# 原子核质量、结合能与强核力

> AP 物理 2 · 第7单元：量子、原子与核物理
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-nuclear-mass-binding-energy-and/

本子主题涵盖质量亏损计算、结合能、用于判断核稳定性的比结合能，以及束缚原子核的强核力的核心性质，是第7单元所有核物理题目答题的核心基础。

**先修:** [质能等价（$E=mc^2$）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-modern-physics-mass-energy-equivalence/); [基础原子核符号表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-nuclear-structure/); 带电粒子间的库仑斥力

## 学习目标

- 计算任意给定原子核的质量亏损和总结合能
- 利用比结合能比较不同原子核的稳定性
- 表述并应用强核力的核心性质
- 利用结合能差计算核反应释放的能量

## 核心概念概述

本内容占AP物理2第7单元考试权重的很大一部分，占比为20-25%，选择题和自由作答题部分均会考察。它将质能转换与核稳定性联系起来，是考试中所有后续核物理内容的学习基础。

**核心核物理术语** — 原子核质量是中性原子或原子核的实测质量，通常以原子质量单位（u）表示，1 u定义为1个中性碳-12原子质量的1/12。结合能是将原子核拆分为自由核子所需的能量，强核力是将核子束缚在一起的相互作用。

## 质量亏损与质能转换

任何稳定束缚原子核的实测质量总是小于其组成的单个自由质子和中子的质量之和。这个缺失的质量称为**质量亏损**（$\Delta m$）。根据质能等价原理，当核子结合时，部分质量转化为将原子核束缚在一起的结合能，因此产生了这个差值。

**质量亏损公式** — 在AP计算中，我们使用中性原子质量，因为电子质量会在反应中自动抵消。公式为：

*记法:* \Delta m

$$\Delta m = Z m_\text{H} + N m_n - m_\text{atom}$$

其中 $Z$ 是原子序数，$N = A-Z$ 是中子数，$m_\text{H}$ 是中性氢原子的质量，$m_n$ 是自由中子的质量，$m_\text{atom}$ 是中性原子的质量。AP考试中常用的换算关系是 $1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}/c^2$，因此结合能可以直接计算为 $E_b (\text{MeV}) = \Delta m (\text{u}) \times 931.5$，不需要额外的 $c^2$ 项。

**例题:** 计算锂-7（$^7\text{Li}$）的质量亏损和总结合能，已知 $m_\text{atom}(^7\text{Li}) = 7.01600\ \text{u}$，$m_\text{H} = 1.00783\ \text{u}$，$m_n = 1.00866\ \text{u}$。

1. 1. 确定 $Z$ 和 $N$：锂的 $Z=3$，因此 $N = 7-3 = 4$。
2. 2. 计算自由组成粒子的总质量：
3. $$3(1.00783) + 4(1.00866) = 3.02349 + 4.03464 = 7.05813\ \text{u}$$
4. 3. 减去束缚原子质量得到质量亏损：
5. $$\Delta m = 7.05813 - 7.01600 = 0.04213\ \text{u}$$
6. 4. 将质量亏损换算为结合能：
7. $$E_b = 0.04213 \times 931.5 \approx 39.2\ \text{MeV}$$

> **tip**
>
> AP计算中请始终使用中性原子质量；电子质量会自动抵消，因此你永远不需要减去电子质量来得到裸核质量。

## 比结合能与核稳定性

总结合能随核子数增加而增加，因此无法用于比较不同大小原子核的稳定性。为了比较稳定性，我们使用**比结合能**，定义为 $\text{BE}/A = E_b/A$。比结合能越高，原子核结合越紧密，稳定性越强。

比结合能曲线具有特征形状：轻核（$A < 20$）比结合能快速上升，在 $A \approx 56$ 处达到峰值（铁-56是最稳定的原子核之一），之后重核（$A > 56$）的比结合能缓慢下降。这解释了为什么轻核聚变和重核裂变都会释放能量：两个过程都产生更靠近峰值、平均比结合能更高的原子核。

**例题:** 两个氘核（$^2\text{H}$）聚变生成一个氦-3原子核和一个中子。两个氘核的总结合能为 $4.46\ \text{MeV}$，氦-3的结合能为 $7.72\ \text{MeV}$。该反应释放多少能量？

1. 1. 释放的能量等于生成物总结合能与反应物总结合能的差值。
2. 2. 反应物总结合能为4.46 MeV。自由中子的结合能为0，因此生成物总结合能为7.72 MeV。
3. 3. 计算释放的能量：
4. $$\Delta E = \text{BE}_\text{products} - \text{BE}_\text{reactants} = 7.72 - 4.46 = 3.26\ \text{MeV}$$
5. 这与质量亏损的逻辑一致：生成物总质量小于反应物，因此缺失的质量转化为释放的能量。

> **tip**
>
> 当要求证明能量是否释放时，AP考试中结合能差和质量差都是可接受的，只要你的符号正确即可。

## 强核力的性质

质子会通过长程库仑力相互排斥，因此原子核需要一个吸引力来维持稳定，这就是强核力。AP物理2要求你记住四个核心性质：

1. 它是极短程力：仅作用于相邻核子之间，作用范围约为1-2飞米（$1\ \text{fm} = 10^{-15}\ \text{m}$）。距离超过2 fm后，强核力几乎降至零。
2. 在短距离（1 fm）下，它比库仑斥力强约100倍。
3. 距离小于约0.5 fm时，它表现为排斥力，这阻止了原子核坍缩成一个点。
4. 它与电荷无关：在任意一对核子之间（质子-质子、质子-中子、中子-中子）的作用都相同。

