核衰变

AP 物理 2· AP Physics 2 CED — Quantum, Atomic, and Nuclear Physics· 14 分钟阅读

1. 核衰变基础与符号表示★★☆☆☆⏱ 3 min

核衰变（又称放射性衰变）是不稳定原子核自发发生分解，通过释放电离辐射达到更稳定低能态的过程。原子核不稳定的原因包括中子质子比失衡、核子总数过大，或在之前的核反应后处于激发态。虽然无法预测单个原子核何时衰变，但大量不稳定原子核的衰变服从可预测的统计规律。

📘 定义

核素符号表示

^A_Z \text{X}

表示原子核的标准符号，其中 $A$ 是质量数（核子数，等于质子数+中子数）， $Z$ 是原子序数（质子数/电荷数）， $X$ 是元素的化学符号。

2. 衰变类型与守恒定律★★☆☆☆⏱ 4 min

所有核衰变反应都必须满足两个基本守恒定律，这也是AP物理2考试的常考点：总核子数（ $A$ ）守恒和总电荷（ $Z$ ）守恒。反应左侧的 $A$ 值总和等于产物侧的 $A$ 值总和， $Z$ 值也满足相同的等式关系。

α衰变：发生在质量过大（ $A > 200$ ）无法稳定存在的重核素中，会放出α粒子（ $_{2}^{4} α$ ，与氦原子核完全相同），最终嬗变为新元素。
β⁻衰变：最常见的β衰变类型，发生在中子数过多的原子核中。一个中子衰变为一个质子、一个高能电子（ $_{- 1}^{0} β^{-}$ ）和一个反中微子，最终发生嬗变。
γ衰变：发生在处于激发能态的原子核中。原子核放出高能γ光子（ $_{0}^{0} γ$ ）释放多余能量， $A$ 和 $Z$ 都不发生变化，因此不发生嬗变。

📐 例题

碳-14（ $_{6}^{14} C$ ）发生β⁻衰变，生成子核氮（N）。写出完整配平的衰变方程，并确定氮的质量数和原子序数。

1
先写出β⁻衰变的通式框架：
2
$^{14}_{6} \text{C} \rightarrow ^A_{Z} \text{N} + ^0_{-1} \beta^- + \bar{\nu}$
3
应用核子数守恒求解 $A$ ：
4
$14 = A + 0 \implies A = 14$
5
应用电荷数守恒求解 $Z$ ：
6
$6 = Z + (-1) \implies Z = 7$
7
写出完整配平的方程，确认子核为氮-14：
8
$^{14}_{6} \text{C} \rightarrow ^{14}_{7} \text{N} + ^0_{-1} \beta^- + \bar{\nu}$

3. 指数衰变、半衰期与活度★★★☆☆⏱ 5 min

放射性衰变是一个统计过程，瞬时衰变速率与剩余未衰变原子核数 $N (t)$ 成正比，由此得到微分衰变定律 $\frac{d N}{d t} = - λ N$ ，其中 $λ$ 是衰变常数（单位为时间的倒数， $λ$ 越大衰变越快）。求解该方程得到指数衰变定律：

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

其中 $N_{0}$ 是 $t = 0$ 时未衰变原子核的初始数量。半衰期（ $T_{1/2}$ ）定义为原有不稳定原子核半数发生衰变所需的时间。将 $N = N_{0} /2$ 、 $t = T_{1/2}$ 代入得到半衰期和衰变常数的核心关系：

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda}

活度 $R (t)$ 是可测量的衰变速率（单位时间内的衰变次数），等于 $R = \frac{d N}{d t} = λ N (t)$ 。活度同样服从指数衰变定律 $R (t) = R_{0} e^{- λ t}$ ，其中 $R_{0} = λ N_{0}$ 是初始活度。计算时，直接用半衰期表示衰变规律通常更简便：经过 $n = t / T_{1/2}$ 个半衰期后， $N (t) = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$ ， $R (t) = R_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$ 。

📐 例题

一份放射性碘-131样品的初始活度为1280 MBq。碘-131的半衰期为8天。求24天后样品的活度；已知 $λ = 0.0866 天^{- 1}$ ，计算初始未衰变碘-131原子核的数量。

