# 驻波

> AP 物理 2 · AP 物理 2
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-standing-waves/

本模块涵盖通过叠加形成驻波的原理、边界条件规则、弦与空气柱的谐波序列、共振现象以及AP考试的解题流程。

**先修:** [波的叠加原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-wave-superposition/); [行波的性质与速度计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-traveling-waves/)

## 学习目标

- 区分行波与驻波的行为特性
- 计算弦与空气柱上的波节和波腹位置
- 推导固定边界系统的谐波频率关系
- 解答AP考试风格的驻波共振问题

## 通过叠加形成驻波

当两列频率和振幅完全相同的行波沿完全相反的方向在同一介质中传播时，就会形成驻波图案。两列波持续相互干涉，产生一个固定的振荡图案，看起来不会在空间中传播。

**驻波** — 由两列反向传播的全同行波发生完全相长和完全相消干涉形成的非传播波图案，不存在跨介质的净能量传递。

$$y_{total} = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$$

> **info**
>
> 驻波上的每个点都围绕固定的平衡位置振荡，但振荡的振幅完全取决于该点沿介质的x坐标。

**例题:** 弦上的两列行波分别表示为 $y_1 = 0.02 \sin(5x - 20t)$ m 和 $y_2 = 0.02 \sin(5x + 20t)$ m。求 $x = 0.314$ m 处合成驻波的振幅。

1. 使用反向传播叠加波的位置相关振幅公式：

   $$A(x) = 2A \sin(kx)$$
2. 代入给定值，注意 $k=5$ 且 $A=0.02$ m：

   $$A(x) = 2(0.02) \sin(5 * 0.314) = 0.04 * \sin(\pi/2) = 0.04 \text{ m}$$

**概念自测**

测试你对驻波形成的理解

1. 在上述示例中，哪个位置的振荡振幅为0 m？

   - x=0 m
   - x=0.1 m
   - x=0.314 m
   - x=1 m

   *解析:* 在x=0处，$\sin(0) = 0$，因此振幅为零，形成一个波节。

## 波节、波腹与边界条件

波节是振荡振幅为零的点，而波腹是振荡振幅最大的点。波节和波腹的位置完全由介质的边界条件决定，边界条件定义了弦或空气柱两端允许的运动形式。

**波节/波腹** — 波节：由完全相消干涉形成的振幅为零的点。波腹：由完全相长干涉形成的振幅最大的点。

*记法:* N / A

> **mnemonic**
>
> NA-NA：波节没有运动（No motion），波腹有全部运动（All motion）。

| 边界类型 | 允许的运动 | 边界处为波节/波腹 |
| --- | --- | --- |
| 弦的固定端 | 位移为零 | 波节 |
| 弦的自由端 | 位移最大 | 波腹 |
| 空气柱的封闭端 | 空气运动为零 | 波节 |
| 空气柱的开放端 | 空气运动最大 | 波腹 |

