# 核衰变

> AP 物理 2 · 第7单元：量子、原子与核物理
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-nuclear-decay/

本指南讲解AP物理2中核衰变的核心概念，包括衰变类型、守恒定律、指数衰变、半衰期计算和自发衰变反应的Q值。

**先修:** 基础原子结构（质子、中子、同位素）; 质能等价 $E=mc^2$; 指数函数的基本性质

## 学习目标

- 写出α衰变、β⁻衰变和γ衰变的配平核衰变方程
- 计算放射性样品的半衰期、衰变常数和活度
- 计算衰变反应的Q值并判断衰变是否自发
- 应用指数衰变规律解决实际核衰变问题

## 核衰变基础与符号表示

核衰变（又称放射性衰变）是不稳定原子核自发发生分解，通过释放电离辐射达到更稳定低能态的过程。原子核不稳定的原因包括中子质子比失衡、核子总数过大，或在之前的核反应后处于激发态。虽然无法预测单个原子核何时衰变，但大量不稳定原子核的衰变服从可预测的统计规律。

**核素符号表示** — 表示原子核的标准符号，其中$A$是质量数（核子数，等于质子数+中子数），$Z$是原子序数（质子数/电荷数），$\text{X}$是元素的化学符号。

*记法:* ^A_Z \text{X}

## 衰变类型与守恒定律

所有核衰变反应都必须满足两个基本守恒定律，这也是AP物理2考试的常考点：总核子数（$A$）守恒和总电荷（$Z$）守恒。反应左侧的$A$值总和等于产物侧的$A$值总和，$Z$值也满足相同的等式关系。

- **α衰变**：发生在质量过大（$A > 200$）无法稳定存在的重核素中，会放出α粒子（$^4_2 \alpha$，与氦原子核完全相同），最终嬗变为新元素。
- **β⁻衰变**：最常见的β衰变类型，发生在中子数过多的原子核中。一个中子衰变为一个质子、一个高能电子（$^0_{-1} \beta^-$）和一个反中微子，最终发生嬗变。
- **γ衰变**：发生在处于激发能态的原子核中。原子核放出高能γ光子（$^0_0 \gamma$）释放多余能量，$A$和$Z$都不发生变化，因此不发生嬗变。

**例题:** 碳-14（$^{14}_{6} \text{C}$）发生β⁻衰变，生成子核氮（N）。写出完整配平的衰变方程，并确定氮的质量数和原子序数。

1. 先写出β⁻衰变的通式框架：
2. $$^{14}_{6} \text{C} \rightarrow ^A_{Z} \text{N} + ^0_{-1} \beta^- + \bar{\nu}$$
3. 应用核子数守恒求解$A$：
4. $$14 = A + 0 \implies A = 14$$
5. 应用电荷数守恒求解$Z$：
6. $$6 = Z + (-1) \implies Z = 7$$
7. 写出完整配平的方程，确认子核为氮-14：
8. $$^{14}_{6} \text{C} \rightarrow ^{14}_{7} \text{N} + ^0_{-1} \beta^- + \bar{\nu}$$

> **tip**
>
> 一定要检查衰变方程两侧的总电荷和总核子数是否相等。AP选择题的干扰项几乎总是违反其中一条守恒定律，因此花10秒检查就能立刻排除错误选项。

## 指数衰变、半衰期与活度

放射性衰变是一个统计过程，瞬时衰变速率与剩余未衰变原子核数$N(t)$成正比，由此得到微分衰变定律$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$，其中$\lambda$是衰变常数（单位为时间的倒数，$\lambda$越大衰变越快）。求解该方程得到指数衰变定律：

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

其中$N_0$是$t=0$时未衰变原子核的初始数量。半衰期（$T_{1/2}$）定义为原有不稳定原子核半数发生衰变所需的时间。将$N = N_0/2$、$t=T_{1/2}$代入得到半衰期和衰变常数的核心关系：

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda}$$

活度$R(t)$是可测量的衰变速率（单位时间内的衰变次数），等于$R = \left|\frac{dN}{dt}\right| = \lambda N(t)$。活度同样服从指数衰变定律$R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$，其中$R_0 = \lambda N_0$是初始活度。计算时，直接用半衰期表示衰变规律通常更简便：经过$n = t/T_{1/2}$个半衰期后，$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$，$R(t) = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$。

