# 成像

> AP 物理 2 · 几何光学与物理光学，第6单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-images/

本指南涵盖了平面/球面镜和薄透镜的成像，包括镜面方程/薄透镜方程、放大率、光线追迹作图，以及符合AP物理2 CED要求的符号约定。

**先修:** 反射定律; 斯涅尔折射定律; 基础曲面几何

## 学习目标

- 区分实像和虚像
- 使用正确的AP符号约定应用镜面方程和薄透镜方程
- 对镜面和透镜进行光线追迹作图
- 计算放大率并描述像的性质
- 识别并避开考试常见陷阱

## 成像核心概念

当物体发出或反射的光线会聚到一点（实像），或看起来从一点发散开（虚像）时，就形成了像。

**实像** — 光线实际会聚在成像位置形成的像，实像可以投影到屏幕上。

*例:* 投影在电影院银幕上的像

**虚像** — 光线仅看起来从成像位置发散形成的像；没有光线实际到达成像位置。虚像不能投影到屏幕上。

*例:* 你在平面镜中看到的自己的像

根据AP物理2 CED，第6单元（几何光学与物理光学）占考试总分的20-25%，而这个子主题约占总分的7-10%，会在MCQ和FRQ部分都出现。本指南使用大学理事会针对所有AP物理2题目采用的标准笛卡尔（实像为正）符号约定。

## 镜面成像

镜面通过反射成像，分为平面镜（平面）和球面镜（曲面）。对于平面镜，物距$d_o$（实物永远为正，即物体到镜面的距离）与像距$d_i$（镜面到像的距离）的关系为：

$$d_i = -d_o, \quad m = +1$$

放大率$m$是像高与物高的比值，平面镜的$m=+1$，说明像是正立的，与物体大小相同，且永远是虚像。对于曲率半径为$R$的球面镜，焦距（镜面到焦点的距离，平行光会会聚到焦点）满足$f = R/2$。联系$f$、$d_o$和$d_i$的镜面方程为：

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

镜面的符号约定：凹面镜（会聚型，向物体方向向内弯曲）的$f$为正，凸面镜（发散型，向外弯曲远离物体）的$f$为负。$d_i$为正表示实像，位于镜面前方；$d_i$为负表示虚像，位于镜面后方。所有镜面的放大率都遵循：

$$m = -\frac{d_i}{d_o}$$

$m$为正表示正立像，$m$为负表示倒立像，$|m|$给出像相对于物体的大小比例。

**例题:** 一个高3 cm的物体放置在曲率半径为16 cm的凸面（发散型）球面镜前方12 cm处。求像的位置、高度，并描述像的性质。

1. 计算焦距。凸面镜的$f$为负，已知$d_o = +12$ cm：

   $$f = \frac{R}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm} \implies f = -8 \text{ cm}$$
2. 整理镜面方程求解$d_i$：

   $$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = \frac{1}{-8} - \frac{1}{12} = \frac{-3 - 2}{24} = -\frac{5}{24} \implies d_i = -4.8 \text{ cm}$$
3. 计算放大率：

   $$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{(-4.8)}{12} = +0.4$$
4. 计算像高：

   $$h' = m \cdot h = 0.4 \cdot 3 = 1.2 \text{ cm}$$
5. 最终描述：像位于镜面后方4.8 cm处（虚像），正立，高度为1.2 cm（缩小）。

> **考试提示:** 开始任何计算前，请先确认$f$的符号。对于镜面，向内弯曲 = 凹面镜（f为正），向外弯曲 = 凸面镜（f为负）——对于实物，这个规则永远成立。

## 薄透镜成像

薄透镜通过折射成像，其数学规律和镜面几乎一致，仅对$d_i$的符号解释略有不同。透镜分为会聚透镜（凸透镜，中心更厚），其$f$为正；发散透镜（凹透镜，中心更薄），其$f$为负，和镜面的符号约定一致。薄透镜方程的形式和镜面方程完全相同：

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

放大率公式也和镜面的完全相同：

$$m = -\frac{d_i}{d_o}$$

和镜面的核心区别在于$d_i$的解释：对于透镜，$d_i$为正表示像位于透镜的另一侧（相对于物体，即折射后光线出射的一侧），是实像。$d_i$为负表示像和物体在同一侧，是虚像。会聚透镜根据物在焦距外还是焦距内，可以形成实像也可以形成虚像；而对于任何实物，发散透镜永远形成虚像、正立、缩小的像。

**例题:** 放大镜是焦距为6 cm的会聚透镜。如果你将放大镜放在距离花朵4 cm处观察，求像的位置并描述像的性质。

1. 会聚透镜的焦距为正，因此$f = +6$ cm，$d_o = +4$ cm。
2. 求解$d_i$：

   $$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12} \implies d_i = -12 \text{ cm}$$
3. 计算放大率：

   $$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{(-12)}{4} = +3$$
4. 解释：$d_i$为负说明像和花朵在透镜的同一侧，因此是虚像。放大率为正说明像是正立的，$m=3$说明像的大小是实际花朵的3倍，符合放大镜的功能。

