# AP物理2 波

> AP物理2 · 第6单元：几何与物理光学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-waves/

本小节讲解AP物理2第6单元中光的核心波动性质，包括介质中的波速与波长、杨氏双缝干涉、单缝衍射，配有例题和考试解题指导。

**先修:** AP物理1中学过的基础波动性质（周期、频率、波长）; 电磁波谱以及能量与波长的关系; 光的折射斯涅尔定律

## 学习目标

- 计算光在光学介质中的波速和波长
- 求解杨氏双缝干涉相关问题
- 计算单缝衍射图样的性质
- 识别关于波动行为和干涉的常见误解

## 光学介质中的波速与波长

所有电磁波在真空中都以速度 $c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$ 传播，但进入折射率 $n > 1$ 的透明介质后会减速。当波穿过两种介质的分界面时，频率 $f$ 保持不变，因为频率是波源的性质，而非介质的性质。

$$n = \frac{c}{v}$$

由于波动基本关系 $v = f\lambda$ 始终成立，波长会随速度成比例变化。光在介质中的波长 $\lambda_n$ 与真空中波长 $\lambda_0$ 的关系为：

$$\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$$

**折射率** — 透明介质的无量纲性质，等于真空中光速与介质中光速的比值。

*记法:* n

*例:* $n_{water} \approx 1.33$, $n_{air} \approx 1.00$

**例题:** 一束蓝色激光在空气中的波长为420 nm（假设 $n_{air} = 1$）。该激光穿过 $n_{water} = 1.33$ 的水层射向衍射光栅。求激光在水中的频率和波长。

1. 计算空气中的频率，由于频率由波源决定，因此水中频率与空气中相等：

   $$f = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{3.0 \times 10^8 \text{ m/s}}{420 \times 10^{-9} \text{ m}} \approx 7.14 \times 10^{14} \text{ Hz}$$
2. 频率穿过分界面时不变，因此水中的频率也为 $7.14 \times 10^{14} \text{ Hz}$。
3. 计算水中的波长：

   $$\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{420 \text{ nm}}{1.33} \approx 316 \text{ nm}$$

> **考试提示:** 计算干涉时，请务必检查光传播所在的介质。如果干涉发生在某介质内部，需使用该介质中的波长，而非题目给出的真空波长。

*计算器:* allowed

## 杨氏双缝干涉

杨氏双缝实验首次明确证实了光的波动性，间距为 $d$ 的两个狭缝出射波叠加产生干涉图样。当两束波的光程差为波长的整数倍时，发生相长干涉（亮纹）：

$$d \sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$$

其中 $m$ 是亮纹的级次，$\theta$ 是相对于中央极大的角度（$m=0$ 对应光屏中心最亮的中央亮纹）。当光程差为半整数倍波长时，发生相消干涉（暗纹）：$d \sin\theta = (m + 1/2)\lambda$。对于小角度（当 $L \gg y$，其中 $y$ 是条纹在光屏上的位置，$L$ 是缝到光屏的距离），$\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{y}{L}$，因此公式可简化为：

$$y_m = \frac{m \lambda L}{d}$$

**例题:** 在双缝实验中，缝间距为0.30 mm，光屏距离狭缝2.5 m，中央亮纹与第二级亮纹的距离为8.2 mm。求所用光的波长（单位为纳米）。

1. 将所有单位转换为国际单位制：

   $$d = 0.30 \times 10^{-3} \text{ m}, \quad L = 2.5 \text{ m}, \quad y_2 = 8.2 \times 10^{-3} \text{ m}, \quad m=2$$
2. 整理小角度公式求解 $\lambda$：

   $$\lambda = \frac{y_m d}{m L}$$
3. 代入数值：

   $$\lambda = \frac{(8.2 \times 10^{-3} \text{ m})(0.30 \times 10^{-3} \text{ m})}{(2)(2.5 \text{ m})} = 4.92 \times 10^{-7} \text{ m}$$
4. 转换为纳米：

   $$4.92 \times 10^{-7} \text{ m} = 492 \text{ nm}$$

> **考试提示:** 如果题目要求计算两个非中心条纹之间的距离（例如 $m=1$ 和 $m=-2$ 之间），请计算它们y坐标的绝对差值，不要直接用条纹间距乘以整数。

*计算器:* allowed

## 单缝衍射

衍射是光绕过障碍物边缘偏折的现象，是所有波的基本性质。当单色光穿过宽度为 $a$ 的窄单缝时，会在远处光屏上产生衍射图样：中心是宽而亮的中央极大，两侧是更小更暗的次级极大。单缝图样中的暗纹（极小）出现在以下角度：

$$a \sin\theta = m \lambda \quad (m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...)$$