1
计算经过的半衰期个数：
2
$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{24}{8} = 3$
3
使用半衰期活度公式求最终活度：
4
$R = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1280 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 160 \text{ MBq}$
5
为求初始原子核数，使用 $R_{0} = λ N_{0}$ ，将活度单位转换为每天衰变次数以匹配 $λ$ 的单位：
6
$1280 \text{ MBq} = 1.10592 \times 10^{14} \text{ decays/day}$
7
求解 $N_{0}$ ：
8
$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{1.10592 \times 10^{14}}{0.0866} \approx 1.28 \times 10^{15} \text{ nuclei}$

4. 质能等价与衰变Q值★★★☆☆⏱ 4 min

核衰变要自发发生，衰变产物的总质量必须小于母核的质量。根据 $E = Δ m c^{2}$ ，质量差 $Δ m$ 会转化为衰变产物的动能，这部分能量就是衰变的Q值，定义为：

Q = (m_{\text{parent}} - \sum m_{\text{products}}) c^2

若 $Q > 0$ ，则衰变自发发生（放热），所有天然发生的核衰变都满足这一点。若 $Q < 0$ ，则衰变无法自发发生。AP题目中有一个简便技巧：可以直接使用原子质量（而非原子核质量），因为α衰变和β⁻衰变方程两侧的总电子数相等，电子质量会相互抵消。记住 $1 u \cdot c^{2} = 931.5 MeV$ 。

📐 例题

钋-210（ $_{84}^{210} Po$ ，原子质量 = 209.98287 u）发生α衰变，生成铅-206（ $_{82}^{206} Pb$ ，原子质量 = 205.97447 u）和α粒子（ $_{2}^{4} He$ ，原子质量 = 4.00260 u）。计算衰变的Q值并验证衰变是自发的。

1
确认衰变方程配平，注意电子质量会抵消：
2
$^{210}_{84} \text{Po} \rightarrow ^{206}_{82} \text{Pb} + ^4_2 \text{He} \quad (84 e^- = 82 e^- + 2 e^-)$
3
计算产物的总质量：
4
$m_{\text{products}} = 205.97447 + 4.00260 = 209.97707 \text{ u}$
5
计算母核和产物的质量差：
6
$\Delta m = m_{\text{parent}} - m_{\text{products}} = 209.98287 - 209.97707 = 0.00580 \text{ u}$
7
使用1 u = 931.5 MeV/c²的转换关系将质量差转换为Q值：
8
$Q = 0.00580 \text{ u} \cdot c^2 \times 931.5 \frac{\text{MeV}}{\text{u} \cdot c^2} \approx 5.40 \text{ MeV}$
9
由于 $Q > 0$ ，因此衰变是自发的，符合预期。

5. AP风格概念检测★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 快速检测

用这些AP风格题目测试你对核衰变的理解：

研究人员有一份纯的放射性钠-24样品，半衰期为15小时，初始活度为800 Bq。60小时后样品的活度是多少？
- A) 100 Bq
- B) 200 Bq
- C) 50 Bq
- D) 400 Bq
显示答案
C) 50 Bq —
正确：已经过4个半衰期，因此 $R = 800 \times (1/2)^{4} = 50$ Bq。其他选项都对应半衰期个数计算错误。
地质学家对一份含钾-40的火山岩样品进行定年，钾-40的半衰期为 $1.25 \times 1 0^{9}$ 年。样品中未衰变钾-40与衰变产物氩-40的比例为1:3。岩石的年龄是多少？
- A) $1.25 \times 1 0^{9}$ years
- B) $2.5 \times 1 0^{9}$ years
- C) $3.75 \times 1 0^{9}$ years
- D) $5.0 \times 1 0^{9}$ years
显示答案
B) $2.5 \times 10^9$ years —
剩余原有钾的1/4，对应2个半衰期，因此年龄 = $2 \times 1.25 \times 1 0^{9} = 2.5 \times 1 0^{9}$ 年。
医院为心脏成像扫描订购了一份500 MBq的锝-99m样品，锝-99m的半衰期为6小时。如果样品在使用前24小时制备，使用时活度是多少？是否满足最低25 MBq的要求？
显示答案
31.25 MBq，满足要求 —
经过了4个半衰期，因此 $R = 500/16 = 31.25$ MBq，高于25 MBq的最低要求，因此样品可用。

