# 干涉与衍射

> AP 物理 2 · 几何光学与物理光学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-interference-and-diffraction/

本亚主题涵盖双缝干涉、单缝衍射、衍射光栅、光程差条件、条纹间距计算、级次确定和波长测量，供AP物理2备考使用。

**先修:** 波的叠加原理; 光的波动性质; 光在折射介质中的波长变化

## 学习目标

- 解释干涉和衍射是光的波动性质
- 应用相长/相消干涉的光程差条件
- 计算条纹间距、衍射图样宽度和未知波长
- 确定衍射光栅最大主极大的有效级次
- 避免解题中常见的单位和变量符号错误

## 干涉与衍射基础

当两束或多束相干光（相位差恒定）叠加时会发生干涉，产生的合成波振幅取决于入射波的相位差。衍射是光通过窄缝或绕过障碍物时发生的偏折，这种效应的存在证明了光是一种波。来自狭缝不同部分的衍射波自然叠加，形成干涉图样。

**相干光** — 彼此之间保持恒定相位差的光波，是产生稳定可见干涉图样的必要条件。

本主题约占AP物理2考试总分的10-15%，会同时出现在选择题（MCQ）和自由作答题（FRQ）部分，同时也是光的波动说的核心实验基础。

## 双缝干涉

杨氏双缝实验是首个证明光是一种波的确凿实验。该实验装置中，相干单色光通过间距为$d$的两个狭缝，投射在距离狭缝$L$处的屏幕上。对于屏幕上任意一点，来自两个狭缝的光的光程差为$\Delta r = d\sin\theta$。

当光程差为波长的整数倍时，发生相长干涉（明纹）：

$$d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$$

当光程差为波长的半整数倍时，发生相消干涉（暗纹）：

$$d\sin\theta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$$

对于小角度（$\theta < 10^\circ$），有$\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{y}{L}$，其中$y$是中央明纹到目标条纹的竖直距离。由此可简化得到相邻明纹间距公式（相邻明纹之间的距离）：

$$\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$$

**例题:** 一名学生进行双缝干涉实验，使用波长500 nm的绿光，狭缝间距为0.25 mm，屏幕放置在距离狭缝2.0 m处。计算相邻明纹的间距，以及0级中央明纹到3级明纹的总距离。

1. 将所有单位统一换算为米：

   $$\lambda = 500 \times 10^{-9}\ \text{m}, d = 0.25 \times 10^{-3}\ \text{m}, L = 2.0\ \text{m}$$
2. 应用小角度近似下的条纹间距公式：

   $$\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$$
3. 计算条纹间距：

   $$\Delta x = \frac{(500 \times 10^{-9})(2.0)}{0.25 \times 10^{-3}} = 4.0 \times 10^{-3}\ \text{m} = 4.0\ \text{mm}$$
4. 0级到3级的距离是3倍条纹间距：

   $$3\Delta x = 3(4.0\ \text{mm}) = 12\ \text{mm} = 0.012\ \text{m}$$

> **考试提示:** 代入公式前务必将所有长度单位统一为相同基本单位（通常是米）；单位不匹配是本主题最常见的可避免错误。

*计算器:* allowed

## 单缝衍射

当光通过宽度为$a$的单窄缝时，狭缝内每个点都可视为次波源，这些次波相互干涉形成衍射图样。单缝衍射图样的特点是有一个宽且明亮的中央明纹，两侧是更暗、更窄的各级明纹，每两个明纹之间存在暗纹。与双缝干涉不同，单缝明纹不是等间距分布的。

单缝衍射中暗纹（强度为零）的条件为：

$$a\sin\theta = m\lambda \quad (m = \pm 1, \pm 2, ...)$$

注意$m=0$不是暗纹，因为所有波在中央明纹处都会发生相长干涉。对于小角度，中央明纹到一侧第一级暗纹的距离为$y = \frac{\lambda L}{a}$。中央明纹的总宽度（中心两侧两个第一级暗纹之间的距离）为：

$$W = \frac{2\lambda L}{a}$$

一个关键结论：减小狭缝宽度$a$会增大中央明纹的宽度，说明孔径越小衍射效应越明显。

**例题:** 波长633 nm的红色激光通过宽度为0.10 mm的单缝，在1.5 m远的屏幕上形成衍射图样。中央明纹的总宽度是多少？

1. 将所有单位换算为米：

   $$a = 0.10 \times 10^{-3}\ \text{m}, \lambda = 633 \times 10^{-9}\ \text{m}, L = 1.5\ \text{m}$$
2. 使用小角度近似下的中央明纹总宽度公式：

   $$W = \frac{2\lambda L}{a}$$
3. 代入数值计算：

   $$W = \frac{2(633 \times 10^{-9})(1.5)}{0.10 \times 10^{-3}} = 1.9 \times 10^{-2}\ \text{m} = 1.9\ \text{cm}$$
4. 验证趋势：0.10 mm的窄狭缝产生了1.9 cm的较大中央宽度，符合衍射的预期规律。

