$r = 0.075$ m处的磁场大小是多少？

1. 我们选择与环形螺线管同心、半径$r = 0.075$ m的圆形安培环路。对称性给出线积分$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(2\pi r)$，包围电流为$N I = 200 \times 2 = 400$ A。
2. 整理安培定律求解$B$：
3. $$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(400)}{2\pi (0.075)} \approx 5.3 \times 10^{-4}\ \text{T}$$

**例题:** 半径为$R$的长实心导电圆柱，通有非均匀电流密度$J(r) = k r$，其中$k$为正常数。(a) 证明总电流$I = \frac{2}{3} k \pi R^3$；(b) 求$r < R$时的$B(r)$；(c) 求$r > R$时的$B(r)$。

1. (a) 总电流是$J$在横截面上的积分。半径$r$的细圆环面积$dA = 2\pi r dr$，因此$dI = J dA = 2\pi k r^2 dr$。从0到$R$积分：
2. $$I = \int_0^R 2\pi k r^2 dr = 2\pi k \frac{R^3}{3} = \frac{2}{3} k \pi R^3$$
3. (b) 对于$r < R$，包围电流为：
4. $$I_{\text{enclosed}} = \int_0^r 2\pi k r'^2 dr' = \frac{2}{3} \pi k r^3$$
5. 代入安培定律：$B(2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$，因此：
6. $$B = \frac{\mu_0 k r^2}{3} \quad (r < R)$$
7. (c) 对于$r > R$，所有电流都被包围，因此$I_{\text{enclosed}} = I = \frac{2}{3} k \pi R^3$。代入安培定律：
8. $$B(2\pi r) = \mu_0 \left(\frac{2}{3} k \pi R^3\right) \implies B = \frac{\mu_0 k R^3}{3 r} \quad (r > R)$$

**例题:** 同轴电力电缆通有150 A电流，内半径2.0 cm，外导体在6.0 cm处，内外电流大小相等方向相反。距离轴线4.0 cm处的$B$是多少？它会干扰检测阈值为$5 \times 10^{-4}$ T的传感器吗？

1. 目标点$r = 0.04$ m，位于两个导体之间，因此所有内导线电流都被包围。
2. 使用安培定律得到的同轴电缆两导体间的结果：
3. $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(150)}{2\pi (0.04)} = 7.5 \times 10^{-4}\ \text{T}$$
4. 该值大于$5 \times 10^{-4}$ T的阈值，因此电缆会干扰传感器。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将$B = \mu_0 n I$用于有限长螺线管端点的磁场计算。
  - 原因: 无限长螺线管的结果依赖于无限长对称性，该对称性抵消了外部磁场，均匀了内部磁场，不适用于有限长螺线管的端点。
  - 正确做法: 对于长有限长螺线管，需说明$B = \mu_0 n I$仅在中心附近有效，端点处的磁场为中心值的一半。
- **错误做法:** 不考虑电流方向相对于积分符号规则的影响，直接将所有包围电流相加。
  - 原因: 学生往往只关注大小，忽略线积分的符号规则，导致得到错误的净包围电流。
  - 正确做法: 求和前始终用右手定则为每个包围电流分配正负符号。
- **错误做法:** 对于非对称安培环路，将$B$从线积分中提出。
  - 原因: 安培定律对任意闭合环路都成立，但只有当$B$在环路所有点上大小恒定且平行于$d\vec{l}$时，才能化简积分。
  - 正确做法: 将$B$提出积分前，始终确认$B$在环路所有点上大小恒定，且与$d\vec{l}$平行或反平行。
- **错误做法:** 当安培环路位于载流导线内部时，将总电流$I$直接作为$I_{\text{enclosed}}$。
  - 原因: 学生做题太快，忘记只有穿过安培环路的电流才会计入$I_{\text{enclosed}}$。
  - 正确做法: 对于均匀电流分布内部的任意点，$I_{\text{enclosed}}$等于总电流乘以安培环路包围面积与导体总横截面积的比值。
- **错误做法:** 分析充电电容器时遗漏位移电流项。
  - 原因: 恒定电流例题中通常省略位移电流，因此学生忘记当电通量随时间变化时必须包含该项。
  - 正确做法: 如果问题涉及随时间变化的电场，始终将位移电流项$\epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$加到总包围电流中。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 安培-麦克斯韦积分定律 | $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left(I_{\text{enc}} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}\right)$ | 任意闭合环路的通用形式，包含位移电流 |
| 安培定律（恒定电流） | $\displaystyle \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ | 适用于不随时间变化的电流，$d\Phi_E/dt = 0$ |
| 无限长直导线 | $\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ | $r$ = 到导线轴线的距离，磁场绕导线分布 |
| 均匀实心无限导线（$r < R$） | $\displaystyle B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$ | $R$ = 导线半径，均匀电流分布 |
| 无限长螺线管（内部） | $B = \mu_0 n I$ | $n$ = 单位长度匝数，内部磁场均匀沿轴线 |
| 无限长螺线管（外部） | $B = 0$ | 仅适用于无限长近似 |
| 环形螺线管半径$r$处 | $\displaystyle B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$ | $N$ = 总匝数 |
| 同轴电缆（两导体之间） | $\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ | 内外电流大小相等方向相反 |
| 同轴电缆（外部） | $B = 0$ | 净包围电流为零 |

## 下一步

安培定律是AP物理C电磁学中所有后续磁场和电磁感应相关主题的基础先修知识。接下来你将应用安培定律分析充电电容器中的位移电流，这对于理解麦克斯韦方程组、电与磁的统一以及电磁波至关重要。你还将使用安培定律推导螺线管和同轴电缆的电感，这是第5单元（电磁感应）的核心主题。如果不掌握本主题的对称性分析和安培环路选择，你将无法解决电感问题，也无法处理需要从对称电流分布求磁通量的法拉第定律应用问题。安培定律是描述所有电磁现象的四个麦克斯韦方程之一。

- [电感](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-inductance/)
- [电磁学概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-overview/)
- [法拉第电磁感应定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-c-em-u5-faraday-s-law-of-induction/)

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