> **考试提示:** 当题目要求描述像时，AP阅卷老师要求你列出全部三个性质才能得满分：1) 实像还是虚像，2) 正立还是倒立，3) 放大/缩小/等大。永远不要遗漏这三个中的任何一个。

## 像的光线追迹作图

光线追迹是定位像并确认其性质的作图方法，AP物理2的FRQ中经常要求使用该方法。该方法依赖三条遵循简单规则的主光线；它们的交点（或延长线的交点）就是像的顶端。对于镜面和透镜，三条主光线分别是：

1. **平行光线**：从物体顶端出发，平行于主光轴传播。反射/折射后，会经过焦点（或看起来从焦点发散出来）。
2. **过焦点光线**：从物体顶端出发，经过（或朝向）焦点，反射/折射后平行于主光轴出射。
3. **中心光线**：从物体顶端出发，指向镜面/透镜的中心，方向不变直接穿过。

如果实际光线相交，像就是实像；如果只有光线的延长线相交，像就是虚像。光线追迹可以用来验证透镜/镜面方程的计算结果，或回答关于像性质的概念题。

**例题:** 对放置在发散透镜前方10 cm处的物体，使用光线追迹作图定位像，发散透镜焦距大小为5 cm，然后用薄透镜方程验证结果。

1. 画出主光轴，标出透镜中心，在透镜两侧各5 cm处画出两个焦点，然后在透镜左侧10 cm处画出竖直向上的物体箭头。
2. 画出三条主光线：(1) 来自物体顶端的平行光线平行于主光轴，折射后看起来像是从左侧（近侧）焦点发散出来。(2) 朝向右侧（远侧）焦点的过焦点光线折射后平行于主光轴。(3) 中心光线直接穿过透镜中心，不发生偏折。
3. 将所有折射光线向透镜左侧反向延长。它们在物体和透镜之间、焦距内相交，交点就是虚像的顶端，虚像是正立、缩小的。
4. 计算验证：$f = -5$ cm，$d_o = 10$ cm：

   $$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{-5} - \frac{1}{10} = -\frac{3}{10} \implies d_i = -3.33 \text{ cm}, \quad m = -\frac{(-3.33)}{10} = +0.33$$
5. 结果和光线追迹得到的结论一致：虚像、正立、缩小，位于透镜左侧3.3 cm处。

> **考试提示:** 永远要在光线上画出箭头指向光的传播方向。AP阅卷老师经常会因为光线图漏画箭头或箭头方向错误扣分。

## AP风格例题练习

**例题:** 一名学生将平面镜举在脸前方1 m处，观察他头后方3 m处墙上的画的像。画的像看起来在学生脸后方多远？
A) 4 m B) 5 m C) 7 m D) 8 m

1. 对于平面镜，像距等于物到镜面的物距。画在学生脸后方3 m处，脸在镜子前方1 m，因此画到镜子的物距为：

   $$d_o = 1 \text{ m} + 3 \text{ m} = 4 \text{ m}$$
2. 像成在镜子后方4 m处。学生脸到像的距离等于学生脸到镜子的距离加上镜子到像的距离：

   $$1 \text{ m} + 4 \text{ m} = 5 \text{ m}$$
3. 正确答案是B。

**例题:** 小型电影放映机使用单个会聚透镜将像投影到距离透镜10 m远的银幕上。胶片（物体）宽5 cm，放置在距离透镜12 cm处。
(a) 计算放映机透镜的焦距。
(b) 求投影到银幕上像的宽度，说明像是正立还是倒立，实像还是虚像。
(c) 如果放映机向银幕移动，像距减小，为了保持像清晰，透镜和胶片之间的距离需要如何变化？证明你的结论。

1. (a) 已知$d_o = 12$ cm，$d_i = 10$ m $= 1000$ cm。像投影在银幕上，因此是实像，$d_i$为正。整理薄透镜方程：

   $$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{12} + \frac{1}{1000} \approx 0.0843 \text{ cm}^{-1} \implies f \approx 11.9 \text{ cm}$$
2. (b) 计算放大率和像宽：

   $$m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{1000}{12} \approx -83.3, \quad w' = m \cdot w = -83.3 \cdot 5 \text{ cm} \approx -4.2 \text{ m}$$
3. 负放大率说明像是倒立的，正$d_i$说明是实像。像宽为4.2 m，倒立，是实像。
4. (c) 整理后的薄透镜方程：$\frac{1}{d_o} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_i}$。如果$d_i$减小，$\frac{1}{d_i}$增大，因此$\frac{1}{f} - \frac{1}{d_i}$减小，说明$d_o$增大。因此透镜和胶片之间的距离必须增大才能保持像清晰。