> **考试提示:** 绝对不要混淆$a$（单缝宽度）和$d$（双缝/光栅的狭缝间距）；交换这两个变量会得到差几个数量级的错误结果。

*计算器:* allowed

## 衍射光栅

衍射光栅是一种光学器件，在玻璃或金属表面刻有数百至数千条等间距的平行狭缝。与双缝相比，它能产生更锐利、更明亮、分离度更好的主极大，因此非常适合测量未知光的波长，或将白光分解为各分量波长形成光谱。

对于每单位长度有$N$条刻线的光栅，相邻狭缝间距为$d = \frac{1}{N}$。主（明）极大的条件与双缝干涉的相长干涉条件完全相同：

$$d\sin\theta = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, ...)$$

由于$\sin\theta$永远不可能大于1，因此最大可能级次$m$是小于$\frac{d}{\lambda}$的最大整数。任何满足$m > \frac{d}{\lambda}$的级次都不存在，因为它要求衍射角大于90°。

**例题:** 一块衍射光栅每毫米有300条刻线。用白光照射它，白光的波长范围为400 nm（紫光）到700 nm（红光）。该光栅能产生的最高级完整光谱是多少级？

1. 计算以米为单位的$d$：300线/毫米 = 300000线/米，因此：

   $$d = \frac{1}{300000} \approx 3.33 \times 10^{-6}\ \text{m}$$
2. 最长波长（红光）的衍射偏折最大，因此如果级次$m$的红光仍然可见（即$\theta < 90^\circ$），则该级次下光谱中所有更短波长的光都可见。
3. 计算红光的最大可能$m$：

   $$m < \frac{d}{\lambda_{\text{red}}} = \frac{3.33 \times 10^{-6}}{700 \times 10^{-9}} \approx 4.76$$
4. 由于$m$必须是整数，因此最高级完整光谱是$m=4$。对于$m=5$，$\sin\theta \approx 1.05 > 1$，不可能存在。

> **考试提示:** 始终要检查计算得到的$\sin\theta$是否大于1；如果大于1，说明该级次不存在，你需要选择下一个更小的整数级次。

*计算器:* allowed

## AP风格解题练习

**例题:** 双缝干涉实验在空气中搭建，使用700 nm的红光，得到条纹间距为5.0 mm。如果将整个装置完全浸入纯水中（折射率$n = 1.33$），新的条纹间距是多少？

A) 6.65 mm
B) 3.76 mm
C) 5.0 mm
D) 2.83 mm

1. 光在折射率为$n$的介质中的波长为$\lambda_n = \lambda_0/n$，其中$\lambda_0$是光在空气中的波长。
2. 条纹间距与波长成正比：$\Delta x = \lambda_n L/d$，因此新的条纹间距等于原间距除以$n$：
3. $\Delta x_{\text{new}} = 5.0\ \text{mm}/1.33 \approx 3.76\ \text{mm}$，正确答案为B。

**例题:** 一名学生使用衍射光栅测量未知激光的波长。光栅每毫米有500条刻线，在距离光栅2.00 m的屏幕上，两个第一级明斑相距1.28 m。
(a) 计算激光的波长。
(b) 学生声称该激光存在第二级极大，证明该学生的说法是否正确。
(c) 如果将激光替换为波长更短的激光，第一级极大之间的距离会发生什么变化？解释你的推理。

1. (a) 中央明纹到一个第一级明斑的距离为$y = 1.28/2 = 0.64\ \text{m}$。光栅狭缝间距：$d = 1/(500 \times 1000) = 2.00 \times 10^{-6}\ \text{m}$。

   $$\tan\theta = 0.64/2.00 = 0.32, \quad \sin\theta \approx 0.304$$
2. 对$m=1$整理$d\sin\theta = m\lambda$得：

   $$\lambda = (2.00 \times 10^{-6})(0.304) = 608 \times 10^{-9}\ \text{m} = 608\ \text{nm}$$
3. (b) 检查$m=2$时$\sin\theta$的值：

   $$\sin\theta = \frac{2(608 \times 10^{-9})}{2.00 \times 10^{-6}} = 0.608$$
4. 由于$0.608 < 1$，该角度是有效的，因此学生的说法正确：第二级极大存在。
5. (c) 第一级极大之间的距离会减小。根据$d\sin\theta = m\lambda$，波长$\lambda$更短会得到更小的$\sin\theta$，即更小的衍射角$\theta$，因此中央明纹到每个第一级明斑的距离更小，所以两个明斑之间的总距离减小。