**例题:** 一份放射性碘-131样品的初始活度为1280 MBq。碘-131的半衰期为8天。求24天后样品的活度；已知$\lambda = 0.0866 \text{ 天}^{-1}$，计算初始未衰变碘-131原子核的数量。

1. 计算经过的半衰期个数：
2. $$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{24}{8} = 3$$
3. 使用半衰期活度公式求最终活度：
4. $$R = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1280 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 160 \text{ MBq}$$
5. 为求初始原子核数，使用$R_0 = \lambda N_0$，将活度单位转换为每天衰变次数以匹配$\lambda$的单位：
6. $$1280 \text{ MBq} = 1.10592 \times 10^{14} \text{ decays/day}$$
7. 求解$N_0$：
8. $$N_0 = \frac{R_0}{\lambda} = \frac{1.10592 \times 10^{14}}{0.0866} \approx 1.28 \times 10^{15} \text{ nuclei}$$

> **tip**
>
> 一定要匹配$\lambda$和活度的单位：如果$\lambda$的单位是年的倒数，就要把活度转换为每年衰变次数，而不是每秒。AP题目经常混用单位来考察考生对细节的注意力。

## 质能等价与衰变Q值

核衰变要自发发生，衰变产物的总质量必须小于母核的质量。根据$E = \Delta m c^2$，质量差$\Delta m$会转化为衰变产物的动能，这部分能量就是衰变的Q值，定义为：

$$Q = (m_{\text{parent}} - \sum m_{\text{products}}) c^2$$

若$Q>0$，则衰变自发发生（放热），所有天然发生的核衰变都满足这一点。若$Q<0$，则衰变无法自发发生。AP题目中有一个简便技巧：可以直接使用原子质量（而非原子核质量），因为α衰变和β⁻衰变方程两侧的总电子数相等，电子质量会相互抵消。记住$1 \text{ u} \cdot c^2 = 931.5 \text{ MeV}$。

**例题:** 钋-210（$^{210}_{84} \text{Po}$，原子质量 = 209.98287 u）发生α衰变，生成铅-206（$^{206}_{82} \text{Pb}$，原子质量 = 205.97447 u）和α粒子（$^4_2 \text{He}$，原子质量 = 4.00260 u）。计算衰变的Q值并验证衰变是自发的。

1. 确认衰变方程配平，注意电子质量会抵消：
2. $$^{210}_{84} \text{Po} \rightarrow ^{206}_{82} \text{Pb} + ^4_2 \text{He} \quad (84 e^- = 82 e^- + 2 e^-)$$
3. 计算产物的总质量：
4. $$m_{\text{products}} = 205.97447 + 4.00260 = 209.97707 \text{ u}$$
5. 计算母核和产物的质量差：
6. $$\Delta m = m_{\text{parent}} - m_{\text{products}} = 209.98287 - 209.97707 = 0.00580 \text{ u}$$
7. 使用1 u = 931.5 MeV/c²的转换关系将质量差转换为Q值：
8. $$Q = 0.00580 \text{ u} \cdot c^2 \times 931.5 \frac{\text{MeV}}{\text{u} \cdot c^2} \approx 5.40 \text{ MeV}$$
9. 由于$Q > 0$，因此衰变是自发的，符合预期。

> **tip**
>
> 计算α衰变或β⁻衰变的Q值时，使用原子质量不需要额外减去电子质量：电子质量总会抵消，因此可以直接使用表格中的原子质量。

## AP风格概念检测

**概念自测**

用这些AP风格题目测试你对核衰变的理解：

1. 研究人员有一份纯的放射性钠-24样品，半衰期为15小时，初始活度为800 Bq。60小时后样品的活度是多少？

   - A) 100 Bq
   - B) 200 Bq
   - C) 50 Bq
   - D) 400 Bq

   *解析:* 正确：已经过4个半衰期，因此$R = 800 \times (1/2)^4 = 50$ Bq。其他选项都对应半衰期个数计算错误。

2. 地质学家对一份含钾-40的火山岩样品进行定年，钾-40的半衰期为$1.25 \times 10^9$年。样品中未衰变钾-40与衰变产物氩-40的比例为1:3。岩石的年龄是多少？

   - A) $1.25 \times 10^9$ years
   - B) $2.5 \times 10^9$ years
   - C) $3.75 \times 10^9$ years
   - D) $5.0 \times 10^9$ years