**例题:** 眼科医生测量患者角膜的曲率半径，角膜反射测试光源的光时相当于会聚镜。一个高10 mm的测试物体放在角膜前方200 mm处，测得测试物体的实像高为0.21 mm。计算患者角膜的曲率半径，并说明和典型值8 mm相比，它更陡还是更平。

1. 放大率是像高与物高的比值。实像是倒立的，因此$h'$为负：

   $$m = \frac{h'}{h} = \frac{-0.21 \text{ mm}}{10 \text{ mm}} = -0.021$$
2. 用放大率公式求解$d_i$：

   $$m = -\frac{d_i}{d_o} \implies -0.021 = -\frac{d_i}{200 \text{ mm}} \implies d_i = 4.2 \text{ mm}$$
3. 用镜面方程求$f$：

   $$\frac{1}{f} = \frac{1}{200 \text{ mm}} + \frac{1}{4.2 \text{ mm}} \approx 0.2431 \text{ mm}^{-1} \implies f \approx 4.11 \text{ mm}$$
4. 曲率半径$R = 2f$，因此：

   $$R = 2(4.11 \text{ mm}) \approx 8.22 \text{ mm}$$
5. 该患者的角膜半径约为8.2 mm，比典型值8 mm略大，因此比平均角膜略平。

## 常见错误

- **错误做法:** 给会聚透镜或凹面镜分配负焦距
  - 原因: 学生混淆了透镜和镜面中会聚/发散元件的符号规则
  - 正确做法: 在AP约定中，所有会聚元件（凹面镜、凸透镜）的f都为正，所有发散元件（凸面镜、凹透镜）的f都为负，这个规则对镜面和透镜都成立。
- **错误做法:** 认为透镜的负$d_i$表示像在物体的对侧
  - 原因: 学生将镜面的符号解释套用到透镜上
  - 正确做法: 对于镜面：正$d_i$ = 前方（和物体同侧，实像），负$d_i$ = 后方（对侧，虚像）。对于透镜：正$d_i$ = 后方（物体对侧，实像），负$d_i$ = 前方（和物体同侧，虚像）。如果不确定，在做FRQ前先把这个写下来。
- **错误做法:** 忘记放大率中的负号，因此把倒立像说成正立
  - 原因: 学生只记得放大率的大小，计算时漏掉负号
  - 正确做法: 计算放大率时永远保留$d_i$的符号。一个快速检查：单个镜面或透镜成的所有实像都是倒立的，因此$m$应该为负。
- **错误做法:** 发散透镜的平行光线画成实际穿过远侧焦点
  - 原因: 学生认为不管什么透镜类型，所有平行光线都会穿过焦点
  - 正确做法: 对于发散元件，平行光线仅看起来来自近侧焦点。实际光路画实线，虚像点的延长线画虚线。
- **错误做法:** 球面镜中使用$R = f/2$而不是$f = R/2$
  - 原因: 学生赶时间，颠倒了焦距和曲率半径的关系
  - 正确做法: 焦点在镜面和曲率中心中间，因此$f$永远是$R$的一半。

## 速查表

| 类别 | 公式/规则 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 平面镜 | $d_i = -d_o$, $m = +1$ | 永远是虚像、正立、等大 |
| 球面镜焦距 | $f = \frac{R}{2}$ | $f>0$ = 凹面镜（会聚），$f<0$ = 凸面镜（发散） |
| 镜面方程 | $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$ | 实物的$d_o>0$；$d_i>0$ = 前方实像，$d_i<0$ = 后方虚像 |
| 薄透镜焦距 | $f>0$ = 凸透镜（会聚），$f<0$ = 凹透镜（发散） | f的符号约定和镜面相同 |
| 薄透镜方程 | $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$ | $d_i>0$ = 物体对侧实像，$d_i<0$ = 物体同侧虚像 |
| 放大率（所有元件） | $m = -\frac{d_i}{d_o}$, $h' = m h$ | $m>0$ = 正立，$m<0$ = 倒立；$\|m\|>1$ = 放大 |
| 平行光线规则 | 平行主光轴 → 穿过/看起来来自焦点 | 任何作图中最先画的光线 |
| 中心光线规则 | 直接穿过透镜中心/镜面曲率中心 | 确认像位置的第二条光线 |

## 下一步

掌握单元件成像是所有高级光学系统的基础前提，包括复合透镜、望远镜和显微镜等光学仪器，以及干涉衍射等波动光学的后续主题。理解几何光学的像性质和符号约定，也能帮助你解决人眼和视力矫正相关的概念题，这些都是AP物理2考试的常见考点。在成像部分打下坚实基础，能帮助你在考试当天自信地应对更复杂的光学问题。

- [第6单元总览](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-overview/)
- [干涉与衍射](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u6-interference-and-diffraction/)
- [量子、原子与核物理学概述](https://www.owlsprep.com/zh/study/ap-physics-2-u7-overview/)

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