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## 常见错误

- **错误做法:** 混淆$d$（狭缝间距）和$a$（狭缝宽度），计算得到$\Delta x = aL/\lambda$而非正确的$\lambda L/d$。
  - 原因: 两个符号都是小写字母，因此学生经常混淆两个变量的含义。
  - 正确做法: 读题时在图上给每个变量标注：开始计算前，在两个狭缝之间标注$d$，在单缝宽度方向标注$a$。
- **错误做法:** 忘记单缝衍射中央明纹的总宽度是$2\lambda L/a$，错误使用$\lambda L/a$。
  - 原因: 学生记住了第一级暗纹距离中心的位置是$y = \lambda L/a$，因此就停在这里，没有为两个暗纹之间的总宽度乘以2。
  - 正确做法: 始终确认：'中央明纹总宽度'指的是两侧两个第一级暗纹之间的距离，因此需要将中心到一个暗纹的距离乘以2。
- **错误做法:** 在大角度情况下（例如衍射光栅问题中$\theta > 10^\circ$）仍然使用小角度近似公式$\Delta x = \lambda L/d$。
  - 原因: 学生习惯了基础双缝实验中的小角度条件，因此无论角度大小都会自动使用该近似。
  - 正确做法: 仅在$\theta < 10^\circ$时使用小角度条纹间距公式；对于更大角度，使用完整的$d\sin\theta = m\lambda$关系，再通过$\tan\theta$计算位置。
- **错误做法:** 衍射光栅的狭缝间距$d$错误计算为$N$（每米刻线数）而非$1/N$。
  - 原因: 题目通常给出每毫米或每厘米的刻线数，学生直接代入给定数值，没有取倒数也没有换算单位。
  - 正确做法: 如果已知每单位长度有$N$条刻线，那么$d = 1/N$；始终先将$N$换算为每米刻线数，再得到以米为单位的$d$。
- **错误做法:** 混淆相长干涉和相消干涉的条件，错误认为相长干涉发生在光程差为半整数倍时。
  - 原因: 学生把条件记反了，或者和薄膜干涉的规则混淆了。
  - 正确做法: 开始每道干涉题时，先在你的答题纸顶部写下：*相长干涉 = $\lambda$的整数倍，相消干涉 = $\lambda$的半整数倍*。

## 速查表

| 类别 | 公式 | 注释 |
| --- | --- | --- |
| 双缝相长干涉 | $d\sin\theta = m\lambda$ | $m = 0, \pm 1, \pm 2...$，明纹条件，$d$ = 狭缝间距 |
| 双缝相消干涉 | $d\sin\theta = (m + 1/2)\lambda$ | $m = 0, \pm 1, \pm 2...$，暗纹条件 |
| 双缝小角度条纹间距 | $\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$ | 仅适用于$\theta < 10^\circ$，$L$ = 到屏幕的距离 |
| 单缝衍射暗纹 | $a\sin\theta = m\lambda$ | $a$ = 狭缝宽度，$m = \pm 1, \pm 2...$，不存在$m=0$的暗纹 |
| 单缝中央明纹总宽度 | $W = \frac{2\lambda L}{a}$ | 仅适用于小角度近似 |
| 衍射光栅狭缝间距 | $d = \frac{1}{N}$ | $N$ = 单位长度刻线数 |
| 衍射光栅主极大 | $d\sin\theta = m\lambda$ | 明纹锐利明亮，与双缝相长干涉条件相同 |
| 介质中的波长 | $\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$ | $\lambda_0$ = 真空波长，$n$ = 折射率 |
| 明纹的最大级次 | $m_{\text{max}} < \frac{d}{\lambda}$ | 任何满足$m > d/\lambda$的级次都不存在，因为$\sin\theta \leq 1$ |

## 下一步

掌握干涉与衍射后，第6单元几何光学与物理光学的下一个关键主题是薄膜干涉和光学分辨率，两者都直接依赖你在此学到的光程差和干涉规则。不理解本章内容，你就无法正确计算薄膜中相长/相消干涉的条件，也无法应用瑞利判据计算光学仪器的分辨率。本主题也是现代物理核心概念——物质波的基础，电子和其他亚原子粒子也会产生和光完全相同的干涉图样。干涉与衍射也是从光存储到天体光谱学等众多现代技术的基础。

- [波粒二象性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-wave-particle-duality/)
- [量子、原子与核物理学概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-overview/)
- [光子与光电效应](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-photons-and-the-photoelectric-effect/)

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