重点提示：$m=0$ 不是极小，而是中央亮纹的中心。对于小角度，第 $m$ 级暗纹的位置为 $y_m = \frac{m \lambda L}{a}$，中央极大的总宽度（在 $m=-1$ 和 $m=1$ 暗纹之间）为：

$$w = \frac{2 \lambda L}{a}$$

一个重要的概念结论：狭缝越窄，中央极大的宽度越大，这是纯粹的波动效应，在AP考试中频繁考察。

**例题:** 波长620 nm的激光入射到宽度为0.060 mm的单缝上，衍射图样投影在2.0 m远的光屏上。求光屏上中央极大的宽度。

1. 将所有单位转换为国际单位制：

   $$\lambda = 620 \times 10^{-9} \text{ m}, \quad a = 0.060 \times 10^{-3} \text{ m}, \quad L = 2.0 \text{ m}$$
2. 使用中央极大宽度公式：

   $$w = \frac{2 \lambda L}{a}$$
3. 代入数值：

   $$w = \frac{2(620 \times 10^{-9})(2.0)}{0.060 \times 10^{-3}} \approx 0.041 \text{ m} = 4.1 \text{ cm}$$

> **考试提示:** 对于双缝干涉结合有限缝宽的问题，请记住：双缝亮纹会被单缝衍射包络调制，任何落在单缝暗纹位置的双缝亮纹都会消失（即「缺级」）。

*计算器:* allowed

## AP风格概念检测

**概念自测**

通过这道AP风格的选择题检测你对核心关系的理解：

1. 一名学生在双缝实验中测得相邻亮纹的间距为 $\Delta y$。随后学生将双缝替换为缝间距为原缝间距三倍的新双缝，并用波长为原波长三分之一的光源。缝到光屏的距离保持不变。新的条纹间距是多少？

   - $\Delta y / 9$
   - $\Delta y / 3$
   - $\Delta y$
   - $9 \Delta y$

   *答案:* $\Delta y / 9$

   *解析:* 相邻亮纹的间距为 $\Delta y = \lambda L / d$。代入 $\lambda' = \lambda/3$ 和 $d' = 3d$ 得 $\Delta y' = (\lambda/3 \cdot L)/(3d) = \lambda L/(9d) = \Delta y/9$。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 当干涉发生在其他介质内部时，仍使用光的真空波长计算。
  - 原因: 学生常常直接使用题目给出的激光在空气中的波长，忘记波长在折射率更高的介质中会减小。
  - 正确做法: 始终注意干涉发生的介质，在计算前先将真空波长除以介质的折射率，得到介质中的波长。
- **错误做法:** 在公式中混淆 $d$（双缝的缝间距）和 $a$（单缝的缝宽）。
  - 原因: 大多数同时考察两个概念的题目会给出两个值，考察学生能否将变量对应到正确公式。
  - 正确做法: 代入数值前先在试卷上标注每个已知变量：$d$ = 两个缝之间的间距，$a$ = 单个缝的宽度。
- **错误做法:** 认为光进入新介质时频率改变，波长保持不变。
  - 原因: 学生混淆了哪些性质由波源决定、哪些由介质决定。
  - 正确做法: 记住：频率是波源的性质，穿过分界面时永远不变；波长和波速是介质的性质，会随 $n$ 改变。
- **错误做法:** 将 $m=0$ 算作单缝衍射的暗纹，或不将 $m=0$ 对应为中央亮纹。
  - 原因: 单缝极小的公式和双缝极大的公式外形相同，因此学生混淆了有效的 $m$ 取值。
  - 正确做法: 始终记住：在两个实验中 $m=0$ 都是中央亮纹；单缝极小从 $m=\pm 1$ 开始。
- **错误做法:** 将单缝中央极大的宽度计算为 $y_1 = \lambda L /a$ 而非 $2\lambda L /a$。
  - 原因: 学生只计算了一侧第一暗纹的位置就结束，忘记宽度是中央极大两侧之间的距离。
  - 正确做法: 始终要将第一暗纹的位置乘以2，得到中央极大的总宽度。

## 速查表

| 分类 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 介质中的光速 | $n = \frac{c}{v}$ | $n$ = 折射率，$c$ = 真空中光速 |
| 介质中的波长 | $\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$ | $\lambda_0$ = 真空波长；穿过分界面时频率不变 |
| 双缝亮纹 | $d \sin\theta = m\lambda$; $y_m = \frac{m \lambda L}{d}$ | $m = 0, \pm1, \pm2...$；$y_m$ 为小角度近似结果 |
| 双缝暗纹 | $d \sin\theta = (m + 1/2)\lambda$ | $m = 0, \pm1, \pm2...$；相消干涉 |
| 单缝暗纹 | $a \sin\theta = m\lambda$ | $m = \pm1, \pm2...$；$m=0$ 是中央亮纹 |
| 单缝中央极大宽度 | $w = \frac{2 \lambda L}{a}$ | 小角度近似；$a$ = 单缝宽度 |
| 双缝相邻条纹间距 | $\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$ | 小角度下相邻亮纹之间的距离 |

## 下一步

本小节为AP物理2第6单元所有后续波动光学主题打下基础。你在这里学到的干涉和衍射原理可直接应用于薄膜干涉、衍射光栅和光学仪器分辨率问题，这些内容在AP考试的选择题和自由作答题部分都频繁考察。理解波长在不同介质中的变化对薄膜干涉问题尤其关键，这类问题需要计算镀膜透镜或薄层材料内部的光程差。衍射也是望远镜和显微镜分辨率的核心概念，将波动行为与实际应用联系起来。

- [第6单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-overview/)
- [电磁波](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-electromagnetic-waves/)
- [几何光学：折射与反射](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-geometric-optics-refraction-and-reflection/)

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