6. 常见陷阱

错误做法:

配平β⁻衰变时，为了计入发射出的电子，将子核的质量数 $A$ 和原子序数 $Z$ 都减1。

原因:

学生错误地将电子的微小质量当成核子质量，并且混淆了β粒子电荷的符号。

正确做法:

记住β⁻衰变是将一个中子转化为一个质子，因此总 $A$ 不变， $Z$ 增加1。

错误做法:

使用错误的反比关系 $λ = \frac{T _{1/2}}{l n 2}$ ，而不是正确的 $T_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$ ，导致计算结果出现约2倍的误差。

原因:

学生记错了半衰期和衰变常数关系中哪个量在分子上。

正确做法:

始终用 $(1/2)^{n}$ 半衰期规则验证结果，交叉检查代数错误。

错误做法:

将Q值计算为 $Q = (\sum m_{products} - m_{parent}) c^{2}$ ，即使是自发衰变也得到负的Q值。

原因:

学生将Q值的定义和结合能的质量亏损概念混淆了。

正确做法:

衰变的Q值始终是（初始质量减去最终质量），因为亏损的质量转化为产物的动能。

错误做法:

认为经过两个半衰期后，所有原有不稳定原子核都已经衰变。

原因:

学生错误地将半衰期理解为整个样品的总寿命。

正确做法:

记住半衰期是剩余原子核中半数发生衰变所需的时间，因此2个半衰期后剩余原有样品的1/4，3个半衰期后剩余1/8，以此类推。

错误做法:

γ衰变时改变母核的 $A$ 或 $Z$ 数。

原因:

学生认为所有衰变都会改变核素种类，忘记γ衰变只是释放能量。

正确做法:

γ衰变始终写为 $_{0}^{0} γ$ ，因此子核的 $A$ 和 $Z$ 都与母核相同。

7. 速查表

类别	公式	说明
核素符号	$_{Z}^{A} X$	$A$ = 总核子数（质量数）， $Z$ = 质子数（电荷数）
守恒定律	$\sum A_{left} = \sum A_{right}$ , $\sum Z_{left} = \sum Z_{right}$	适用于所有核衰变反应
α衰变通式	$_{Z}^{A} X \to_{Z - 2}^{A - 4} Y +_{2}^{4} α$	发生在不稳定重核素中
β⁻衰变通式	$_{Z}^{A} X \to_{Z + 1}^{A} Y +_{- 1}^{0} β^{-} + \overset{ν}{ˉ}$	发生在中子数过多的核素中
指数衰变定律	$N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ , $R (t) = R_{0} e^{- λ t}$	$N$ = 未衰变原子核数， $R$ = 活度， $λ$ = 衰变常数
半衰期/衰变常数	$T_{1/2} = \frac{l n 2}{λ} = \frac{0.693}{λ}$	关联两个常用衰变参数
用半衰期表示的衰变规律	$N (t) = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$	简化整数个半衰期的计算
衰变Q值	$Q = (m_{parent} - \sum m_{products}) c^{2}$	$Q > 0$ = 自发衰变； $1 u \cdot c^{2} = 931.5 MeV$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · MCQ
半衰期活度计算
2022 · FRQ
衰变方程配平
2021 · MCQ
自发衰变Q值

下一步

核衰变是AP物理2第7单元所有其他核物理主题的基础先修内容。接下来你会把自发衰变、质能转换和半衰期的概念应用到比结合能、核裂变核聚变、放射性定年应用等内容中。如果不掌握衰变的守恒定律、半衰期计算和Q值分析，你就无法正确分析裂变反应、计算聚变释放的能量，而这些都是AP考试中常见的高分值自由问答题考点。本主题也通过γ衰变连接了之前的原子物理概念：激发核能级会放出高能γ光子，和激发电子态的原子光子发射类似。

→质能等价