   *解析:* 剩余原有钾的1/4，对应2个半衰期，因此年龄 = $2 \times 1.25 \times 10^9 = 2.5 \times 10^9$年。

3. 医院为心脏成像扫描订购了一份500 MBq的锝-99m样品，锝-99m的半衰期为6小时。如果样品在使用前24小时制备，使用时活度是多少？是否满足最低25 MBq的要求？

   *解析:* 经过了4个半衰期，因此$R = 500 / 16 = 31.25$ MBq，高于25 MBq的最低要求，因此样品可用。

## 常见错误

- **错误做法:** 配平β⁻衰变时，为了计入发射出的电子，将子核的质量数$A$和原子序数$Z$都减1。
  - 原因: 学生错误地将电子的微小质量当成核子质量，并且混淆了β粒子电荷的符号。
  - 正确做法: 记住β⁻衰变是将一个中子转化为一个质子，因此总$A$不变，$Z$增加1。
- **错误做法:** 使用错误的反比关系$\lambda = \frac{T_{1/2}}{\ln 2}$，而不是正确的$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$，导致计算结果出现约2倍的误差。
  - 原因: 学生记错了半衰期和衰变常数关系中哪个量在分子上。
  - 正确做法: 始终用$(1/2)^n$半衰期规则验证结果，交叉检查代数错误。
- **错误做法:** 将Q值计算为$Q = (\sum m_{\text{products}} - m_{\text{parent}}) c^2$，即使是自发衰变也得到负的Q值。
  - 原因: 学生将Q值的定义和结合能的质量亏损概念混淆了。
  - 正确做法: 衰变的Q值始终是（初始质量减去最终质量），因为亏损的质量转化为产物的动能。
- **错误做法:** 认为经过两个半衰期后，所有原有不稳定原子核都已经衰变。
  - 原因: 学生错误地将半衰期理解为整个样品的总寿命。
  - 正确做法: 记住半衰期是剩余原子核中半数发生衰变所需的时间，因此2个半衰期后剩余原有样品的1/4，3个半衰期后剩余1/8，以此类推。
- **错误做法:** γ衰变时改变母核的$A$或$Z$数。
  - 原因: 学生认为所有衰变都会改变核素种类，忘记γ衰变只是释放能量。
  - 正确做法: γ衰变始终写为$^0_0 \gamma$，因此子核的$A$和$Z$都与母核相同。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 核素符号 | $^A_Z \text{X}$ | $A$ = 总核子数（质量数），$Z$ = 质子数（电荷数） |
| 守恒定律 | $\sum A_{\text{left}} = \sum A_{\text{right}}$, $\sum Z_{\text{left}} = \sum Z_{\text{right}}$ | 适用于所有核衰变反应 |
| α衰变通式 | $^A_Z \text{X} \rightarrow ^{A-4}_{Z-2} \text{Y} + ^4_2 \alpha$ | 发生在不稳定重核素中 |
| β⁻衰变通式 | $^A_Z \text{X} \rightarrow ^A_{Z+1} \text{Y} + ^0_{-1} \beta^- + \bar{\nu}$ | 发生在中子数过多的核素中 |
| 指数衰变定律 | $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, $R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$ | $N$ = 未衰变原子核数，$R$ = 活度，$\lambda$ = 衰变常数 |
| 半衰期/衰变常数 | $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda}$ | 关联两个常用衰变参数 |
| 用半衰期表示的衰变规律 | $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ | 简化整数个半衰期的计算 |
| 衰变Q值 | $Q = (m_{\text{parent}} - \sum m_{\text{products}}) c^2$ | $Q>0$ = 自发衰变；$1 \text{ u} \cdot c^2 = 931.5 \text{ MeV}$ |

## 下一步

核衰变是AP物理2第7单元所有其他核物理主题的基础先修内容。接下来你会把自发衰变、质能转换和半衰期的概念应用到比结合能、核裂变核聚变、放射性定年应用等内容中。如果不掌握衰变的守恒定律、半衰期计算和Q值分析，你就无法正确分析裂变反应、计算聚变释放的能量，而这些都是AP考试中常见的高分值自由问答题考点。本主题也通过γ衰变连接了之前的原子物理概念：激发核能级会放出高能γ光子，和激发电子态的原子光子发射类似。

- [质能等价](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-mass-energy-equivalence/)

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