短程性质解释了比结合能曲线的形状：在大原子核中，每个核子仅通过强核力与相邻邻居相互作用，因此增加更多核子不会提高每个核子的强吸引力。而库仑斥力是长程力，因此随着原子核增大，累积斥力增加，降低了重核的比结合能。稳定重核需要比质子更多的中子，因为中子增加强吸引力的同时不会增加库仑斥力。

**例题:** 锡-120是稳定重核，$Z=50$，$N=70$。解释为什么它的中子数远多于质子数，而不是两者数量相等。

1. 1. 回忆：强核力是短程力，质子间的库仑斥力是长程力。
2. 2. 在含有50个质子的大原子核中，每个质子都会受到其他所有49个质子的斥力，因此产生的净斥力很大，会使原子核解体。
3. 3. 每个核子仅能从相邻核子获得强吸引力，因此增加额外中子会增加吸引性的强作用力，同时不会增加额外的库仑斥力。
4. 4. 如果锡-120的质子和中子数量相等，累积的库仑斥力会使原子核不稳定，因此需要额外中子来维持稳定。

> **tip**
>
> AP考试几乎总是考察强核力的短程性质。任何关于重核稳定性的问题都需要将短程性质与不断增加的累积库仑斥力联系起来。

## 常见错误

- **错误做法:** 将$\Delta m$计算为 $m_\text{atom} - (Z m_p + N m_n)$，得到负的质量亏损。
  - 原因: 学生混淆了哪个质量更大；自由未结合核子的质量大于束缚原子核的质量。
  - 正确做法: 始终记住 $\Delta m = (\text{自由核子总质量}) - (\text{束缚核质量})$，因此质量亏损始终为正。
- **错误做法:** 认为总结合能越高，原子核越稳定。
  - 原因: 学生混淆了总结合能和比结合能；铀的总结合能比铁高，但稳定性差得多。
  - 正确做法: 始终使用比结合能（$\text{BE}/A$）比较不同大小原子核的稳定性。
- **错误做法:** 将释放能量计算为 $\Delta E = (\text{质量}_\text{生成物} - \text{质量}_\text{反应物})c^2$，得到负的释放能量。
  - 原因: 学生混淆了质量转换的方向；结合更紧密的生成物质量小于反应物质量。
  - 正确做法: 释放的能量 = $(\text{质量}_\text{反应物} - \text{质量}_\text{生成物})c^2$，放热核反应的结果始终为正。
- **错误做法:** 认为强核力是长程力，或者在所有距离下都吸引核子。
  - 原因: 学生混淆了强核力和库仑力的性质。
  - 正确做法: 记住距离规则：$<0.5\ \text{fm}$ = 排斥，$0.5-2\ \text{fm}$ = 吸引，$>2\ \text{fm}$ = 几乎为零；强核力始终是短程力。
- **错误做法:** 认为强核力将电子束缚在原子核周围的轨道上。
  - 原因: 学生混淆了束缚原子核的力和束缚原子的力。
  - 正确做法: 强核力仅作用于原子核内的核子之间；静电引力将电子束缚在原子核周围。
- **错误做法:** 忘记正确换算原子质量单位，当题目要求单位为MeV时得到单位为焦耳的结果。
  - 原因: 学生忘记了核计算中方便的换算因子。
  - 正确做法: 记住 $1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}$，因此 $E_b(\text{MeV}) = \Delta m(\text{u}) \times 931.5$，不需要额外的 $c^2$ 项。

## 速查表

| 类别 | 公式/性质 | 备注 |
| --- | --- | --- |
| 质量亏损 | $\Delta m = Z m_\text{H} + N m_n - m_\text{atom}$ | 使用原子质量，电子质量自动抵消；$\Delta m > 0$ 恒成立 |
| 总结合能 | $E_b = \Delta m c^2$ | 将原子核拆分为自由核子所需的总能量 |
| u 到 MeV 换算 | $E_b (\text{MeV}) = \Delta m (\text{u}) \times 931.5$ | AP考试中非常方便，不需要额外 $c^2$ 项 |
| 比结合能 | $\text{BE}/A = E_b / A$ | 更高 $\text{BE}/A$ = 更稳定；用于不同大小原子核的比较 |
| 反应释放能量 | $\Delta E = (\sum m_r - \sum m_p)c^2 = \sum \text{BE}_p - \sum \text{BE}_r$ | 正 $\Delta E$ = 释放能量 |
| 强核力 | $d < 0.5$ fm: 排斥；$0.5 < d < 2$ fm: 吸引；$d > 2$ fm: ~0 | 短程、与电荷无关，在1 fm处比库仑力强100倍 |

## 下一步

本子主题是AP物理2考试中所有后续核物理概念的基础，包括核反应、放射性衰变、裂变和聚变。理解比结合能和强核力性质对于证明核过程为什么释放能量至关重要，这是自由作答题的常见考点。掌握质量亏损计算还能帮助你解决选择题中频繁出现的核衰变和核反应能量问题。接下来，探索相关主题，完成第7单元的完整学习。

- [第7单元 核物理概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-overview/)
- [核衰变](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-nuclear-decay/)
- [质能等价](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-mass-energy-equivalence/)

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