**例题:** 一根长度为1.2 m的弦两端固定。基频驻波上相邻波节之间的距离是多少？

1. 对于基模，恰好半个波长跨越弦的全长，波节仅存在于两端：

   $$L = \frac{\lambda_1}{2}$$
2. 相邻波节之间的距离始终为 $\lambda/2$，对于基模来说该值等于弦的总长度：

   $$d_{node} = 1.2 \text{ m}$$

## 弦与空气柱的谐波序列

**考试命令词**

AP考试题目会使用特定术语来提示应该应用哪套谐波规则：

- **Fixed-fixed string** — 两端均为波节，所有整数次谐波均允许存在

- **Open-open air column** — 两端均为波腹，所有整数次谐波均允许存在

- **Closed-open air column** — 一端为波节、一端为波腹，仅允许奇次谐波存在

$$f_n = \frac{nv}{2L}, \quad n = 1, 2, 3... \quad (\text{两端固定/两端开放})$$

$$f_n = \frac{nv}{4L}, \quad n = 1, 3, 5... \quad (\text{闭开管})$$

**例题:** 一根长度为0.8 m的闭开空气柱中的声速为343 m/s。计算第3次谐波的频率。

1. 使用闭开空气柱的谐波公式，第3个奇次谐波对应n=3：

   $$f_3 = \frac{3v}{4L}$$
2. 代入给定值计算结果：

   $$f_3 = \frac{3 * 343}{4 * 0.8} \approx 322 \text{ Hz}$$

**概念自测**

验证你对谐波规则的掌握

1. 以下哪个系统无法产生第2次谐波？

   - 1m长两端固定的弦
   - 1m长两端开放的管
   - 1m长闭开管
   - 1m长张紧的金属丝

   *解析:* 闭开系统仅支持奇次谐波，因此n=2是不可能存在的。

## 驻波共振

当外部驱动力以与系统固有谐波频率完全匹配的频率向介质输入能量时，就会发生共振。这会产生稳定的大振幅驻波图案，只要持续输入能量抵消阻尼损耗，该图案就会一直存在。

> **warning**
>
> AP考试常见干扰项声称任何驱动频率都能产生驻波。实际上，只有满足系统边界条件规则的频率才能形成稳定的驻波。

**例题:** 一根长度为2m的两端开放管中的声速为340 m/s。求能产生驻波的最低驱动频率。

1. 最低共振频率是基频，对于两端开放系统n=1：

   $$f_1 = \frac{v}{2L}$$
2. 代入给定值得到结果：

   $$f_1 = \frac{340}{2*2} = 85 \text{ Hz}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将分母为2L的公式应用于闭开空气柱
  - 原因: 闭开系统的基频对应四分之一波长，而不是半波长
  - 正确做法: 闭开管始终使用4L作为分母，且仅允许奇数值的n
- **错误做法:** 通过数波节来求谐波次数，导致n值差1
  - 原因: 对于两端固定的弦，第n次谐波总共有n+1个波节，而不是n个波节
  - 正确做法: 数介质中半波长段的数量，可以直接得到n的值
- **错误做法:** 将开放空气管的端部视为波节而不是波腹
  - 原因: 开放空气端允许最大的纵向空气运动，因此根据定义它们是波腹
  - 正确做法: 在进行任何频率计算之前，先将所有边界条件映射为波节/波腹
- **错误做法:** 声称驻波会跨介质传递净能量
  - 原因: 反向传播的波沿相反方向携带相等的能量，导致净能流为零
  - 正确做法: 只有行波才会在介质中产生净能量输运
- **错误做法:** 将相邻波腹之间的距离计算为完整的 $\lambda$
  - 原因: 相邻波节和相邻波腹之间的距离始终为 $\lambda/2$，而不是完整的一个波长
  - 正确做法: 记住驻波上相位相同的连续点之间的距离始终为 $\lambda/2$

## 速查表

| 系统类型 | 边界条件 | 基频波长 | 谐波公式 | 允许的n值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 两端固定弦 | 两端均为波节 | 2L | $f_n = nv/(2L)$ | 1, 2, 3... |
| 两端开放管 | 两端均为波腹 | 2L | $f_n = nv/(2L)$ | 1, 2, 3... |
| 闭开管 | 一端波节、一端波腹 | 4L | $f_n = nv/(4L)$ | 1, 3, 5... |

## 下一步

掌握驻波知识对于在AP物理2波动与光学单元的选择题和自由作答题中得分至关重要，该主题经常与多普勒效应和波的干涉题目一同出现。你在这里学到的谐波规则也可以推广到其他波系统，包括乐器中的驻声波和激光腔中的驻电磁波。接下来，你将应用你学到的叠加和驻波知识来解决薄膜干涉问题，这是另一个高频考试考点。你还将基于这些概念分析光通过单缝和双缝时形成的衍射图案，将物理波行为与可测量的光学效应联系起来。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-standing-waves/